第16講指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算3種題型

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

①根式的定義：

一般地，如果￡="，那么X叫做。的W次方根，其中(〃>1,〃eN*),記為布，〃稱為根

指數(shù)，。稱為根底數(shù).

②根式的性質(zhì)：

當(dāng)〃為奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的"次方根是一個負(fù)數(shù).

當(dāng)〃為偶數(shù)時，正數(shù)的"次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

③指數(shù)的概念：指數(shù)是幕運(yùn)算”"(4≠0)中的一個參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)

的右上角，幕運(yùn)算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.

④有理數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算

“個

①正整數(shù)指數(shù)‘幕."=”"e⑶(〃6"*)；②零指數(shù)塞“°=13X0);

③負(fù)整數(shù)指數(shù)鼎了"=?(α≠0,n∈N*);④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指

數(shù)事沒有意義.

⑤有理數(shù)指數(shù)靠的性質(zhì)

①〃"α"=α"'+"(a>0,m,neQ).②(a")"=α"'"(n>0,m,neQ).

③(a。)'"=α"7∕"(α>0,b>0,meQ).?=a"(a>0,m,πeδ)?

考點(diǎn)二：指數(shù)運(yùn)算中的平方差、立方和差公式

(X+χT)=X2+2x?x~λ+x^2=%2+2+X1,(%—x^')2=x2-2x-x~'+x~2=x2-2+x~2

X2-x~2=(X+x^'L+無T)

X3+X^3=(x+%^')(χ2-χ?χ~'+X^2)=(X+χ-∣Xχ2-l+χ-2)

X3一/=Q_XTXX2+χ.χT+χ-2)=(χ-χT[χ2+]+χ-2)

?_3<1_1Y1_1A<1、

X2-X2=?X2-X2I?r+?r2'χ2+χ-'=Λ2-%2(x+l+x^')

【題型目錄】

題型一：根式指數(shù)式的運(yùn)算

題型二：平方差、立方差(和)公式運(yùn)用

題型三：指數(shù)式運(yùn)算應(yīng)用題

【典型例題】

題型一：根式指數(shù)式的運(yùn)算

【例1】化簡求值:

/?α√α√a.

(1),.1—(α>0)；

【答案】/

/??i

1aai37

【解析】ay∣a4a?

?a2a?a^QaI

---------二—IJ

2-^1~~

4Y

d1

27—1-t—

(2)(―)3+-√—+2?(e-l)0-84×√2?

8√7+2

/7

【答案】—

3

【解析嗚尸+ξ?+2?(iy一8"啦根?√7-23?

ι+2-2,?2;

7-4

+2-2二+也二=也

3333

【例2]42+(√2-l),-83-43÷(√2^?

【答案】-3

【解析】42+(√2-l)'-8i-43÷(√2^=(22)2+l-(23)i-23÷25=2+1-4-2=-3

【例3】(多選題)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化正確的是()

\_--1

?--4X=(-X?b?療=y3(y<0)c?*3=荻(x≠°)

----------31

D-[√(-Λ)2]4=X2(X>0)

【答案】CD

【解析】A選項一石=,B選項存=(y2∣=-j(y<0),C選項對，D選項

3

[?∣(-x)2J4=■[(-x)2J,-=[(r)T=χ2(x>0)

【題型專練】

1.(2022?全國?高一課時練習(xí))己知/"""=’256，α>0，且4*1,則a4m+n=______.

4

【答案】4

【分析】由題設(shè)可得α"'=2?、α"=2-6,根據(jù)指數(shù)塞運(yùn)算，代入目標(biāo)式求值即可.

m8

【詳解】因?yàn)?"+"=1=2々，a-"=256=2,

所以兩式相乘得a3m=26,則?m=22.

將儲"=2?代入a'"-"=2s,得a"=2?,

所以62

a"=",)d=Q2)X2-=2=4.

故答案為：4

2.(2022.全國?高一課時練習(xí))計算：

(1)"J-O.+S?XC=;

1/2Y/T

(2)O.25^5-(-2×16O)×25+√2×4-5=

【答案】13

【分析】根據(jù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)可得(I)(2)計算結(jié)果.

【詳解】(1)原式=3—=1.

216364

(2)原式=[(O.5『『-(-2×1)2×2^2+25X25I-4×→2=2-l+2=3.

3.設(shè)2,=8"9V=3'-9,求X+7的值.

【答案】27

【分析】將等式兩邊化為同底數(shù)基的形式，然后可得關(guān)于x，y的方程組，求出χ,y的值，從

而可求得χ+y的值

【詳解】因?yàn)?，=8”，所以2*=2.N)，即X=3(y+1).又9>'=3-,所以/=3?一9,即

x=3(y+l)尤=21

由,解得

2y=x-9y=6

故X+y的值為27.

【答案】

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果.

【詳解】原式=(守-I-偌)-+(產(chǎn)+???(芋

527-,--,1-

=--l-(-)3÷(2-3)≡÷32?(-r

121

^24

5.（2022?全國?高一課時練習(xí)）化簡:

6I）I）

⑵席必川廬妤=-------

【答案】--b^1

4

【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)慕的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；

（2）先將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)轅，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)即可求解;

?35LAA_1_1+251

【詳解】解：（1）原式戶X-3小廠÷2ajb"i=--ai'v3bv+i=--bi

44

（2）因?yàn)楂E有意義，所以α>0,

所以原式=心./渭=√7+√7=

a÷a=?*

故答案為：（1）-*■；（2）1.

4

題型二：平方差、立方差（和）公式運(yùn)用

33

?-?γ2J_Y29

【例1】已知/+x2=3,求.；人的值.

XT+x+3

【答案】2

【詳解】因?yàn)?/p>

J+√L3，所以

???λ2!_1

J+x'=9=>x+2x]?x5+x"=9=>x+x^^l+2=9，所以x+χ-∣=7，所以

3_3/??3/?3_3

22

+X=+X=/+X2,一1+九T）=3×（7-l）=18,所以χ2+x2+2

x-1+x+3

18+2C

=-------=2

7+3

/?3λ<?3?

【例2】若x>0,則2xi÷3i2xi-3i?-4xi=

【答案】-27

（[]3、]（]Y（3丫111

【詳解】2χ4+3^2χ4一3^—4元2=2x4一3Ξ-4/=4尸-33-4-=-27

\八）V>\/

【例3】（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知。>0,且^=√2+l,求下列代數(shù)式的值：

⑴S+優(yōu)'）（優(yōu)-力；

ax+a

⑵

ax-a

⑶

ax+a^x

(注：立方和公式/+/=(a+b"-必+〃))

【答案】⑴2,(2)√2+∣.(3)2√2-l

【分析】(1)先求得優(yōu)”，結(jié)合平方差公式求得正確答案.

(2)結(jié)合指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

(3)結(jié)合指數(shù)運(yùn)算以及立方和公式求得正確答案.

⑴因?yàn)?°,且m=四+I，所以"R=(…回產(chǎn)

2x2t

(優(yōu)+?-')(?'-ɑ-?)=a-β-=√2+l-(√2-l)=2.

ax+a^'_S+/1_α2x+α-2t+2_+l+(√2-1)+2_

7=V

―7≡7=S-L"+「)=2=2

「、a3x+a3x(ax+a-χ](a2x-ax-ax+a-2x],,--

lxxx2xrlrx

(3)a+α='----Δ-----------------------!-=a-a-a+a=^2+?-?+(^2-??=

ax+axax+axvi

2√2-l?

【題型專練】

1.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知函數(shù)f(x)=2'+2",若〃咐=4,則/(2用)=()

A.12B.14C.16D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)式的運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)閒(x)=2,+2、所以/(M=2n?+2T"=4,則

f(2m)=22m+2-2,"=(2,"+2^,"『一2=14,

故選:B.

IIχ2+X~-7

2.(2022?全國?高一單元測試)(1)已知4計算：---------i-------F;

XX--x+/+爐+”

【答案】4

2

(分析】對%+χ4=3兩邊平方，求出X+X-=7，再對此式兩邊平方,化簡可得尤2+χ-=47，

從而代入可求結(jié)果，

2

,1(i.ιλ

【詳解】因?yàn)楫a(chǎn)+”=3,所以/+一=9,所以x+∕+2=9,所以

x+x~i=7，

2

所以（x+χT）2=72,a∣J√+χ-+2=49,所以f+x"=47,所以

x2+x^2-l47-7,

----------------------=--------=4

?47+3,

x+x+X2+X2

題型三：指數(shù)式運(yùn)算應(yīng)用題

【例1】（2022?河南開封?高二階段練習(xí)（文））企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化處理后

才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：mg∕L）與時間t（單位：

h）間的關(guān)系為P=4e-"（其中兄，k是正的常數(shù)）.如果在前IOh消除了20%的污染物，則

20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（）

A.40%B.50%C.64%D.81%

【答案】C

【分析】由r=o,得污染物含量的初始值為4,根據(jù)t=10得eY=0?/,得P=0?8強(qiáng)，代

入f=20,即可求出答案.

【詳解】當(dāng)/=0時，P=I當(dāng)r=10時，（1一20%）4=MeT伙，

j2_

κu

即e=0.8,得eT=0.8而，所以P=EIe-*'=4卜一"）'=0.8元《；

當(dāng)，=20時，/>=0.8而兄=0.644?

故選：C

【例2】（2021.安徽宣城.高一期中）某滅活疫苗的有效保存時間T（單位：小時〃）與儲藏

的溫度r（單位：°C）滿足的函數(shù)關(guān)系為T=e""（k,b為常數(shù),其中e=2?71828…，是一

個和乃類似的無理數(shù)，叫自然對數(shù)的底數(shù)），超過有效保存時間，疫苗將不能使用.若在0℃

時的有效保存時間是1080Λ,在10°C時的有效保存時間是120%,則該疫苗在15℃時的有效

保存時間為（）

A.15hB.30hC.40hD.60h

【答案】C

【分析】根據(jù)已知的函數(shù)模型以及已知數(shù)據(jù)，待定系數(shù)即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意知1080=eJ120=eH）";櫻甘，所以=（產(chǎn)?=篇="，

所以e5*=4，所以e**=-L,所以e'5"6=e∣5"?e"=-5-xl080=40.

32727

故選：C.

【例3】（2022.北京房山.高一期末）某食品的保鮮時間N（單位：小時）與儲藏溫度X（單

位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系y=ett+"（e=2,718為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)）.若該食品

在0℃的保鮮時間是192小時，在33℃的保鮮時間是24小時，則該食品在22℃的保鮮時間

是（）

A.20小時B.24小時C.36小時D.48小時

【答案】D

【分析】根據(jù)題意建立方程組，進(jìn)而解出3,8“，然后將22代入即可求得答案.

V=192?411

【詳解】由題意，33]?=e3狄=訴=!=8"=：,所以該食品在22。C的保鮮時間是

e=2419282

e22*+/>=e22*.e0=lxl92=48

4

故選：D.

【例4】（2021?四川省南充市白塔中學(xué)高一期中）Logis加模型是常用的數(shù)學(xué)模型之一，可

應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布的數(shù)據(jù)建立某地區(qū)流感累計確診病例數(shù)R。）a的單

位：天）的模型：R。）=Tr而，其中K為最大確診病例數(shù)，N為非零常數(shù)，當(dāng)/?&）=：K

時，f0的值為（）

A.60B.61C.63D.66

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算直接代入求值.

【詳解】由R（0=∣J，且R&）=；K,

1+e',2

得1+eM'L60）=5K，

解得4=60,

故選：A.

【例5】（2021?全國?高一課時練習(xí)）一種細(xì)胞在分裂時由一個分裂成兩個，兩個分裂成四

個，四個分裂成八個……每天分裂一次.現(xiàn)在將一個該細(xì)胞放入一個容器中，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過10

天就可充滿整個容器，則當(dāng)細(xì)胞分裂到充滿容器一半時需要的天數(shù)是（）

A.5B.9C.6D.8

【答案】B

【分析】由分裂的定義可知，后一天的細(xì)胞數(shù)應(yīng)為前一天的二倍，則可表示經(jīng)過10天的細(xì)

胞的數(shù)量，逆推可知，前一天時應(yīng)為此時的一半，則可知需要9天即可充滿容器一半.

【詳解】根據(jù)題意可得，經(jīng)過10天細(xì)胞數(shù)量為2∣°,

二細(xì)胞充滿容器-半時，細(xì)胞數(shù)量為2∣°÷2=2K

當(dāng)細(xì)胞分裂到充滿容器一半時需要的天數(shù)是9天，

故選：B.

【題型專練】

1.（2022?浙江?杭十四中高二期末）在某個時期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈

指數(shù)增長，已知經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，那么經(jīng)過60天后該湖

泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的（）

A.18倍B.24倍C.36倍D.48倍

【答案】C

【分析】構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型，計算即可.

【詳解】某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)

藻數(shù)大約為原來的6倍，

設(shè)湖泊中原來藍(lán)藻數(shù)量為。，則”（l+6.25%）3°=6"，

二經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量為：y=α（l+6.25%）60=。［（1+6.25%嚴(yán)了=36〃

經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的36倍.

故選：C.

2.（202。全國.高三專題練習(xí)）毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新

丸體積為“，經(jīng)過r天后體積V與天數(shù)『的關(guān)系式為V="?e-"?若新丸經(jīng)過50天后，體積變

為3%則一個新丸體積變?yōu)辄c(diǎn)。需經(jīng)過的時間為（）

A.125天B.IOO天C.75天D.50天

【答案】C

【分析】根據(jù)題意將當(dāng)f=50時代入計算出"*=5《，然后再代入計算即可求出結(jié)果.

4

【詳解】解析：由題意知4>0,當(dāng)f=50時，有電=αd5ω.

嗚=（e"f,得1=5點(diǎn).

QQ

所以當(dāng)V=三α?xí)r，有三α="?e-".

所以1=75.

故選：C

3.（2022?湖南?邵陽市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬

奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正

的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水

k,

過濾系統(tǒng).己知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N（mg∕L）與時間t的關(guān)系為N=N0e-（乂為

最初污染物數(shù)量）.如果前4小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需

要（）小時.

A.3.6B.3.8C.4D.4.2

【答案】C

【分析】分析可得出設(shè)MeT=O.64NoHN0,求出f的值，由此可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可得NoeYYN0,可得「=1,設(shè)NOeT'=0.64NO=0-NO,

k

可得e-?=卜5Y=e-肽，解得f=8.

因此，污染物消除至最初的64%還需要4小時.

故選：C.

4.（2021?四川?成都外國語學(xué)校高一期中）國防部新聞發(fā)言人在2020年9月24日舉行的例行

記者會上指出：“臺灣是中國不可分割的一部分，解放軍在臺海地區(qū)組織實(shí)兵演練，展現(xiàn)的

是捍衛(wèi)國家主權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和能力“，我空軍戰(zhàn)機(jī)在海面上空進(jìn)行繞臺巡航，已知海

面上的大氣壓強(qiáng)是76OmmHg,大氣壓強(qiáng)P（單位：mmHg）和高度/?（單位：m）之間的

關(guān)系為p=760∕MC是自然對數(shù)的底數(shù)，A是常數(shù)），根據(jù)實(shí)驗(yàn)知50Om高空處的大氣壓強(qiáng)

是70OmmHg,則我戰(zhàn)機(jī)在Iooom高空處的大氣壓強(qiáng)約是（結(jié)果保留整數(shù)）（）

A.644mmHgB.645mmHgC.646mmHgD.647mmHg

【答案】B

【分析】由已知可得e-5≡=^,進(jìn)而可求得760e-κ≡=760χ（e-y,代值計算即可得解.

［詳解】由已知可得76（V=700.可得e-500*=222,

所以，我戰(zhàn)機(jī)在IOOom高空處的大氣壓強(qiáng)為

76OeTooM=760X卜-呻=760x（鬻）=4^°≈645（mmHg）.

故選：B.

5.（2021?遼寧?大連市第三十六中學(xué)高一期中）某食品的保鮮時間）（單位：小時）與儲藏

溫度X（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y=e-"（e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)）.若

該食品在0°C的保鮮時間是144小時，在20°C的保鮮時間是36小時，則該食品在30°C的保

鮮時間是（）

A.16小時B.18小時C.20小時D.24小時

【答案】B

【分析】根據(jù)保鮮時間V與儲藏溫度X滿足函數(shù)關(guān)系：y=ekx+b,并結(jié)合食品在0℃的保鮮時

144=/

間是144小時,在20℃的保鮮時間是36小時,可求出I610t,然后再將x=30代