不等式選講

不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點是不等式的證明、絕對值不等式的解法

以及數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用等，命題的熱點是絕對值不等式的解法，以及絕對值不等

式與函數(shù)的綜合問題的求解.本部分命題形式單一、穩(wěn)定，是三道選考題目中最易得分的，

所以可重點突破.

【知識要點】

1.含有絕對值的不等式的解法

(1)|/(冗)|>〃(〃>0)=次X)>〃或/(X)<一〃；

(2)|/(x)|V〃(〃>0)=~V〃；

(3)|x—〃|+|x一臼曰(c>0)和|x—〃|+|九一川土(c>0)型不等式的解法

法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

2.絕對值三角不等式

\a\~\b\<\a±b\<\a\+依.此性質(zhì)可用來解不等式或證明不等式.

3.基本不等式

定理1：設(shè)則，+b2N2Q/?.當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?時，等號成立.

定理2：如果〃，匕為正數(shù)，則告當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕時，等號成立.

定理3：如果a,b,c為正數(shù)，則茨說,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.

定理4：(一般形式的算術(shù)一幾何平均不等式)如果“2、…、斯為”個正數(shù),則‘"+"2：…+斯

N勺QQ…處,當(dāng)且僅當(dāng)〃1=。2=3=斯時，等號成立.

4.柯西不等式

(1)設(shè)mb,c,d為實數(shù),貝!)(/+廬)(，+/)2mc+機/)2,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

⑵若at，C(idN*)為實數(shù),則(注1屆)(汪田巨(注歷產(chǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)左=0(=1,2,…，〃)或

存在一個數(shù)上，使得a產(chǎn)物(i=l,2,…，")時，等號成立.

(3)柯西不等式的向量形式：設(shè).a,0為平面上的兩個向量，貝1J|“H川日"回，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個

向量同向或反向時等號成立.

【復(fù)習(xí)要求】

(1)理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：

①|(zhì)a+/?|<|a|+|/?|;@|a-/?|<|a-c|+|c-Z?|;

(2)會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:

|ot+/7|<c|ax+/7|>c|x-c|+|x-ft|>a

(3)會用不等式①和②證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式求一些特定函數(shù)的極值

(4)了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法

【例題分析】

例1⑴設(shè)函數(shù)八尤)=|2x+l|一|x一4|.

①解不等式式x)>2；

②求函數(shù)y=/U)的最小值.

［解］①解法一：令2x+l=0,x—4=0分別得x=一x=4.

原不等式可化為：

1(1

x<—^,一彳4<4,fx>4,

<2或12-或

、一x-5>213x-3〉2lx+5>2,

所以原不等式的解集為：尤<—7或x>jj.

解法二：

(1

-x-5,x<_

f(x)=\2x+l\-\x-4\=<3%—3,-1<x<4,畫出大工)的圖象

、x+5,x>4.

y=2與兀c)圖象的交點為(-7,2),(1,2).由圖象知八犬)>2的解集為“<一7或無>(

9

②由①的解法二中的圖象知：兀X)min=-,

解絕對值不等式的步驟和方法：

(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟

①求零點.

②劃區(qū)間、去絕對值號.

③分別解去掉絕對值的不等式.

④取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值.

(2)用圖象法求解不等式

用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化,既通俗易懂,

又簡潔直觀，是一種較好的方法.

例2:設(shè)函數(shù)y(x)=|3x—1|+6+3.

①若〃=1,解不等式y(tǒng)u)s4；

②若函數(shù)犬X)有最小值，求Q的取值范圍.

［解］①當(dāng)a=l時，“x)=|3x—l|+x+3.

當(dāng)入［時，/x)<4可化為3x—1+x+3<4,

解得gg曷；

當(dāng)時，可化為-3%+1+x+3<4,

解得0<x<|.

綜上可得，原不等式的解集為1|0夕三［

3+辦+2,史］

{〃-3%+4,xV］

［a+3>0

函數(shù)兀1)有最小值的充要條件為。八，即一3%W3.

Ltz—3<0

例3⑴若函數(shù)#%)=枕+1|+2仇一〃|的最小值為5,則實數(shù)。=.

［解析］當(dāng)a=—\時，/x)=3|x+1|>0,不滿足題意；當(dāng)a<-1時，fix)=

-3%—1+2〃，x<a

<x—1—2〃，a<x<-l，兀x)min=/(〃)=—3“-1+2］=5,解得〃=—6；

3x~\~1—2a9x>-1

—3x—1+2。，x<-1

當(dāng)〃>一1時，段)=<~x+l+2a9~l<x<a/工功也二人①二一〃+1+2〃=5,解得〃=4.［答案］

3x~\~1~2a,x>a

4或一6

例4已知函數(shù)/(x)=|x+l|一2|x—。>0.

①當(dāng)a=l時，求不等式八元)>1的解集；

②若兀x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求〃的取值范圍.

［解］①當(dāng)a=l時，Xx)>l化為仇+1|一2|x——

當(dāng)立一1時，不等式化為％—4>0,無解；

2

當(dāng)一1<X<1時，不等式化為3x—2>0,解得］4<1;

當(dāng)這1時，不等式化為一x+2>0,解得13<2.

所以於)>1的解集為卜|<%<2).

②由題設(shè)可得，

X—1—2(2,X<—1,

fix)=<3x+l—2fl,-\<x<a,所以函數(shù)/(x)的圖象與X軸圍成的三角形的三個頂點分

、一x+l+2a,x>a.

別為小“、I0),B(2<J+1,0),C(a,a+1),ZkABC的面積為京a+1產(chǎn)

2

由題設(shè)得*a+l)2>6,故a>2.所以。的取值范圍為(2,+oo).

1.解決含參數(shù)的絕對值不等式問題，常用以下兩種方法

(1)將參數(shù)分類討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決；

(2)借助于絕對值的幾何意義，先求出兀0的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，求解參

數(shù)的取值范圍.

2.解答此類問題應(yīng)熟記以下轉(zhuǎn)化；尤)>a恒成立導(dǎo)")min>a；於)<。恒成立U7(x)max<a；

j\x)>a有解聳/(X)max>a；j{x)<a有解u7")min<a；j{x}>a無解句K)max%；人尤)無解司儀加云以

例5(1)已知函數(shù)?r)=|x—1|.

①解不等式八2x)+Kx+4)次；

②若間<1,\b\<\,存0,求證：端>聆).

［解］①/(2x)+大尤+4)=|2x—l|+|x+3|

‘一3無一2,x<-3

=<-x+4,-3<x<1,當(dāng)x<—3時，由—3x—2次，解得爛一竽；

3x+2,x>2

當(dāng)一3Sxvg時，一次+428無解；當(dāng)x弓時，由3x+2N8,解得后2.

所以不等式12x)+/U+4)次的解集為%爛一￥或定2；.

②證明：胃刁等價于人即1"一1|>1。一回.

因為141V1，\b\<lf所以1|2—1］一。|2=(〃2。2—2〃。+1)—■(/—2〃。+。2)=(〃2—1)(。2

-1)>0,所以1|>|〃一例.故所證不等式成立.

例6設(shè)。>0,比>0,且〃+/?=：+：證明：

①〃十尼2；

②〃2+〃<2與b2+b<2不可能同時成立.

［證明］由〃+/?=：+.=-,",〃>0,b>0,得〃。=1.

ClDdD

①由基本不等式及ab=l,

有0+6之2旃=2,即a+b>2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時等號成立.

②假設(shè)。2+。<2與〃+6<2同時成立，則由q2+q<2及a>0得0<。<1；同理，0<b<l,

從而a6c1,這與仍=1矛盾.故°2+但2與辰+6<2不可能同時成立.

①構(gòu)造基本不等式求出代數(shù)式的最值，直接證明不等式成立；②直接證明較難，假設(shè)兩

個不等式同時成立，利用①的結(jié)論，得出矛盾，則假設(shè)不成立.

不等式證明的常用方法

不等式證明的常用方法是：比較法、綜合法與分析法.其中運用綜合法證明不等式時,

主要是運用基本不等式與柯西不等式證明，與絕對值有關(guān)的不等式證明常用絕對值三角不等

式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件，另一方面要善于對式子進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、

變形.

例7(1)已知a,%e(0,+co),a+b=l,xi，尤2G(0,+<?).

①求那+千+*的最小值；

ClUX\X2

②求證：(QX1+bX2)(dX2+bXl)>XlX2.

[解]①因為?！?0,+??),a~\-b—1,x\,+oo),

所以瑟+E+粉3々5臂2r3，品弧=6,

當(dāng)且僅當(dāng)段=瓷=熹，a=b,即『6=擔(dān)為=尤2=1時，蜉有最小值6.

uDX\X2ZaDX\X2

②證法一：由〃，。￡(0,+oo),a+b=l,xi，X2^(0,+oo),

及柯西不等式可得：

(ax\+bx2)(axi+bxi)=[(yjaxi)2+(*\/ta2)2]-[(V^)2+(Vte)2]>(V^i'y[0x2+y[bx2-y[bxi)2=

(a\]xiX2+by/xix2)2=xiX2,

當(dāng)且僅當(dāng)疹=醇，即無1=X2時取得等號.

yjax27bxi

證法二：因為〃，?！?0,+oo),a~\~b=1,x\,(0,+00),

所以(ax\+bxi)(ax2-\-bx\)=c^x\xi+abxi+abxi+b2x\X2=x\X2(a2+Z?2)+(於+xf)

>xiX2(?2+b2)+ab(2xiX2)=x\X2(a2+Z72+lab)=修工2(〃+b)2=x\X2,

當(dāng)且僅當(dāng)沏=X2時，取得等號.

例8①已知函數(shù)/(x)=|x-l|+|x+3|,求％的取值范圍，使#%)為常函數(shù)；

②若x,y,z￡R,f+y2+z2=l,求m=也冗+也y+小z的最大值.

—2x—2,x<—3

[解]①/(x)=|九一1|+僅+3|=，4，-3<x<l,

、2x+2,x>l

則當(dāng)3,1]時，段)為常函數(shù).

②由柯西不等式得：(*+V+z2)[(地產(chǎn)+(也戶+(小)2及陋葉班y+小挈

所以6r+也y+小zg3,因此機的最大值為3.

柯西不等式的求解方法

柯西不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用，運用柯西不等式求最值

時，關(guān)鍵是進行巧妙的拼湊，構(gòu)造出柯西不等式的形式.

練習(xí)13

1.不等式僅一1|一|x-5|<2的解集是()

A.(—00,4)B.(-00,1)

C.(1,4)D.(1,5)

2.解不等式x+|2x+3R2.

3、已知函數(shù)危)=%|%—磯〃￡R).

(1)若〃=2,解關(guān)于x的不等式

⑵若對任意的x￡(0,4］都有兀v)<4,求〃的取值范圍.

3.已知x,y是兩個不相等的正實數(shù)，求證：Hy+x+F).(盯2+y+f)>9/y2.

4.設(shè)〃，b,c,d均為正數(shù)，且a+Z?=c+d,證明:

(1)若ab>cd,則如+也>^+近；

(2)/+或AJ^+也是|〃一例<|。一切的充要條件.

5、已知〃>0,b>0,c>0,函數(shù)兀x)=|x+〃|+|%—A|+c的最小值為4.

(1)求的值；

(2)^a2+^b2+c2的最小值.

6.已知fix)=\x\+2\x-a\(a>0).

(1)當(dāng)”=1時，解不等式加)34；

(2)若於巨4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

7.已知函數(shù)危)=|2%—1|+|21+〃|,g(x)=x+3.

⑴當(dāng)a=~2時，求不等式#x)<g(x)的解集；

⑵設(shè)〃>—1,且當(dāng)工￡一去3)時，7U)0g(x)恒成立，求〃的取值范圍.

8.已知函數(shù)?x)=|3x+2|.

(1)解不等式火%)<4一枕一1|；

(2)已知機+〃=1(相，n>0),若枕一〃|一恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

9.設(shè)函數(shù)啟)=，一%+15,且僅一水1,求證：\f(x)—J(a)\<2(\a\+1).

10.⑴已知［都是正數(shù),且求證：a3+Z?3>a2Z?+ab2；

〃2廬+白？+c2a2

(2)已知mb,c都是正數(shù)，求證：——-T-——>abc.

a-vb-vc

11.已知不等式|x+l|+|尤一2日77的解集是R.

(1)求實數(shù)機的取值范圍.

(2)在(1)的條件下，當(dāng)實數(shù)機取得最大值時，試判斷加+于內(nèi)企+回是否成立？并證

明你的結(jié)論.

練習(xí)13參考答案

1.答案A

解析當(dāng)X<1時，不等式可化為一(X—D+(x—5)<2,即一4<2,顯然成立，所以此時不

等式的解集為(一co,1);當(dāng)l<x<5時，不等式可化為x—1+(尤-5)<2,即2A—6<2,解得x<4,

又1裝5,所以此時不等式的解集為口,4)；當(dāng)x>5時，不等式可化為(x—1)—(x—5)<2,即

4<2,顯然不成立，所以此時不等式無解.

綜上，不等式的解集為(一8,4).故選A.

1—3(>—3

2.解原不等式可化為》或『2’

、一%—3>2,、3%+3之2.

解得左一5或定一/綜上，原不等式的解集是

卜|立一5或啟一；｝.

3、解⑴當(dāng)a=2時,不等式段)4即x\x-2\<x.

顯然#0,當(dāng)x>0時，原不等式可化為：\x—2|<1=^>—l<x—2<l=l<x<3.

當(dāng)％<0時，原不等式可化為：仇一2>1或兀-2<—1=>1>3或x<l,.*.x<0.

綜上得：當(dāng)。=2時，原不等式的解集為｛x[l<x<3或KO｝.

44

(2)對任意的工￡(0,4]都有7(%)<4,即一44(%一〃)<4nVx￡(0,4],x—恒成立.

4444一

設(shè)g(%)=x—：，x￡(0,4],p(x)=x+：,x￡(0,4],則對任意的x￡(0,4],x—恒

成AL^^g(X)max<〃V〃(X)min，XW(0,4].

：g(x)=1+4,當(dāng)XG(04]時，g，(x)>0,，函數(shù)g(x)在(0,4]上單調(diào)遞增，

.??g(x)max=g(4)=3.

AY—2x-I-2

又???p〈x)=l—$=—9—,???p(x)在(0,2]上單調(diào)遞減，在[2,4]上單調(diào)遞增，

???〃(x)min=p(2)=4.故〃￡(3,4).

3.證明因為x,y是正實數(shù)，所以―+1+產(chǎn)與小五子=3孫，當(dāng)且僅當(dāng)導(dǎo)=1=產(chǎn)，

即x=y=l時，等號成立；

同理：xy2+y+x2>3=3xy,當(dāng)且僅當(dāng)町^=、=—,即％=y=i時，等號成立.

所以(4+工+丁乂孫2+y+v巨9%2,2,

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=l時，等號成立.

因為與y,所以(4+工+丁乂孫2+>+2>9吠.

4.證明(1)因為N^+M^)2=〃+b+2，^,(y[c-\-y[d)2=c-\-d-\-2\[cd,

由題設(shè)"+/?=c+d,ab>cd得也)2>N^+^^)2

因此出+也>\尸+4^.

(2)①若|〃一b|v|c—d|,則(〃-0)2<(c—<7)2,即(〃+b)2—4〃6v(c+42一4cd

因為〃+Z?=c+d,所以

由⑴得,+或>必+6.

②若,十港八「+夜，貝!](/+業(yè)戶>(加+校)2,

即a+b-\-2y[ab>c+d+2y[cd.

因為〃+Z?=c+d,所以〃Z?>cd.

于是(。一。尸=(〃+。)2—4ab<(c+d)2—4cd=(c—d)2.

因止匕|“一。|<|。一d\.

綜上，,+或也是|〃一。|<匕一d|的充要條件.

5^解(1)因為/(x)=|x+a|+|x—b\~\~c>\(x~\~a)一(x—Z?)|+c=|〃+A|+c,

當(dāng)且僅當(dāng)一〃勺匕。時，等號成立.

又。>0,b>0f所以|〃+。|=〃+。,

所以/(x)的最小值為a+b+c.

又已知危)的最小值為4,所以〃+/?+c=4.

(2)由(1)知〃+。+。=4,由柯西不等式得

/2+#+#(4+9+1巨信2+京3+CX1)2=(〃+0+°)2=]6,即宗+護+是辛

11

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?丁=；,即a=q,b=—,c=,時等號成立.

故1層+#+c2的最小值為方

6.解⑴當(dāng)〃=1時，不等式段)“即為以|+2僅一1區(qū)4,

①當(dāng)公1時，原不等式可化簡為x+2(x—1)34,得13左2；

②當(dāng)03<1時，原不等式可化簡為％+2(1—%)34,得OSxvl；

2

③當(dāng)x<0時，原不等式可化簡為一元+2(1一元)04,得一]上<0.

綜合①②③得，一|三爛2,即當(dāng)。=1時，不等式小m4的解集為口一|三爛21.

(2)①當(dāng)x>a時，j[x)=x+2(x—a)=3x—2a；

②當(dāng)時，fix)=x+2(a—x)=~x+2a；

③當(dāng)x<0時,艮4=—x+2(a~x)=~3x+2a.

作出函數(shù)危)的大致圖象如圖所示，

由圖象知人%)min=。，所以定4，即實數(shù)〃的取值范圍為[4,+oo).

7.解(1)當(dāng)〃=—2時，不等式/Cx)<g(x)即|2x—l|+|2x—2|—x—3<0.

設(shè)函數(shù)y=|2x—l|+|2x—2|—x—3,

-5x,x<2,

則y=<1

7J'—X—2,步區(qū)1,

、3%一6,x>l,

其圖象如圖所示.從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x￡(0,2)時，y<0.

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

⑵當(dāng)工￡一冬，時，/(x)=l+m不等式7(x)0g(x)即l+〃Sr+3,所以正〃一2對工￡

一余，恒成立，故一君L2，解得懸.又〃>一1，所以一1<忌.

所以〃的取值范圍是(一1，1.

8.解⑴不等式段)<4一|x—1|,即|3冗+2|+枕一1式4.

252

當(dāng)xv—W時，即—3x—2—x+l<4,解得一4<x<一亨

221

當(dāng)一鏟爛1時，即3x+2—x+l<4,解得一鏟x<2；

當(dāng)x>l時，即3x+2+x—1<4,無解.

綜上所述,無《V

(2)5+!=七十力("+")=1+1+3+%4(當(dāng)且僅當(dāng)"="=3時等號成立),

令^(x)=\x-a\~f(x)=\x-a\—\3x+2\

<2

2x+2+〃，x<-