統(tǒng)計(jì)學(xué)賈俊平第5章概率與概率分布CATALOGUE目錄引言概率基礎(chǔ)離散概率分布連續(xù)概率分布期望與方差案例分析01引言概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)科，用于描述隨機(jī)事件、隨機(jī)變量等概念的概率性質(zhì)。概率分布是概率論中的基本概念，用于描述隨機(jī)變量的取值概率規(guī)律。本章將介紹概率論的基本概念、概率分布及其性質(zhì)，以及常用的概率分布類型。主題簡(jiǎn)介010204學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握概率的基本概念和計(jì)算方法。理解概率分布的概念和性質(zhì)，包括期望值、方差等。熟悉常用的概率分布類型，如二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等。能夠運(yùn)用概率論的基本原理解決實(shí)際問題。0302概率基礎(chǔ)在所有可能結(jié)果中，某一事件發(fā)生的可能性是該事件發(fā)生的方式數(shù)與所有可能結(jié)果的方式數(shù)的比值。概率的古典定義概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的主觀定義在大量重復(fù)試驗(yàn)中，某一事件發(fā)生的頻率接近于某個(gè)常數(shù)。根據(jù)個(gè)人或群體的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和信念，對(duì)某一事件發(fā)生的可能性進(jìn)行評(píng)估。030201概率的定義在一定條件下一定會(huì)發(fā)生的事件，其概率為1。必然事件在一定條件下不可能發(fā)生的事件，其概率為0。不可能事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，其概率介于0和1之間。隨機(jī)事件概率的分類0≤P(A)≤1。概率的取值范圍如果A和B是互斥事件，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。對(duì)立事件的概率如果兩個(gè)事件A和B相互獨(dú)立，則P(A∩B)=P(A)×P(B)。事件的獨(dú)立性概率的性質(zhì)03離散概率分布

離散概率分布的定義離散概率分布描述隨機(jī)變量取離散值的概率規(guī)律。離散概率分布的特點(diǎn)隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè)值，概率可以用概率質(zhì)量函數(shù)或概率分布列來表示。離散概率分布的應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如二項(xiàng)分布、泊松分布等。描述n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布，成功概率為p。二項(xiàng)分布描述單位時(shí)間內(nèi)（或單位面積上）隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，平均發(fā)生率λ是參數(shù)。泊松分布描述從有限總體中不放回地抽取n個(gè)樣本，其中某一特定類別的個(gè)體的數(shù)量為k的概率分布。超幾何分布描述在n次伯努利試驗(yàn)中，直到第一次成功為止所需要的試驗(yàn)次數(shù)的概率分布。幾何分布常見的離散概率分布離散隨機(jī)變量取某個(gè)值的概率，通常表示為P(X=x)。概率質(zhì)量函數(shù)（PMF）概率分布列（PDF）期望值（均值）方差離散隨機(jī)變量的所有可能取值的概率的列表，通常表示為P(X=x?)，P(X=x?)，…，P(X=x?)。離散隨機(jī)變量的所有可能取值的概率加權(quán)和，通常表示為E(X)。離散隨機(jī)變量的實(shí)際取值與期望值之差的平方的平均值，通常表示為Var(X)。離散概率分布的數(shù)學(xué)表達(dá)04連續(xù)概率分布它描述了一個(gè)隨機(jī)變量取某個(gè)區(qū)間內(nèi)所有值的概率，而不是單獨(dú)一個(gè)點(diǎn)的概率。連續(xù)概率分布的特點(diǎn)是概率密度函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)且非負(fù)。連續(xù)概率分布是指事件發(fā)生的概率與一個(gè)或多個(gè)實(shí)數(shù)變量相聯(lián)系的分布。連續(xù)概率分布的定義正態(tài)分布01正態(tài)分布是最常見的連續(xù)概率分布之一，它在自然和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差決定了曲線的位置和形狀。指數(shù)分布02指數(shù)分布描述的是一個(gè)隨機(jī)事件在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)，具有無記憶性特點(diǎn)。其概率密度函數(shù)為f(x)=λe^(-λx)，其中λ是泊松分布的平均發(fā)生率。均勻分布03均勻分布描述的是在一定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變量的取值概率相等的情況。其概率密度函數(shù)為f(x)=1/b-a，其中a和b分別為區(qū)間的下限和上限。常見的連續(xù)概率分布連續(xù)概率分布通常用概率密度函數(shù)（PDF）來表示，它描述了隨機(jī)變量在各個(gè)點(diǎn)的取值概率。PDF的值等于該點(diǎn)處的概率值除以該點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)之間的距離。連續(xù)概率分布的期望值和方差等統(tǒng)計(jì)特性也可以通過積分計(jì)算得到。例如，連續(xù)隨機(jī)變量的期望值E(X)可以通過∫xf(x)dx計(jì)算，其中f(x)是概率密度函數(shù)。連續(xù)概率分布的數(shù)學(xué)表達(dá)05期望與方差期望是一個(gè)概率分布的中心趨勢(shì)度量，它表示隨機(jī)變量取值的平均水平。定義期望具有線性性質(zhì)，即對(duì)于任意常數(shù)a和b，以及隨機(jī)變量X和Y，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。性質(zhì)期望的定義與性質(zhì)定義方差是用來度量隨機(jī)變量取值分散程度的量，它表示隨機(jī)變量取值偏離其期望的程度。性質(zhì)方差具有非負(fù)性，即對(duì)于任意隨機(jī)變量X，有Var(X)≥0。此外，方差還具有齊次性，即對(duì)于任意常數(shù)a，有Var(aX)=a^2Var(X)。方差的定義與性質(zhì)方差與期望的關(guān)系方差的大小取決于隨機(jī)變量的期望值和各個(gè)取值偏離期望的程度。如果一個(gè)隨機(jī)變量的期望值為0，那么它的方差等于其取值的絕對(duì)值的概率加權(quán)和。線性性質(zhì)期望和方差之間具有線性關(guān)系。對(duì)于任意常數(shù)a和b，以及隨機(jī)變量X和Y，有Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)。方差的期望值對(duì)于任意隨機(jī)變量X，有E(Var(X))=Var(E(X))。這個(gè)性質(zhì)表明，當(dāng)隨機(jī)變量的期望值存在時(shí)，其方差的期望值等于其取值的期望值的方差。期望與方差的關(guān)系06案例分析通過概率分析，預(yù)測(cè)未來天氣的變化，為人們的出行和活動(dòng)提供參考。天氣預(yù)報(bào)彩票中獎(jiǎng)概率的計(jì)算，讓人們了解中獎(jiǎng)的可能性，避免盲目購買。彩票中獎(jiǎng)在金融、保險(xiǎn)等行業(yè)，概率被用于評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)，幫助企業(yè)做出合理決策。風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估實(shí)際生活中概率的運(yùn)用例如，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)一個(gè)事件可以獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次成功的概率為p時(shí)，二項(xiàng)分布可以描述成功的次數(shù)。在單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)滿足泊松分布，如放射性衰變。離散概率分布的實(shí)例分析泊松分布二項(xiàng)分布在自然界和社會(huì)生活中，許多隨機(jī)變量的取值都服從或近似服從正態(tài)分布。例如，人類的身高、考試分?jǐn)?shù)等。正態(tài)