第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題三年19考高考指數(shù):★★★★1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.但求解過程不要求對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行取整分析.1.以考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點(diǎn)，兼顧考查代數(shù)式的幾何意義(如斜率、距離、面積等)；2.多在選擇題、填空題中出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn)，常與實(shí)際問題相聯(lián)系，列出線性約束條件，求出最優(yōu)解.1.二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)(x，y)，叫做二元一次不等式(組)的___，所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x，y)構(gòu)成的集合稱為_________________________.解二元一次不等式(組)的解集【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：二元一次不等式(組)的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)有何關(guān)系？提示：二元一次不等式(組)的解集可以看成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合,所有以不等式(組)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),就構(gòu)成了一個(gè)平面區(qū)域.(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)，其中x，y∈N，滿足x+y≤3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為___.【解析】當(dāng)x=0時(shí)，y可取0，1，2，3,有4個(gè)點(diǎn)；當(dāng)x=1時(shí)，y可取0，1，2,有3個(gè)點(diǎn)；當(dāng)x=2時(shí)，y可取0，1,有2個(gè)點(diǎn)；當(dāng)x=3時(shí)，y可取0,有1個(gè)點(diǎn),故共有10個(gè)點(diǎn).答案：10

2.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)在平面直角坐標(biāo)系中二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不

等

式表

示

區(qū)

域Ax+By+C＞0Ax+By+C≥0直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分

(2)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的確定，一般是取不在直線上的點(diǎn)(x0,y0)作為_______來進(jìn)行判定，滿足不等式的，則平面區(qū)域在測(cè)試點(diǎn)位于直線的一側(cè),反之在直線的另一側(cè).測(cè)試點(diǎn)【即時(shí)應(yīng)用】(1)如圖所表示的平面區(qū)域(陰影部分)用不等式表示為_______.(2)以下各點(diǎn)①(0,0);②(-1,1);③(-1,3);④(2,-3);⑤(2,2)在x+y-1≤0所表示的平面區(qū)域內(nèi)的是_________.(3)如果點(diǎn)(1，b)在兩條平行直線6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之間，則b應(yīng)取的整數(shù)值為____________.【解析】(1)由圖可知邊界直線過(-1,0)和(0,2)點(diǎn),故直線方程為2x-y+2=0.又(0,0)在區(qū)域內(nèi),故區(qū)域應(yīng)用不等式表示為2x-y+2≥0.(2)將各點(diǎn)代入不等式可知(0,0),(-1,1),(2,-3)滿足不等式,故①②④在平面區(qū)域內(nèi).(3)令x=1,代入6x-8y+1=0，解得y=；代入3x-4y+5=0，解得y=2.由題意得

<b<2,又b為整數(shù)，∴b=1.答案：(1)2x-y+2≥0(2)①②④(3)13.線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式(組)線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式，如z=x+2y線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題名稱意義【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：可行解和最優(yōu)解有何關(guān)系？最優(yōu)解是否唯一？提示:最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)只有一個(gè)，有時(shí)有多個(gè).(2)已知變量x,y滿足條件,則z=x+y的最小值為______,最大值為________.【解析】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示,作出直線x+y=0，可觀察知當(dāng)直線過A點(diǎn)時(shí)z最小.由得A(1,1),此時(shí)zmin=1+1=2；當(dāng)直線過B點(diǎn)時(shí)z最大.由得B(2,2),此時(shí)zmax=2+2=4.答案：24(3)若變量x,y滿足約束條件則z=x-2y的最大值為_________.【解析】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示.作出直線x-2y=0，可觀察出當(dāng)直線過A點(diǎn)時(shí)z取得最大值.由此時(shí)zmax=1+2=3.答案：3二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域【方法點(diǎn)睛】1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域的畫法在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)有直線Ax+By+C=0(B不為0)及點(diǎn)P(x0,y0),則(1)若B＞0,Ax0+By0+C＞0,則點(diǎn)P在直線的上方,此時(shí)不等式Ax+By+C＞0表示直線Ax+By+C=0的上方的區(qū)域.(2)若B＞0,Ax0+By0+C＜0,則點(diǎn)P在直線的下方,此時(shí)不等式Ax+By+C＜0表示直線Ax+By+C=0的下方的區(qū)域.(注：若B為負(fù),則可先將其變?yōu)檎?(3)若是二元一次不等式組,則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分.2.求平面區(qū)域的面積求平面區(qū)域的面積，要先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積.【提醒】在畫平面區(qū)域時(shí)，當(dāng)不等式中有等號(hào)時(shí)畫實(shí)線，無等號(hào)時(shí)畫虛線.【例1】已知不等式組

(1)畫出該不等式組所表示的平面區(qū)域；(2)設(shè)該平面區(qū)域?yàn)镾,求當(dāng)a從-3到6連續(xù)變化時(shí)，x-y=a掃過S中的那部分區(qū)域的面積.【解題指南】(1)先畫出各個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的直線(畫成實(shí)線),再通過測(cè)試點(diǎn)確定區(qū)域.(2)通過直線變動(dòng)確定掃過的圖形形狀再求面積.【規(guī)范解答】(1)不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0上的點(diǎn)及右下方的點(diǎn)的集合，x+y≥0表示直線x+y=0上的點(diǎn)及右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x=3上及其左方的點(diǎn)的集合.不等式組表示的平面區(qū)域即為圖示的三角形區(qū)域.O-5x3C(3,-3)A(3,8)B(,)x=3x+y=0x-y+5=0y(2)由題意可知x-y=a掃過S的部分區(qū)域如圖所示：∴DC=9,△CDE的邊CD上的高為∴所求區(qū)域的面積＝【反思·感悟】1.作平面區(qū)域時(shí)要“直線定界,測(cè)試點(diǎn)定域”,同時(shí)注意不等式中不等號(hào)有無等號(hào)，無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線.測(cè)試點(diǎn)可以選一個(gè)，也可以選多個(gè)，若直線不過原點(diǎn)，測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn).2.求平面區(qū)域的面積,要先確定區(qū)域,若是規(guī)則圖形可直接求，若不規(guī)則可通過分割求解.【變式訓(xùn)練】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,1),B(-2,2),C(2,6),試寫出△ABC及其內(nèi)部區(qū)域所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式組,并求出該區(qū)域的面積.【解析】由已知得直線AB、BC、CA的方程，直線AB：x+2y-2=0,直線BC：x-y+4=0,直線CA：5x-2y+2=0.∴原點(diǎn)(0,0)不在各直線上，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線方程左端，結(jié)合式子的符號(hào)可得不等式組為：由題圖可知,直線BC與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D(0,4),∴簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題【方法點(diǎn)睛】1.利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的步驟一般用圖解法求解,其步驟是：第一步,畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域；第二步，將目標(biāo)函數(shù)視為動(dòng)直線，并將其平移經(jīng)過可行域，找到最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；第三步，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)，求出最大值或最小值.2.目標(biāo)函數(shù)最值問題分析(1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處或邊界上取得，特別地對(duì)最優(yōu)整數(shù)解可視情況而定.(2)目標(biāo)函數(shù)通常具有相應(yīng)的幾何意義，如截距、斜率、距離等.【例2】已知實(shí)數(shù)x,y滿足

(1)若z=x-2y,求z的最大值和最小值；(2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值；(3)若z=,求z的最大值和最小值.【解題指南】(1)作出可行域與直線x-2y=0，觀察確定最優(yōu)解；(2)由幾何意義可確定z=x2+y2為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，以此求解；(3)由幾何意義可知所求為可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最值,以此求解.【規(guī)范解答】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,圖中的陰影部分即為可行域.由得A(1,2);由得B(2,1)；由得M(2,3).(1)由z=x-2y得由圖可知,當(dāng)直線

經(jīng)過點(diǎn)B(2,1)時(shí),z取得最大值,經(jīng)過點(diǎn)M(2,3)時(shí),z取得最小值.∴zmax=2-2×1=0,zmin=2-2×3=-4.x=2x-2y=0x+y-3=0x-y+1=0lyo3x2ABNM(2)過原點(diǎn)(0,0)作直線l垂直于直線x+y-3=0,垂足為N,則直線l的方程為y=x,由得在線段AB上,也在可行域內(nèi).觀察圖可知,可行域內(nèi)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最大,點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離最小.又即∴∴z的最大值為13,最小值為

.(3)由圖可得,原點(diǎn)與可行域內(nèi)的點(diǎn)A的連線的斜率值最大,與點(diǎn)B的連線的斜率值最小,又∴z的最大值為2,最小值為

.【互動(dòng)探究】若將本例中第(3)問目標(biāo)函數(shù)修改為則z的最大值和最小值又將如何求？【解析】由本例圖可知，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與P(4,-3)點(diǎn)連線的斜率,由圖可知，點(diǎn)P(4,-3)與A連線時(shí)斜率最大，與M連線時(shí)斜率最小.又故z的最大值為-,z的最小值為-3.【反思·感悟】1.求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，必須先求出準(zhǔn)確的可行域，令目標(biāo)函數(shù)等于0，將其對(duì)應(yīng)的直線平行移動(dòng)，最先通過或最后通過的點(diǎn)便是最優(yōu)解.2.對(duì)于目標(biāo)函數(shù)具有明確的幾何意義時(shí),則應(yīng)確定其幾何意義是什么,如本例(2)中是與原點(diǎn)距離的平方而非距離，忽視這一點(diǎn)則極易錯(cuò)解.【變式備選】已知平面區(qū)域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域D上有無窮多個(gè)點(diǎn)(x,y)可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my(m＞0)取得最小值，則m=()(A)(B)(C)1(D)4【解析】選C.方法一：由A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)的坐標(biāo)位置知，△ABC所在的區(qū)域在第一象限，故x＞0,y＞0.由z=x+my得它表示斜率為-，在y軸上的截距為

的直線,因?yàn)閙＞0，則要使z=x+my取得最小值，必須使

最小，此時(shí)需方法二：把m的值逐一代入檢驗(yàn)，只有m=1符合題意，故選C.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題的解法與步驟線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，再按如下步驟完成：(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線l；(2)平移——將l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的位置；(3)求值——解方程組求出A點(diǎn)的坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.【例3】某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物,42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.

如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？【解題指南】設(shè)出午餐和晚餐的單位個(gè)數(shù)，列出不等式組和費(fèi)用關(guān)系式，利用線性規(guī)劃求解.【規(guī)范解答】方法一：設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位,所花的費(fèi)用為z元,則依題意得z=2.5x+4y,且x,y滿足作出線性約束條件所表示的可行域,如圖中陰影部分的整數(shù)點(diǎn),3x+5y=27yO12345678910x12345678910x+y=73x+2y=162.5x+4y=0DCBA讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)處取得最小值.因此,應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐,就可滿足要求.方法二：設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位,所花的費(fèi)用為z元,則依題意得z=2.5x+4y,且x,y滿足作出線性約束條件所表示的可行域,如圖中陰影部分的整數(shù)點(diǎn),3x+5y=27yO12345678910x12345678910x+y=73x+2y=162.5x+4y=0DCBAz在可行域的四個(gè)頂點(diǎn)A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)處的值分別是zA=2.5×9+4×0=22.5,zB=2.5×4+4×3=22,zC=2.5×2+4×5=25,zD=2.5×0+4×8=32.經(jīng)比較得zB最小,因此,應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐,就可滿足要求.【反思·感悟】解線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是正確理解題意，最好將題目中的已知條件用表格形式呈現(xiàn)，來明確它們之間的關(guān)系,這樣能方便寫出線性約束條件及目標(biāo)函數(shù).【變式訓(xùn)練】鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如表：某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9萬(wàn)噸鐵,若要求CO2的排放量不超過2萬(wàn)噸,則購(gòu)買鐵礦石的最少費(fèi)用為_________百萬(wàn)元．a(chǎn)b(萬(wàn)噸)c(百萬(wàn)元)A50%13B70%0.56【解析】設(shè)購(gòu)買鐵礦石A、B分別為x萬(wàn)噸、y萬(wàn)噸，購(gòu)買鐵礦石的費(fèi)用為z百萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)z=3x+6y，由得記P(1,2)，畫出可行域可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x+6y過點(diǎn)P(1，2)時(shí)，z取到最小值15.答案:15【易錯(cuò)誤區(qū)】忽視題目中的約束條件致錯(cuò)【典例】(2011·湖南高考)設(shè)m＞1,在約束條件下,目標(biāo)函數(shù)z=x+5y的最大值為4,則m的值為___________.【解題指南】由已知條件作出可行域,注意已知中m＞1的條件，可以利用一個(gè)特值如m=2作出可行域而后利用目標(biāo)函數(shù)直線過哪一點(diǎn)取最大值，可求解.【規(guī)范解答】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示,把目標(biāo)函數(shù)化為顯然只有

在y軸上的截距最大時(shí)z的值最大,根據(jù)圖形,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值,由得A(),代入目標(biāo)函數(shù),即解得m=3.答案：3【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示與備考建議誤區(qū)警示解答本題時(shí)有兩點(diǎn)誤區(qū)造成失分：(1)忽視條件m＞1，不能正確畫出可行域(2)找錯(cuò)最值點(diǎn),不能正確解出最值點(diǎn)坐標(biāo),從而代入求解失誤備考建議解決含參數(shù)的