第19講直角三角形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形題型03與直角三角形有關(guān)的面積計算題型04利用勾股定理求線段長題型05利用勾股定理求面積題型06已知兩點坐標(biāo)求兩點距離題型07判斷勾股數(shù)問題題型08勾股定理與網(wǎng)格問題題型09勾股定理與無理數(shù)題型10以直角三角形三邊為邊長的圖形面積題型11利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系題型12勾股定理的證明方法題型13以弦圖為背景的計算題題型14利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題題型15利用勾股定理解決實際問題題型16勾股定理與規(guī)律探究問題題型17在網(wǎng)格中判定直角三角形題型18利用勾股定理逆定理求解題型19利用勾股定理解決實際生活問題題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C=40°，則∠1的度數(shù)是（

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠DCE=40°，

則∠CED=90°?40°=50°，∵l∥∴∠1=∠CED=50°，故選：C．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東中山·校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，點D為邊AC的中點，BD=2，則BCA．3 B．23 C．2 【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵點D為邊AC的中點，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=12故選：C．【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．3．（2021·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,H為BC中點，AC=6,BD=8．則線段OH的長為：（

）A．125 B．52 C．3 【答案】B【分析】因為菱形的對角線互相垂直且平分，從而有AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4，又因為H為BC中點，借助直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可作答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4∴△BOC是直角三角形∴B∴BC=5∵H為BC中點∴OH=故最后答案為52【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，其中知道菱形的性質(zhì)，對角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A，B分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上，當(dāng)B在x軸的正半軸上運動時，A隨之在y軸的正半軸上運動，矩形ABCD的形狀保持不變．若∠OAB＝30°時，點A的縱坐標(biāo)為23，點C的縱坐標(biāo)為1，則點D到點O的最大距離是（）A．25 B．22+2 C．22+4 D．2【答案】B【分析】由Rt△AOB中的條件可得AB=4，由△AOB∽△BFC，可得BC=2，再AB上取一點E，利用勾股定理求出OE，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出OE，由三角形兩邊之后大于第三邊可求出OD最大值．【詳解】解：取AB中點E，連接DE、OE、OD，過C作CF⊥BF與點F，在Rt△AOB中，AO=23，∠OAB∴AB=4，OE=12AB=2=AE由矩形的性質(zhì)，可得AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∴△AOB∽△BFC，∵C的縱坐標(biāo)為1，∴BC=2=AD；在Rt△ADE中，DE=22當(dāng)O、D、E三點共線時，OD=DE＋OE最大，此時OD=22故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)性質(zhì)求出相應(yīng)線段，根據(jù)兩邊之和大于第三邊求出最大值是解題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形5．（2022·重慶·重慶市松樹橋中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知△ABC的三條邊分別是a、b、c，則下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．a(chǎn):b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠BC．∠A:∠B:∠C=1:5:6 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定A正確，利用三角形內(nèi)角和定理判定B和C正確、D錯誤．【詳解】解：A、設(shè)a=3k，b=4k，c=5k，∵(3k)2即a2∴三角形是直角三角形，正確；B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，∴2∠C=180°，即∠C=90°，正確；C、設(shè)∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，又三角形內(nèi)角和定理得x+5x+6x=180,解得6x=90,故正確；D、設(shè)∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，又三角形內(nèi)角和定理得3x+4x+5x=180，5x=75,故不是直角三角形，錯誤；故本題選擇D．【點睛】本題考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、證明最大角是直角．6．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)x，y，z滿足(x?5)2+y?12+|z?13|=0，則以x，y，A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】B【分析】根據(jù)平方式、算式平方根和絕對值的非負性求出x、y、z，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.【詳解】解：∵實數(shù)x，y，z滿足(x?5)2∴x=5，y=12，z=13，∵52+122=132，∴x2+y2=z2∴以x，y，z的值為邊長的三角形是直角三角形，故選B.【點睛】本題考查平方式、算式平方根和絕對值的非負性、勾股定理的逆定理，熟練掌握非負性是解答的關(guān)鍵.7．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，選擇下列條件中的一個，能判斷△ABC是直角三角形的是（）①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理一一判斷即可．【詳解】①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴是直角三角形，故①是直角三角形；②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，a2+c2＝b2，故②是直角三角形；③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，故③不是直角三角形；④∵a：b：c＝3：4：5，∴32+42＝52，∴a2+b2＝c2，故④是直角三角形；是直角三角形的三角形有3個①②④故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理逆定理的運用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可，注意數(shù)據(jù)的計算．題型03與直角三角形有關(guān)的面積計算8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，則圖中陰影部分的面積是（

）A．83?4π B．83?2π C．【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=43【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4∴AB=2BC=8，AC=8∴陰影部分的面積=S故選：A．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°，將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'．此時恰好點C在A'C'上，A'A．13 B．916 C．23【答案】D【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，則△BCC'是等邊三角形，∠CBC'【詳解】∵∠A=30°,∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，由旋轉(zhuǎn)得：BC=BC'，∴△BCC∴∠CBC∴∠ABA∴∠BEA=90°，∠CBE=∠A=30°，設(shè)CE=α，則BC=2α，AC=2BC=4α，∴由勾股定理得BE=3α，∴AEAC∵△ABE與△ABC同高，∴△ABE與△ABC的面積之比為34故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊AB，AC于點P，Q；再分別以點P，Q為圓心，以大于12PQ的長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線AE交BC于點F.設(shè)△ABF，△ABC的面積分別為SA．12 B．13 C．13【答案】B【分析】根據(jù)作圖過程可知：AF是∠BAC的平分線，設(shè)BF=x，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，則在Rt△ABF中，【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知：AF是∠BAC的平分線，∴∠BAF=∠CAF=1∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠BAC=60°∴∠BAF=∠CAF=1∴∠CAF=∠C=30°∴FA=FC設(shè)BF=x，則在Rt△ABF中，F(xiàn)A=2x∴FC=FA=2x，BC=BF+FC=x+2x=3x，∴S1=1∴S1故選B．【點睛】本題考查了角平分線的作圖，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）把一副三角尺如圖所示拼在一起，其中AC邊長是26，則△ACD的面積是（

A．42 B．6 C．43 【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到BC=AC2+AB2=43，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=33BC＝4，過A【詳解】解：∵∠CAB＝90°，∠ACB＝∠ABC＝45°，AC＝26，∴AC＝AB＝26，∴BC=AC2∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，∴CD=33過A作AE⊥CD交DC的延長線于E，∴∠ECB＝90°，∴∠ACE＝45°，∴AE2+CE2＝AC2，∴AE=2∴△ACD的面積=12CD?AE=12×故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型04利用勾股定理求線段長12．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cm，則水的最大深度為（

）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【答案】C【分析】過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為52cm，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進而求得水的最大深度DE的長．【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：AD=1∵⊙O的直徑為52cm，∴OA=OE=26cm，在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=O∴DE=OE?OD=26?10=16cm，∴水的最大深度為16cm，故選：C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．13．（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC故選D．【點睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，則OA的值為（

A．3 B．32 C．2 【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠OBC=90°，OC=5，BC=1∴OB=∵∠A=90°，∠AOB=30°，∴AB=1∴OA=O故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型05利用勾股定理求面積15．（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？家荒＃┤糁苯侨切蔚膬蛇呴L分別是方程x2?7x+12=0的兩根，則該直角三角形的面積是（A．6 B．12 C．12或372 【答案】D【分析】根據(jù)題意，先將方程x2【詳解】解方程x2?7x+12=0得x當(dāng)3和4分別為直角三角形的直角邊時，面積為12當(dāng)4為斜邊，3為直角邊時根據(jù)勾股定理得另一直角邊為42?3則該直角三角形的面積是6或37故選：D．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角邊斜邊的確定、直角三角形的面積求解，熟練掌握解一元二次方程及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm，在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm．邊BC與FG在同一直線上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s

【答案】4+2或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)CD交EF于點H和AB交EG于點H時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵在等腰直角三角形EFG中，∴∠EFG=45°，當(dāng)CD交EF于點H時，

∴∠HFC=∠FHC=45°，∴設(shè)CF=CH=x，由題意得12解得x=22，即CF=CH=2∴點C移動的距離為8+22所用時間為8+22當(dāng)AB交EG于點H時，

∴∠HGB=∠BHG=45°，同理，得BG=BH=22∴CG=4?BG=4?22∵在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm∴FG=2∴點C移動的距離為8+102所用時間為12+82故答案為：4+2或6+4【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)．17．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△BED是等腰直角三角形，AC經(jīng)過點E，過點B作BA⊥AC，過點D作DC∥BA，若AC=10，CD=8，求

【答案】34【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=DE，∠BED=90°，證明△AEB≌△CDEAAS，由全等三角形的性質(zhì)得出CD=AE【詳解】解：∵△BED是等腰直角三角形，∴BE=DE，∠BED=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵BA⊥AC，∴∠A=90°，∴∠AEB+ABE=90°，∴∠ABE=∠CED，∵DC∥∴∠C=180°?∠A=90°=∠A，∴△AEB≌∴CD=AE，∵AC=10，CD=8，∴CE=AC?AE=2，在Rt△DCE中，由勾股定理得：D∴S△BDE【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△AEB≌題型06已知兩點坐標(biāo)求兩點距離18．（2022·廣東中山·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點（3，﹣2）到原點的距離是．【答案】13【分析】根據(jù)兩點的距離公式計算求解即可．【詳解】解：由題意知點（3，﹣2）到原點的距離為3?0故答案為：13．【點睛】本題考查了用勾股定理求解兩點的距離公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握距離公式：Ax1,y119．（2022·寧夏銀川·銀川市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內(nèi)兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點間的距離P1P2=(x1?x2)2+(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點間的距離；(2)已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標(biāo)為4，點B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點間的距離；(3)已知一個三角形各頂點坐標(biāo)為D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．【答案】(1)AB＝13(2)AB＝5(3)△DEF是等腰三角形，理由見解析【分析】(1)直接套公式(x(2)根據(jù)題干中“當(dāng)兩點所在的直線平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|”即可求解；(3)套公式(x【詳解】（1）解：由題意可知A、B兩點間的距離為(2+3)2故A、B兩點間的距離為13．（2）解：由題意可知，直線AB平行y軸，∴A、B兩點之間的距離為4-(-1)=5．（3）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：DE=(?2?1)EF=(4+2)DF=(4?1)∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形．【點睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中兩點之間距離的求法，其本質(zhì)是勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意即可求解．題型07判斷勾股數(shù)問題20．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┕垂啥ɡ碜钤绯霈F(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，【答案】26【分析】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m（m為偶數(shù)且m≥4），根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論．【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m（m為偶數(shù)且m≥4），則另一條直角邊b=m22則弦為102故答案為：26．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．21．（2022·河北石家莊·校聯(lián)考三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=(1)當(dāng)n=1999時，寫出整式A+B的值______（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；(2)求整式A2(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n取正整數(shù)時，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．【答案】(1)4×(2)((3)正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，A+B=n（2）把A=n2+1，B=2n（3）先計算B2【詳解】（1）解：A+B=n當(dāng)n=1999時，原式=1999+1=2000=4×10故答案為：4×10（2）A2=n=n=(（3）嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：∵B=4n=n∴B∴當(dāng)n取正整數(shù)時，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)．【點睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法的計算方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．22．（2019·安徽馬鞍山·校聯(lián)考二模）若正整數(shù)a，b，c（a＜b＜c）滿足a2+b2＝c2，則稱（a，b，c）為一組“勾股數(shù)”．觀察下列兩類“勾股數(shù)”：第一類（a是奇數(shù)）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二類（a是偶數(shù)）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）請再寫出兩組勾股數(shù)，每類各寫一組；（2）分別就a為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情形，用a表示b和c，并選擇其中一種情形證明（a，b，c）是“勾股數(shù)”．【答案】（1）第一組（a是奇數(shù)）：9，40，41（答案不唯一）；第二組（a是偶數(shù)）：12，35，37（答案不唯一）；（2）當(dāng)a為奇數(shù)時，b=a2?12，c=a2+1【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)a為奇數(shù)時，當(dāng)a為偶數(shù)時，根據(jù)勾股數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）第一組（a是奇數(shù)）：9，40，41（答案不唯一）；第二組（a是偶數(shù)）：12，35，37（答案不唯一）；（2）當(dāng)a為奇數(shù)時，b=a2?1當(dāng)a為偶數(shù)時，b=a24證明：當(dāng)a為奇數(shù)時，a2+b2＝a2∴（a，b，c）是“勾股數(shù)”．當(dāng)a為偶數(shù)時，a2+b2＝a∴（a，b，c）是“勾股數(shù)”【點睛】本題考查了勾股數(shù)，數(shù)字的變化類﹣規(guī)律型，讀懂表格，從表格中獲取有用信息進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型08勾股定理與網(wǎng)格問題23．（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（

A．355 B．175 C．3【答案】D【分析】過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得線段AC【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則∠ADC=90°，∴AC=A∴sin∠ACB=故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2022·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測）如圖，在9×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是∠ABC的平分線，則BD的長為（

）A．102 B．10 C．3102【答案】A【分析】利用勾股定理求出AB、BC、AC的長，可得△ABC為等腰三角形，利用等腰三角形三線合一可得AD的值，繼續(xù)用勾股定理即可求出BD的值．【詳解】解：由題可知，AB=5，BC=32+∴AB=BC，又∵BD平分∠ABC，∴AD=12AC=310∴BD=A故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的三線合一，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．題型09勾股定理與無理數(shù)25．（2020·河南·模擬預(yù)測）小明學(xué)了在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點的方法后，進行練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點A，然后過點A作AB⊥OA，使AB=3(如圖)．以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點P，則點P所表示的數(shù)介于(

)A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】C【分析】利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可求得答案.【詳解】由作法過程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=OA∴P點所表示的數(shù)就是13，∵9<∴3<13即點P所表示的數(shù)介于3和4之間，故選C.【點睛】本題考查了勾股定理和無理數(shù)的估算，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容以及無理數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵.26．（2022·廣東佛山·西南中學(xué)?？既＃┕垂啥ɡ碓凇毒耪滤阈g(shù)》中的表述是：“勾股術(shù)曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦”．即c=a2+b2（a為勾，b為股，c為弦），若“勾”為2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先利用勾股定理求出“弦”，然后利用算術(shù)平方根的性質(zhì)估計其最接近的整數(shù)．【詳解】解：依題意“弦”為22而3.5=12.25∴“弦”最接近的整數(shù)是4．故選：D．【點睛】本題主要考查了利用勾股定理進行計算，同時也利用了算術(shù)平方根的性質(zhì)估計無理數(shù)的大?。?7．（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖所示，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是?1，O是原點，以AO為邊作正方形AOBC，以A為圓心、AB長為畫弧交數(shù)軸于P1、P2兩點，則點P1表示的數(shù)是，點P2表示的數(shù)是【答案】?2.40.4【分析】首先根據(jù)題意求得AO=BO=1，再利用勾股定理求得AB=2，然后根據(jù)題意可得A【詳解】解：∵點A表示的數(shù)是?1，O是原點，以AO為邊作正方形AOBC∴AO=BO=1∴AB=∵以A為圓心、AB長為畫弧交數(shù)軸于P1、P∴A∴點P1表示的數(shù)是?1?2≈?2.4；點P故答案是：?2.4；0.4【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理，還涉及到了正方形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等，能利用勾股定理求得AB=2題型10以直角三角形三邊為邊長的圖形面積28．（2020·浙江·一模）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3A．S1=S2 B．S2=【答案】A【分析】由勾股定理，由整個圖形的面積減去以BC為直徑的半圓的面積，即可得出結(jié)論．【詳解】Rt△ABC中，∵AB2+AC2＝BC2∴S2＝12＝18＝S1．故選A．【點睛】本題考查了勾股定理、圓面積公式以及數(shù)學(xué)常識；熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．29．（2019·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·校聯(lián)考一模）如圖，以直角三角形的三邊為邊，分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解：（1）S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2，∵a（2）S1=π4a2，S2=π4b2，S3=π4c2，∵a（3）S1=14a2，S2=14b2，S3=14c2，∵a（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2綜上，可得：面積關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形有4個．故選D．30．（2021·江蘇無錫·校考二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1+S2+S3+S4等于．【答案】72．【分析】過D作BF的垂線交BF于N，連接DI，容易證得ΔACB?ΔBND，ΔACB?ΔAGE，則有SΔACB=SΔBND，SΔACB=S1；根據(jù)DN=CI，DN//CI，∠NCI=90°，可證得四邊形DNCI是矩形，即D、I、H三點共線，根據(jù)AAS可證ΔMND?ΔOCB，△EFM?△DIO則有SΔMND【詳解】解：如圖示，過D作BF的垂線交BF于N，連接DI，∵AB=AD，∠ACB=∠BND=90°∴∠CAB=∠NBD∴ΔACB?ΔBND，∴SΔACB同理可證ΔACB?ΔAGE，∴SΔACB∴DN=BC=CI，AC=BN，則有FC=BN∵∠DNC=∠ICB=∴DN//CI，∴四邊形DNCI是平行四邊形，∵∠NCI=90°，∴四邊形DNCI是矩形，∴∠DIC=90°，∴D、I、H三點共線，∵∠MDN+∠NDB=∠DBN+∠NDB=∴∠MDN=∠DBN又∵ND=CB，∠MND=∠OCB=90∴ΔMND?ΔOCB∴∠DMN=∠BOC，MN=OC，并有：SΔMND∴∵∠DMN=∠EMF，∠DOI=∠BOC，∴∠EMF=∠DOI∵∠DMN=∠EMF，∠DOI=∠BOC，∴∠EMF=∠DOI∵FC=BN∴FN=BC=CI∴FM+MN=CO+OI∴FM=OI∵∠EFM=∠DIO=∴△EFM?△DIO即：S∴S∴===3=3×=3×=72故答案為：72．【點睛】本題考查勾股定理的知識，將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結(jié)合和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．31．（2020·新疆·統(tǒng)考二模）圖中是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大的正方形E的邊長為3,則正方形A、B、C、D的面積之和為．

【答案】9【分析】根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理得出正方形A、B、C、D的面積之和為正方形E的面積，然后代入正方形的邊長即可求解．【詳解】如圖，

∵所有的四邊形都是正方形，∴FJ=MN,IH=JG由勾股定理得，F(xiàn)J∴P∵正方形A的面積為PM2，B的面積為PN2∴正方形A、B、C、D的面積之和為P故答案為：9．【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．題型11利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系32．（2021·廣東深圳·明德學(xué)校校考一模）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=2，BC=4，則AB2【答案】20【分析】由垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，從而求解.【詳解】∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，∴AB2+CD2=AD2+BC故答案為：20.【點睛】本題主要考查四邊形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運用勾股定理.33．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+C（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由見解析；（2）AB2+C【分析】（1）連接AC,BD，先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可證直線AC是線段BD的垂直平分線，再根據(jù)垂美四邊形的定義即可得證；（2）先根據(jù)垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理解答即可；（3）設(shè)CE分別交AB于點M，交BG于點N，連接BE,CG，先證明△GAB?△CAE，得到∠ABG=∠AEC，再根據(jù)角的和差可證∠BNM=90°，即CE⊥BG，從而可得四邊形CGEB是垂美四邊形，然后結(jié)合（2）的結(jié)論、利用勾股定理進行計算即可得．【詳解】證明：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：如圖，連接AC,BD，∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，即AC⊥BD，∴四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想AB∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得：ADAB∴AB（3）如圖，設(shè)CE分別交AB于點M，交BG于點N，連接BE,CG，∵四邊形ACFG和四邊形ABDE都是正方形，∴∠CAG=∠BAE=90°,AG=AC,AB=AE，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG=AC∠GAB=∠CAE∴△GAB?△CAESAS∴∠ABG=∠AEC，又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，∴∠ABG+∠BMN=90°，∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得：CG∵AB是Rt△ACB的斜邊，且AC=4，AB=5，∴BC2=A在Rt△ACG中，CG在Rt△ABE中，BE∴9+GE解得GE=73或GE=?故GE的長為73．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、勾股定理等知識點，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關(guān)鍵．34．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖1，連接AM，BN，求證：△AOM≌△BON：(2)如圖2，將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點N恰好在AB邊上時，求證：BN【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）通過代換得對應(yīng)角相等，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得對應(yīng)邊相等，利用“SAS”即可證明△AOM≌△BON；（2）連接AM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用“SAS”證明△AOM≌△BON，得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，從而可證∠MAN=90°，再根據(jù)勾股定理，結(jié)合線段相等進行代換，即可證明結(jié)論成立；【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，∴△AOM≌△BONSAS（2）證明：連接AM，∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB?∠AON=∠MON?∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，∴△AOM≌△BONSAS∴∠MAO=∠NBO=45°，∴∠MAN=90°，∴AM∴BN【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理等知識點，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．35．（2022·北京石景山·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中點，E為邊AC上一動點（不與點A，C重合），連接DE，將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，過點F作FH⊥DE于點H，交射線BC于點G．(1)如圖1，當(dāng)AE<EC時，比較∠ADE與∠BFG的大小；用等式表示線段BG與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)AE>EC時，依題意補全圖2，用等式表示線段DE,CG,AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠ADE=∠BFG，BG=2AE；證明見解析(2)圖見解析，A【分析】（1）在線段EC上取點P，使得PE=AE，連接BP，由四邊形內(nèi)角和360°及∠ABF=90°，∠DHF=90°，得到∠ADE=∠BFG，再證明△ABP≌△BFG，得到BG=2AE．（2）依據(jù)題意補全圖，在AE延長線上取一點P，使得AE=EP，連接BP，按照（1）中的方法證明△ABP≌△BFG，再運用勾股定理及中位線性質(zhì)得到，AC【詳解】（1）解：∠ADE=∠BFG，BG=2AE，理由如下：證明：如圖，在線段EC上取點P，使得PE=AE，連接BP．∵D是AB中點，PE=AE，∴DE∥BP．∴∠ADE=∠ABP．∵線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，∴BF=BA，∠ABF=90°．在四邊形BDHF中，∠DHF=90°，∴∠BDH+∠F=180°．∵∠BDH+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠F．∵∠ADE=∠ABP，∴∠ABP=∠F．∵∠ACB=90°，CB=CA，∴∠A=∠ABC=45°，∵∠ABF=90°，∴∠FBG=45°，∴∠A=∠FBG．∴△ABP≌△BFG．∴AP=BG．∵PE=AE，∴AP=2AE，∴BG=2AE．（2）解：補全圖形，如圖．AC證明：如圖，在AE延長線上取一點P，使得AE=EP，連接BP，∵線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，∴BF=BA，∠ABF=90°．又∵∠ACB=90°，CB=CA，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠GBF=45°．在四邊形BDHF中，∠DHF=90°，∠ABF=90°，∴∠BDH+∠F=180°．∵∠BDH+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠F．∵D是AB中點，PE=AE，∴DE∥BP，∴∠ADE=∠ABP，∴∠ABP=∠F．在△ABP與△BFG中，∵∠A=∠GBFAB=BF∴△ABP≌∴AP=BG，∵AC=BC，∴AP?AC=BG?BC，即PC=GC．∵∠BCP=90°，∴BC∵D是AB中點，PE=AE，∴2DE=BP，∵CB=CA，PC=GC，∴AC2+C【點睛】本題考查了中位線性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的證明，其中構(gòu)造中位線從而證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型12勾股定理的證明方法36．（2023·北京大興·統(tǒng)考一模）下面是用面積關(guān)系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完成證明．勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．已知：如圖，直角三角形的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．求證：a2方法一如圖，大正方形的邊長為a+b，小正方形的邊長為c．證明方法二如圖，大正方形的邊長為c，小正方形的邊長為b?a．證明【答案】見解析【分析】利用面積法，根據(jù)大正方形面等于4個直角三角形面積加上小正方形面積求解即可．【詳解】證明：方法一：由圖可得：a+ba∴a2方法二：由圖可得：4×12ab+∴a2【點睛】本題考查勾股定理的證明，利用數(shù)形結(jié)合，得出大正方形面等于4個直角三角形面積加上小正方形面積是解題的關(guān)鍵．37．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：由題意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因為AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝a+b?c（2）小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x與a、b、c的關(guān)系，請根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程：（3）請結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗證勾股定理．【答案】（2）見解析；（3）見解析．【分析】（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形可得S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC，利用三角形面積公式得出等式，然后化簡即可得；（3）根據(jù)（1）（2）結(jié)論化簡即可證明．【詳解】解：（2）∵S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC，∴1化簡可得：x=ab答：x與a、b、c的關(guān)系為x=ab（3）根據(jù)（1）和（2）得：x=ab即2ab=(a+b+c)(a+b?c)化簡得a2+b2＝c2．【點睛】題目主要考查三角形的面積及勾股定理的證明，理解題意，將等式化簡求解是解題關(guān)鍵．38．（2019·安徽滁州·?？级＃舅伎碱}】閱讀下面的情景對話，然后解答問題：老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．小華：等邊三角形一定是奇異三角形；小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？（1）①根據(jù)“奇異三角形”的定義，小紅得出命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”，請判斷小紅提出的命題是否正確，并填空：命題（填“正確”或“不正確”），不要說嘛理由．②若某三角形的三邊長分別是2、4、10，則△ABC是奇異三角形嗎？（填“是”或“不是”），不要說嘛理由．（2）在Rt△ABC中，兩邊長分別是a=52、c=10，這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由．（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c的值．【答案】（1）①正確，②是；（2）當(dāng)c為斜邊時，Rt△ABC不是奇異三角形；當(dāng)b為斜邊時，Rt△ABC是奇異三角形；（3）a:b:c=1:【分析】（1）①根據(jù)題中所給的奇異三角形的定義判定命題的真假；②根據(jù)題中所給的奇異三角形的定義容易得出結(jié)果；（2）分c是斜邊和b是斜邊兩種情況，再根據(jù)勾股定理判斷出所給的三角形是否符合奇異三角形的定義；（3）先根據(jù)勾股定理得出Rt△ABC各邊之間的關(guān)系，再根據(jù)此三角形是奇異三角形可用a表示出b、c的值，即可得出結(jié)果．【詳解】(1)①設(shè)等邊三角形的邊長為a，∵a2∴等邊三角形一定是奇異三角形，∴“等邊三角形一定是奇異三角形”，是真命題；②若某三角形的三邊長分別是2、4、10，根據(jù)奇異三角形的定義可知22∴此三角形為奇異三角形;(2)①當(dāng)c為斜邊時，Rt△ABC不是奇異三角形；②當(dāng)b為斜邊時，Rt△ABC是奇異三角形；理由如下：分兩種情況：①當(dāng)c為斜邊時,b=c∴a=b，∴a2+c∴Rt△ABC不是奇異三角形.②當(dāng)b為斜邊時b=c∵b∴2∴a∴Rt△ABC是奇異三角形.

(3)在Rt△ABC中,a2∵c>b>a>0∴2c∵Rt△ABC是奇異三角形，∴a2∴2b∴b2∵a2∴c=∴a:b:c=1:2【點睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意給出奇異三角形的定義、勾股定義結(jié)合運用.題型13以弦圖為背景的計算題39．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）勾股定理相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱“商高定理”．如圖1，以直角三角形ABC的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，三塊陰影區(qū)域面積分別記為S1,S2,S3，兩個較小正方形紙片的重疊部分（六邊形PQMNHGA．S1+S2=S3+S【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到a2＝c2+b2，根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合圖形得出陰影部分面積等于大正方形的面積減去空白部面積，而空白部分面積是兩個較小正方形面積和減去重疊部分（六邊形PQMNHG）的面積即可．【詳解】解：設(shè)直角三角形的斜邊長為a，較長直角邊為c，較短直角邊為b，由勾股定理得，a2＝c2+b2，設(shè)最大正方形的面積為S5,較小正方形面積為S6，最小正方形面積為S7，則S5=S6+S7，圖2中空白部分面積為：S6+S7-S4,S1S1S1S1故選C【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．關(guān)鍵是弄清空白部分的面積如何用兩小正方形的面積和重疊部分面積表示．40．（2022·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）清代數(shù)學(xué)家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法證明了勾股定理（如圖）．連結(jié)CE，若CE=5，BE=4，則正方形ABCD的邊長為．【答案】17【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BE=4，根據(jù)勾股定理求出EF，求出BF，進而得出AE，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：如圖所示：由四個全等的直角三角形可得，BE=CF=4，AE=BF，由勾股定理得，EF=CE2?C∴BF=BE-EF=4-3=1，由勾股定理得，AB=AE2+BE2故答案為：17．【點睛】此題考查是勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．41．（2021·上海楊浦·統(tǒng)考三模）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，如果S1+【答案】16【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且a＞b，由題意可知：S1=（a+b）2，S2=a2+b2，S3=（a-b）2，因為S1+S2+S3=48，即（a+b）2+a2+b2+（a-b）2=21，∴3（a2+b2）=48，∴3S2=48，∴S2的值是16．故答案為16．【點睛】本題考查了勾股定理，正方形的面積，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長的變化表示面積．題型14利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題42．（2019·廣西·統(tǒng)考三模）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A．31+π B．32 C．34+【答案】C【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點A、C之間的最短距離為線段AC的長．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=32π∴AC=32故選C．【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是會將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．43．（2019·山東棗莊·中考模擬）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（）A．20 B．24 C．994 D．【答案】B【分析】設(shè)小正方形的邊長為x，則矩形的一邊長為（a+x）,另一邊為（b+x）,根據(jù)矩形的面積的即等于兩個三角形的面積之和，也等于長乘以寬，列出方程，化簡再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根據(jù)矩形的面積公式，整體代入即可.【詳解】設(shè)小正方形的邊長為x，則矩形的一邊長為（a+x）,另一邊為（b+x）,根據(jù)題意得：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,化簡得：ax+x2+bx-ab=0，又∵a=3，b=4，∴x2＋7x=12;∴該矩形的面積為=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.故答案為B.【點睛】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，求出小正方形的邊長是解題的關(guān)鍵.44．（2021·四川瀘州·統(tǒng)考一模）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若AE=3，BF=2，則正方形DECF的邊長等于()A．32 B．1 C．45 【答案】B【分析】設(shè)正方形DECF的邊長為x，則CF=CE=x，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AE，BF=BG，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)正方形DECF的邊長為x，則CF=CE=x，∵△AGD≌△AED，△BDF≌△BDG，∴AG=AE，BF=BG，∴AB=AG+BG=3+2=5，∵AC2+BC2=AB2，∴(3+x)2+(2+x)2=52，∴x1=﹣6(舍去)，x2=1，∴正方形DECF的邊長等于1．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．45．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，王老師將汽車停放放置在地面臺階直角處，他測量了臺階高AB為16dm，汽車輪胎的直徑為80dm，請你計算直角頂點到輪胎與底面接觸點BC長為（A．35dm B．32dm C．30dm【答案】B【分析】如圖，連接OA，OC，作AD⊥OC于D．可得⊙O半徑為40dm，在Rt△OAD中，由勾股定理得方程（40-16）2+x2=402，求出x即可．【詳解】解：如圖，連接OA，OC，作AD⊥OC于D，由題意得：BC是⊙O的切線，∴OC⊥BC，∵∠B=90°，AD⊥OC，∴四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=x，CD=AB=16dm，設(shè)BC長為xdm，在Rt△ACD中，∵輪胎的直徑為80dm∴OA=OC=40dm，由勾股定理得方程（40-16）2+x2=402，∵x＞0,∴x=32，答：直角頂點到輪胎與底面接觸點BC長為32dm．故選：B．【點睛】此題涉及弦長、半徑的計算的問題，常把半弦長，弦心距轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解．題型15利用勾股定理解決實際問題46．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度為x尺，則可列方程為（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2【答案】C【分析】首先設(shè)蘆葦長x尺，則水深為（x?1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程（x?1）2＋52＝x2．【詳解】解：設(shè)蘆葦長x尺，由題意得：（x?1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型．47．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，一架長為10m的梯子AB斜靠在豎直的墻BC上，梯子的底端（點A）距墻角（點C）為6m．若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端（點B）向下滑動多少米？若設(shè)梯子的頂端向下滑動x

A．10?x2=6+1+xC．102=8?x【答案】C【分析】利用勾股定理可以得出梯子的初始高度，梯子的底端水平向外滑動1m【詳解】解：則題意得AB=DE=10，AC=6，∴BC=A梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端向下滑動x則CD=6+1，BC=8?x，由勾股定理得102

故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．48．（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面尺高．【答案】91【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，利用勾股定理解題即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32=（10-x）2，解得：x=91故答案為：9120【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．49．（2022·廣東深圳·深圳市寶安第一外國語學(xué)校?？既＃┠痴n題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式x2+1+【答案】1035【分析】（1）作點B關(guān)于AC的對稱點B'，連接B'E，交AC于點P，連接AB'，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AB=AB'=AC2+BC2=22，PB=（2）作點B關(guān)于AC的對稱點B'，過點B'作B'N⊥AB于點N，交AC于點M，連接BB'交AC于點O，根據(jù)BM=B'M可知BM+MN=B'（3）根據(jù)題意，構(gòu)造兩個直角三角形，斜邊分別等于x2+1和【詳解】（1）解：如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點B'，連接B'E，交AC于點∵點B和點B'關(guān)于AC∴AB=AB'=AC2+BC2=22∴在△ABB'中，∠∵點E為AB中點，∴AE=12∴EB∵PB=PB∴PB+PE=PB'+PE=故答案為：10．（2）作點B關(guān)于AC的對稱點B'，過點B'作B'N⊥AB于點N，交AC于點M，連接BB根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，BB'⊥∵AB=2，∠BAC=30°，∠AOB=90°，∴BO=12AB=1，∠∴BB'=2在Rt△NBB'中，∠∴∠B'∴NB=12∴B'∵BM=B'∴BM+MN=B'M+MN=故答案為：3．（3）如圖，構(gòu)造圖形，點P是AB邊上一點，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，作點C關(guān)于AB的對稱點C'，連接C'D交AB于點P，延長DB，過點C'作C'根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，AC=AC'=1，CP=∵AB=4，AC∴C'O=4，BO=∴DO=3，在Rt△C'OD中，∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，∴C'P=A∵CP+DP=C'P+DP=∴x2故答案為：5．【點睛】本題主要考查了利用勾股定理求最短路徑問題，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容，利用軸對稱的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型16勾股定理與規(guī)律探究問題50．（2022·廣東中山·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對角線AA．5×522022 B．2×52【答案】A【分析】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得AC，AC1，AC【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=1，BC=2，∴AD⊥DC，∴AC=A∵按逆時針方向作矩形ADCB的相似矩形ACC∴矩形ACC1B1的邊長和矩形即AC:BC=5∴AC∴AC依此類推，AC故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．51．（2022·寧夏銀川·校考一模）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2【答案】2【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長，依據(jù)規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：∵△OA1A∴OA∵△OA∴OA∵△OA∴OA∵△OA∴OA……∴OAn的長度為故答案為：2n?1【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出斜邊是解題關(guān)鍵．52．（2022·黑龍江·二模）如圖，對面積為1的正方形ABCD逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長AB，BC，CD，DA至A1，B1，C1，D1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1D=CD，D1A=DA，順次連接點A1，B1，C1，D1，得到正方形A1B1C1D1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長A1B1，B1C1，C1D1，D1【答案】5【分析】先根據(jù)正方形ABCD的面積為1，求出其邊長，然后求出S1=A1B12=5，再根據(jù)正方形A1B1【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=90°，∴∠A∵正方形ABCD的面積為1，∴正方形ABCD的邊長為1，∵B1C=BC，∴BB∴A∴S同理可得：A2S2A3S3······Sn∴S2022故答案為：52022【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，對于找規(guī)律的題目的關(guān)鍵是找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．題型17在網(wǎng)格中判定直角三角形53．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，則∠BAC與∠DAC的大小關(guān)系為（

）A．∠BAC>∠DAC B．∠BAC<∠DAC C．∠BAC=∠DAC D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)每個小網(wǎng)格都為正方形，設(shè)每個網(wǎng)格為1，由勾股定理可以求出AD、AC、CD的長，再由勾股定理的逆定理得到△ACD為等腰直角三角形，同理可得△ABC為等腰直角三角形，即∠BAC=∠DAC．【詳解】解：如圖，設(shè)正方形每個網(wǎng)格的邊長都為1，連接CD、BC，則AD∵AD∴AD∵AD=CD，∴△ACD為等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，同理：BC∵BC∴BC∵BC=AC，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠BAC=∠DAC．故選：C．【點睛】本題考查勾股定理的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵要掌握勾股定理及逆定理的基本知識．54．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的正弦值為（

）A．55 B．22 C．12【答案】D【分析】取格點E，連接AE、BE，設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，先證得RtΔABE，求得sin∠ABE=【詳解】解：取格點E，連接AE、BE，設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則BE=12+12∵BE2+A∴BE∴∠AEB=90°，在RtΔABE中，由題意知，∠EBD=∠CDB=45°，∴CD∥∴∠APD=∠ABE，∴sin∠APD=故選：D【點睛】本題考查了網(wǎng)格問題中解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．55．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A，B，C均在格點上，D是AB與網(wǎng)格線的交點，則sin∠ADC2的值是【答案】5【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=DB，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可得∠B=12∠ADC【詳解】解：根據(jù)題意由勾股定理得：AC=∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC，∠C=90°，結(jié)合網(wǎng)格可知D分別為AB的中點，∴CD=AD=DB，∴∠B=∠DCB，又∵∠B+∠DCB=∠ADC，∴∠B=1∴sin∠ADC2故答案為：55【點睛】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．關(guān)鍵是得出∠B=1題型18利用勾股定理逆定理求解56．（2019·湖南益陽·統(tǒng)考一模）已知M、N是線段AB上的兩點，AM＝MN＝2，NB＝1，以點A為圓心，AN長為半徑畫??；再以點B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接AC，BC，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，進而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【詳解】如圖所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故選B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．57．（2020·河北·校聯(lián)考二模）如圖，已知點E是△ABC的外心，點P、Q分別是AB、AC的中點，連接EP、EQ分別交BC于點F、D，若BF=5，DF=3，CD=4，則ΔABC的面積為（

）

A．18 B．24 C．30 D．36【答案】B【分析】連接AF，AD，AE，BE，CE，根據(jù)三角形外心的定義，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，進而求得AF，DF，AD的長度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面積．【詳解】如圖，連接AF，AD，AE，BE，CE，

∵點E是△ABC的外心，∴AE=BE=CE，∴△ABE，△ACE是等腰三角形，∵點P、Q分別是AB、AC的中點，∴PE⊥AB，QE⊥AC，∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，∴AF=BF=5，AD=CD=4，在△ADF中，∵AD∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，∴S△ABC故選：B．【點睛】本題考查三角形外心的定義，勾股定理逆定理等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是得到△ADF是直角三角形．58．（2022·廣東佛山·佛山市華英學(xué)校?？级＃┤鐖D，△ABC中，AC=2，BC=4，AB=32，點D是AB的中點，EB∥CD，EC∥AB，則四邊形CEBD的周長是．【答案】6【分析】先證明四邊形CEBD是平行四邊形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明四邊形CEBD是菱形，進而可以解決問題．【詳解】解：∵EB∥CD，EC∥AB，∴四邊形CEBD是平行四邊形，在△ABC中，∵AC=2，BC=4，AB=32，∴（2）2+42=2+16=18=（32）2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，∵點D是AB的中點，∴DC=AD=DB=12AB=3∴四邊形CEBD是菱形，四邊形CEBD的周長=4DB=4×322=6故答案為：62．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理、直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決本題的關(guān)鍵．59．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點，AD=10，BD=6，CD=8，將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，則圖中陰影部分的面積為．【答案】24【分析】連接DE，過點D作DF⊥CE于點F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=BD=6，CE=CD=8，∠DCE=60°，從而可證∠AED=90°，△CDE是等邊三角形，然后根據(jù)S陰影【詳解】解∶連接DE，過點D作DF⊥CE于點F，，由題意，知AE=BD=6，CE=CD=8，∠DCE=60°，△BDC≌△AEC，∴△CDE是等邊三角形，∴CD=CE=DE=8，又DF⊥CE，∴CF=1∴DF=C∵AD=10，DE=8，AE=6，∴AD∴∠AED=90°，∴S====24故答案為：24+【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識，添加合適的輔助線進行解答是解題的關(guān)鍵．題型19利用勾股定理解決實際生活問題60．（2022·江西贛州·統(tǒng)考一模）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問今有沙田一塊，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為7丈，24丈，25丈，問這塊沙田面積有多大？（題中的“丈”是我國市制長度單位，1丈＝10尺）則該沙田的面積為平方丈．【答案】84【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)證明圖形是直角三角形，根據(jù)面積公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出示意圖如下：∵AB=24丈∴AB2+B∴A∴△ABC∴S△ABC故答案為：84【點睛】本題考查勾股定理逆定理的實際應(yīng)用，根據(jù)題意畫出相關(guān)示意圖，按照逆定理內(nèi)容證明并計算即可．61．（2021·湖南岳陽·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)文化我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5丈，12丈，13丈，問這塊沙田面積有多大？（題中的“丈”是我國市制長度單位，1丈＝10尺．）則該沙田的面積為平方丈．【答案】30【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)證明圖形是直角三角形，根據(jù)面積公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出示意圖如下：∵AB=12丈,BC=5丈,AC=13丈∴AB2+B∴A∴△ABC∴S△ABC故答案為：30【點睛】本題考查勾股定理逆定理的實際應(yīng)用，根據(jù)題意畫出相關(guān)示意圖，按照逆定理內(nèi)容證明并計算即可．一、單選題1．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（

）A．23+2 B．5?33 C．【答案】D【分析】過點A分別作AG⊥BC于點G，AH⊥DF于點H，可得四邊形AGFH是矩形，從而得到FH=AG，再由△ABC為等邊三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，從而得到FH=3，再證得∠DAH=∠BAG【詳解】解：如圖，過點A分別作AG⊥BC于點G，AH⊥DF于點H，∵DF⊥BC，∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，∴四邊形AGFH是矩形，∴FH=AG，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，∴∠BAG=30°，BG=1，∴AG=A∴FH=3在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=∠BAG=30°，∴DH=1∴DF=DH+FH=3故選：D【點睛】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F(xiàn)為CE中點．若AE=AD，DF=2，則BD的長為（

）A．22 B．3 C．23【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長．【詳解】解：∵D為斜邊AC的中點，F(xiàn)為CE中點，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，∴BD＝12AC＝AD故選：D．【點睛】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是求出AD的長．3．（2022·四川南充·中考真題）如圖，將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，點B'恰好落在CA的延長線上，∠B=30°A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出∠BAC的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)可知∠BAC=∠B'A【詳解】∵∠B=30°，∴∠BAC=90°?∠B=90°?30°=60°，∵由旋轉(zhuǎn)可知∠BAC=∠B∴∠BAC故答案選：B．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)角是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB=4，點M是斜邊BC的中點，以AM為邊作正方形AMEF，若S正方形AMEF=16，則

A．43 B．83 C．12【答案】B【分析】根據(jù)正方形的面積可求得AM的長，利用直角三角形斜邊的中線求得斜邊BC的長，利用勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵S正方形∴AM=16∵Rt△ABC中，點M是斜邊BC∴BC=2AM=8，∴AC=B∴S△ABC故選：B．【點睛】本題考查了直角