第二章導(dǎo)數(shù)計(jì)算與應(yīng)用

本章主要知識(shí)點(diǎn)

?導(dǎo)數(shù)定義

?復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，高階導(dǎo)數(shù)，微分

?隱函數(shù)，參數(shù)方程求導(dǎo)

?導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)定義

函數(shù)丁=/(%)在》=/處導(dǎo)數(shù)定義為

1(/+/?)-/?(/)

/f(x)=lim

0h

A/+//)-ya。)

左導(dǎo)數(shù)=

“f0+h

右導(dǎo)數(shù)/：(%o)=lim/(Xo+)一/(X。)

h

導(dǎo)數(shù)/U)存在=/：(X0)，r(X0)有限且咒(Xo)=￡(%)

分段點(diǎn)求導(dǎo)必須應(yīng)用定義。

兩個(gè)重要變形：

1,r(x0)=lim/⑴一)婚

f0X-XQ

2.若小。)存在,lim小。+曲＞&+嘰=(時(shí)"口。)

/ifoh

例2.1.f'(l)=-2，求liir/"2仆—湎

h

解：lim'Q—2")-"(/+弘)=(_2_5)/(1)=14

用一。h

/(2x)

例2.2.若r(0)=2"(0)=0,求lim

0s]l-sin(3x)-1

解：lim/”2x)小/耍毆―的絲上幽」八0)二

5Jl-sin(3x)-lX」sin3x3x33

2

例2.3.求廣(0)

2x-x,x<0

解：￡(0)=Jim"0+0—1⑼=lim"”一°=1

h—>o+h/?—?o+h

.(O)=lim")+/"/(°)=Hm”心=2

20-h〃-。-h

九'(0)0/(0)所以尸(0)不存在.

例24/(%)=2，求/40)

2",x>0

解：/(%)=

2[<0

r/(0+A)-/(0)2h-\eh'n2-l/zln2

f,(0)=lim-.......J''=rhm------=hrm----------=lim-------=ltn2n

A—>0+h用―>0+h//—>o+ho+h

￡(。)=1皿穴°+小/(°)=1而==-出2

Zzf0—hhfQ-h

所以尸(0)不存在。

“，”xsin—+sinx2,x^0,?,、

例2.5./(x)={x求/z(0)。

0,x=0

/zsin—+sinh21

解：/,(0)=lim----------------=limsin—=不存在

小。h2。h

所以/'(O)不存在

"(i-x)-y(i+3x)

,九<u

ln(l+x)

例2.6.如果/'⑴=2,分析函數(shù)/(x)=<0,x=0在x=0處的連續(xù)性。

/(l+x)_/(l-2x)

c7,-A->V/

e2x-11

解：/(0+0)==lim/(1+A)-^(1~2/z)=1(l-(-2))r(l)=|/(1)=3

f(l-^)-/(l+3/0

/(o-o)=lim那迎yf⑴7

/2->0ln(l+/i)

所以f<x>在x=0處不連續(xù)。

二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、高階導(dǎo)數(shù)、微分

1.復(fù)合函數(shù)中的層次關(guān)系識(shí)別

正確識(shí)別復(fù)合函數(shù)構(gòu)建的層次是快速準(zhǔn)確求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的關(guān)鍵。下列通過(guò)幾個(gè)例子

來(lái)說(shuō)明復(fù)合函數(shù)層次識(shí)別問(wèn)題。

sin(cos-)

例2.7.y=ex

由外與里y分為四層：efsinfcos——

x

例2.8.y=lnxsin2x

y分為一層：x

例2.9.y=sin3(sir?%—tan尤)

y分為三層：立方-sinx-—

例2.10.y=Jsin(ln(,2尤+1+x?)

y分為四層：-?sin->In->+

化分清層次的同時(shí),要注意每一層符號(hào)下的變量是什么，不可混淆。

2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)原則

我們將求導(dǎo)的所謂“鏈?zhǔn)揭?guī)則”等價(jià)轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)“口訣”：

”外與里；號(hào)變號(hào)；則用則；層間乘”。

例2.11.、=2)113工,求了，

解:y'=2xsgln2(xsin3x)'

=2gM3xin2Q'sin3x+x(sin3x)')

=2rsin3xln2(sin3x+xcos3x.3)

=2'sin3'In2(sin3x+3xcos3x)

例2.12.y=ea3aB(sin2，)，求y；

解丫,_^arctanfsinlx)2cos2x

：y-l+sin22x

例2.13.丁=&.『,求/；

例2.14.y=sin2(InJ2x+1+x?),求y'

解：y'=2sin(ln(V2x+l+%2))cos(ln(j2x+l+x2)),[------(—，?+2x)

V2X+1+X22y/2x+l

分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要切記對(duì)于分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)要用定義。

例2.15.y（x）=<,求/'（%）

'）［4+羽%<0J、）

3%2+1,%>0

解：r（x）=<

—3/+1,%<0

(0)h^+h

力（。）=圖二lim-----二11

h/z->0+h

“MT⑼-hi+h,

尸（0）=修=lim-------二1

hh^0-h

八0）=1,

3x2+1,x>0

綜合得,/'(x)=1,x=0o

—3x~+1,x<0

例2.16.〃%)=2i，求/'(同

2-",x〉a

解：/(x)=1l,x-a

2a-\x<a

,12Fn2,x>a

f\x)=\

-2a-xln2,x<a

￡，(、］.f(a+h)-f(a)2h-l

A(〃=lim-------------=lim------------=In2,

'7h^o+h。+h

"\f(a+h)-f(a)2^-1

/.(〃)=rlim----------------=lim-------------=-m2

'/hf。-h力一>。一h

所以/'(a)不存在。

.1.

x2sin—+sinx,%w0

例2.17.已知〃%)=<x

0冗=0

⑴求/'(%)；⑵研究/'(%)在x=0處的連續(xù)性。

11-1

解：(1)fr(x)=2xsin—+%2cos------+cosx,

XXX

/'(%)=2%sin--cos—+cosx(%w0)

/z2sin—+sinh

小)-〃嘰lim

〃°)=罌h=l+lim/zsin—=1。

h/；->ohh—°h

〔2〕lim/'(%)=lim2xsin--limcos—+1

x—0')xf0九0JQ

不存在,

7=l-limcos—,

x-0、X

故/'(尤)在x=0處不連續(xù)，且為n類(lèi)間斷。

3.高階導(dǎo)數(shù)與微分

(1〕高階導(dǎo)數(shù)

幾個(gè)常用公式

])(')_(-1)"?!

⑴I-/,\n+1

ax+b

[2)(sinx)”

(5)萊伯尼茲公式①)⑺=E>")V(T

1=0

例2.18.>=泥3,求y"(0)

2x2x

解：y'=e-+x(-2)e-

y'=e2x(l-2x)

yrr=-2e-x+(l-2x)e-2x(-2)

y"=e2x(-4+4%)

y"(0)=T

例2.19.y-x2eT,求y0°)

解：嚴(yán)）=I）

y（10）=xex+2Gxex+90—

1

例2.20.求再

了一（2x-l）（x+2）

1

解：y=

（2x-l）（x+2）

1（2x-l）-2（x+2）

-?,（2x-l）（x+2）

1

5x+252x-l

n

11⑺,a1（）1（-Ifn!2（-l）"n!

y⑺=??2〃

5lx+251215（x+2-5（2x-l）n+l

例2.21.丁=111（2》+1）,求）"）

2

解：y=

2x+l

2（—1嚴(yán)/—l）!（_1廠(chǎng)2〃。-1）!

/）一,乙—，（在2）

（2x+l）n（2x+l）n

例2.22./（%）=cos?%,求/（5°）（0）

解：f（x）=cos2%=--c；s2”

/W（）=-1.2M-cosf2x+n7r

x=_2”Tcos2XH-----

~2I2

，（5。）（0）=_2,9cos（25?）=249

例2.23./（x）=sin5xcos2x，求（x）

解：/（sin7%+sin3%）

/(〃)(x)=g.7〃sin(7x+rur-^-3/2sinf3x+rur

~2~2

(2)一階微分

定義：對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在常數(shù)A,使得:

/(x0+Ax)=/(x0)+AAX+6>(AX)

則稱(chēng)/(x)在％=/處可微。

成立：/(x)在x=%0可導(dǎo)O可微，且辦=r(Xo)dx。

dy=/'(x)公可作為微分求解公式。

例2.24.y=xsin2x,求力|冗

x=-2

解：y=sin2x+2xcos2x

=sin〃+〃cos7i--7i

dy=y,(j^)dx--7idx。

,.…sin2%47

例r2.25.y=-------，求力。

X

2%cos2x-sin2x2%cos2x-sin2x

解：y'=dy=dx

x2x2

?X2

2--三八

例2.26./(%)=<,xe2,龍〉0,求力k0

xsinx,x<0

解：力(0)=lim/(/Q-/(0)

h^0+h

h2

h2e2

=lim-------=0,

20*h

，(/①)一〃。)〃

ff_(c0\)=lVim=rlim---s-i-n-h-=0,

、7h^0~hh^0~h

故/(0)=0,所以4Lo=O?公=0。

例2.27.利用微分近似計(jì)算e°05。

解：令A(yù)x=0.05,x()=0,/(x)=e",

則e°05=心。屋。+f'(x0)Ax0=l+lx0.05=1.05。

4、求導(dǎo)中若干特別問(wèn)題

〔1)奇偶函數(shù)導(dǎo)數(shù)

結(jié)論：奇(偶)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶(奇)函數(shù)。

例2.28.fix)為奇函數(shù),7'(—2)=5,/'(—5)=(5)。

例2.29.f<x>為可導(dǎo)函數(shù)，則〃x)-/(—X)的導(dǎo)數(shù)為(偶函數(shù))。

(2)JlnlJ=—tfx

X

(ln(x+yjx2+a))，=/J

yjx2+a

〔3)/(x)=(x-?n(x—a)"1,("為奇)，在x=a導(dǎo)數(shù)最大階數(shù)等于m+n-1.

例2.30./(x)=C?—2x—3)|(x—3)(x+l)3|導(dǎo)數(shù)最大階數(shù)為(1階)。

[4)(u(x)vM)'=(evlnM)'=u(x)vM(MIn〃+㈣)

u

例2.31.y=(sin%)二求y'

解：y'=(sinx)x(lnsin%+%cotx)

[5)符號(hào)型求導(dǎo)

例2.32.y=/(/(/)),求了。

解：y'^f'(f(x2))-f'(x2)-2x

三、隱函數(shù)、參數(shù)方法求導(dǎo)

1.隱函數(shù)求導(dǎo)

由方程方（無(wú),y）=0確定的函數(shù)y=y（%）,隱函數(shù)求導(dǎo)可看成復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的特例。

例2.33.由xy2+ey+sin（3%+2y）=%確定隱函數(shù)y=y（%），求電。

dx

解：方程兩邊對(duì)犬求導(dǎo)得

y1+x-2yyf+e'y'+cos（3x+2y）（3+2yf）=1

,1-y2-3cos（3x+2y）

y-

2xy-\-ey+2cos（3x+2y）

例2.34.由方程sin（2x+y）+y2=1確定隱函數(shù)）=＞（x）,求

解：sin（2x+y）+y2=1

方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得：cos（2x+y）（2+y'）+2W=。（*）

y'=-2cos（2x+y）,⑴式再對(duì)工求導(dǎo)，得：

2y+cos（2x+y）

-sin（2x+y）（2+y）2+cos（2x+y）-yn+2（/）2+2yy,r=0

〃sin（2x+y）（2+yr）2-2（/）24y2sin（2x+y）-4cos2（2x+y）

2y+cos（2x+y）[2j+cos（2x+

例2.35.已知y=y（x）由方程（y-De*+x*=2ex確定，求y'（0）.

解：將x=0代入（y—1）/+xe-P=2",得到y(tǒng)=3。

方程兩端對(duì)X求導(dǎo)，得，(y—1)+y'e'++xexy(y+xy')=2e”,

2"-(y-盯*，仆2-2-1]

y=--------訪(fǎng)千--------，y(0)=]-=-1。

2.參數(shù)方程求導(dǎo)

x=%⑺

問(wèn)題：＜求電也

j=y(0dx，dx2'

dyE包、

dydt_yid2y(V)；

求導(dǎo)公式:==

2

dxdxx't'dxdxxt'

dtdt

4x=ln(l+r)dyd2y

例2.36.已知<求—,—?

y=t-arctan?dxdx~

,，1-----

dyJ=1+產(chǎn)J

解:

dxx't2t2

1+t2

dx2dx2t47

dt1+r2

例2.37.已知/='sm'+2，求半，并給出=工時(shí)丁=近幻的切線(xiàn)法線(xiàn)方程.

y=2+/cos^dxdx2

a碧

dy_y\__cos%—Isinld2y_力dx_產(chǎn)

解:

r23

dxxtsin^+^cos/dxdx(sinZ+^cosZ)

dt

71

斜率左=電「an%=必=3+2,為=山

~2,=￡-2,

dxt二122

2

7T7T

切線(xiàn)方程為y—2=—](x—2)。

227t

法線(xiàn)斜率左=—,法線(xiàn)方程為：y-2=-(x---2)

71712

例2.38.已知y=y(x)由‘X1確定，求立。

[xt+ye'=1dx

解：將方程中尤,y分別看成為f的函數(shù)，分別對(duì)1求導(dǎo)得

2x3+2a+2=0

<dtdt

dxdy,_

t----1-x+et—+ey=0

、dtdt

解得：

dx_-te'+xy+y2e'dy_t~—x1-xye1

dtxe'-ty'dtxef-ty

22

ceH,dydyIdtt-x-xye'

所以==-----=----：--------T--o

dxdx!dt-te+xy+ye

四'導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

〔a）斜率和幾何應(yīng)用

1b）洛必達(dá)法則求極限

[c）函數(shù)單調(diào)性,凹凸性，極值與拐點(diǎn)，漸近線(xiàn)

[d）最大值，最小值與實(shí)際應(yīng)用

[e）微分中值定理的應(yīng)用

[f）證明不等式

1.斜率與幾何應(yīng)用

函數(shù)y=y（九）在x=/處導(dǎo)數(shù)y\x）為切線(xiàn)斜率左，即k=y'（x），過(guò)點(diǎn)的

切線(xiàn)方程為y—/（%）=/（%）（工一/）。法線(xiàn)方程為y—/（%）=—總二（x—x。）。

/（%）

例2.39.y=求過(guò)（1,1）的切線(xiàn)方程。

解：v=|?，左=v（i）=m

切線(xiàn)方程為y—l=：3（x-1）。

例2.40.過(guò)點(diǎn)（0,0）引拋物線(xiàn)y=l+x2的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程。

解：設(shè)切點(diǎn)為（如1+君）,因y'=2x,

左=,'(?%)=2%,

切線(xiàn)方程為y=2/%,

==

1+XQ2XgXg,XQ1,XQ=±1,

所以，切線(xiàn)方程為y=±2x。

例2.41.問(wèn)函數(shù)y=，（x>0）哪一點(diǎn)

X

上的切線(xiàn)與直線(xiàn)y二X成60°角？

女］一女21-%2

解：設(shè)切線(xiàn)斜率為&<o,丁=%，占=1，tan(z=

1+左1左21+左2

解得：鼠=-y'y=-2土解得：x

x

2.洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則是導(dǎo)數(shù)對(duì)極限的應(yīng)用，歸結(jié)為求極限問(wèn)題的題型六。它是求極限問(wèn)題非常重要

的一個(gè)題型。

洛必達(dá)法則：若山11/（%）=0,111118（%）=0,且在4的鄰域附近8。），8（；0可導(dǎo)。如果

x—>ax—>a

成立=則lim1^二A。

fg〈x）-g（x）

注：①洛必達(dá)法則處理的形式必須是未定式9,雙。對(duì)于0?8,00-8等必須變形為

000

匯形式。

②洛必達(dá)法則是一個(gè)充分性的法則，若lim華^不存在，則說(shuō)明此方法失效。

』g(%)

③洛必達(dá)法則只要前提正確，可重復(fù)使用。

④一般而言，洛必達(dá)法則和求極限題型五配合使用效果會(huì)更佳。

錯(cuò)誤!注意其和連續(xù)，可導(dǎo)概念結(jié)合的綜合題。

行cc「%-sinx

例2.42.lim---------------

%-。tan%sinx

x-sinx[.1-cosx1.21

解：原式=lim=lim-----；—=lim,=—

0x3%一。3x%一。3x6

例2.43.lim(----------)

x->oxe*—1

px—1—Yex—1—xex-lx1

解：原式已鳴曾=lim-——=hm——=一

ET2

x22xx2x2

例2.44.limx2Inx

x-?0+

Inx1Y2

解：原式：呼”=陰不=lim—=0

x—>o—2

例2.45.limxe~x

X—>00

x1

解：原式=lim==lim——-=0

28g'Xf82X(；'

例2.46.lim(二----

fxsinx

(sinx-x)(sinx+x)

解：原式=lim

x—>0x2si?n2x

_1%2

sin九一xsinx+x2.cosx-11

；=2lim-2--二

=lim3=21im------—

x—>0Xx%一。3x…3x3

例2.47.lim(--------------)

%-。xtanx

._ht,an2x—x2.t,an2x-x2

解：原式=hm----------=hm

xtanx3X4

tanx-xtanx+xsec2x-12-tan2x2

=limlim二21im------T——=—lim——--

%fox3%fox。3x3一。x3

x+sinx

例2.48.lim

x-smx

解：由羅必塔法則源式=limL*H=不存在

fol-cos犬

這不說(shuō)明原式不存在，僅說(shuō)明洛必達(dá)法則對(duì)此題無(wú)效。

,sinx

1+------

原式二lim——\=1

X—>00sinx

x

例2.49.lim(l+xlnx)cscx

%fO+

J.

1nx

解：limlim——=lim告=lim(-x)=0

%fO+%fO+1%fO+—1%fO+

]Axlnxcscx

------limInx

原式=lim<(1+xlnx)x1nxI=ex^°+=0

xfo+

例2.50.lim%]

x->0+

tlimxlnx八

解：原式=山11/皿=65+=e°=l

.v->0+

例2.51.lim@*

%”X

解：原式=lim=lim(/3)'=lim^(Inx+l)=oo

%—>()+1x—>0+x—>0+

2MXHO

例2.52.設(shè)/(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(O)=O,g(x)=x'

J'(O)=O,x=O

證明：g(x)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

解：當(dāng)Xw0時(shí),g'(x)=對(duì)'⑴U(x),g，⑺在％w0處連續(xù)

以h),

g,(。)=lim皿他=1而「()=lim-W：

-oh—0h—0斤

一?㈤—八0)CW)，'(0)

二lim-----------------=lim---------=---------

小。2h2。22因

limg'(x)=lim—)2~~~~——lim~~—~-lim~~~~—■~~~~

0.0x—>01hr。2x022

所以limg'(x)=g'(0)=，故g'(x)在=0處連續(xù)。

%一。2

綜上所述g<x>有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

3.函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)與漸進(jìn)性

a、單調(diào)性

如果/⑴>0,xe/則f(x)在/上嚴(yán)格單調(diào)增加，尸(x)<0,xe7，則/(%)在I上嚴(yán)格

單調(diào)減少。

滿(mǎn)足/'(x)=0的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)。

b、極大值，極小值

判別I:如果在x=%的附近，當(dāng)x</，“X)單調(diào)增加，1>/,/(%)單調(diào)減少，則

f(x)在尤=X。取得極大值，反之取極小值。

判別II：如果/(%)在X=X。鄰域存在兩階導(dǎo)數(shù)，且尸'(不)〉0取極小值，尸'(％)<0取

極大值。

極值點(diǎn)可能出現(xiàn)在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)上。

C、凹凸法

f“(x)在/上存在，如果/〃(%)>0,xe/,則/(%)在/上向上凹；/"(無(wú))<0,尤e/,則

/(x)在/上向上凸。

d、拐點(diǎn)

凹凸性發(fā)生改變的界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)。它可能出現(xiàn)在/〃(x)=0的點(diǎn)或/〃(x)不存在的

點(diǎn)。

e、漸進(jìn)線(xiàn)

如果limf(x)=A,則y=A為y=/(%)的水平漸近線(xiàn)；如果lim/(x)=8,則x=a

為y=/(x)的垂直漸近線(xiàn)。

有了以上的準(zhǔn)備知識(shí)，分析函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，極值，拐點(diǎn)，的問(wèn)題流程為

（1）求定義域，漸近線(xiàn)；

（2）計(jì)算y',/；

（3）求y'=O,y'=O的點(diǎn)和找出使y',y"不存在的點(diǎn)，設(shè)為玉,々,…,天；

（4）列表分析；

（5）結(jié)論。

例3.53.分析函數(shù)〉=配一"的單調(diào)性,凹凸性，極值，拐點(diǎn)與漸近線(xiàn)。

解：(1)定義域?yàn)閤eH,

X1

漸近線(xiàn)：因limxe~x=lim——=lim——二0

Xf+00X—>-K?0%X—>+X>/

、=0,即左軸為水平漸近線(xiàn)

[2)=(1-x)e~x

y"=-le-x+(1-x)(—De-*=(x—2)”工，由V=0得1=1,由y〃=0得％=2

⑶列表分析

X(-oo,l)i(1,2)2(2,+s)

y'+—

y"+

極大值拐點(diǎn)

y

Tn乂1）=/JnJ（2）=2e-2Ju

[4）y=%"工在（-oo,l）上單調(diào)上升向上凸,（1,2）上單調(diào)下降,向上凸,（2,+oo）上單調(diào)下降,

向上凸，（he-1）為極大值點(diǎn)，[2,2*2）為拐點(diǎn)。

14-T2

例2.54.分析y=——r的單調(diào)性,凹凸性，極值，拐點(diǎn)，與漸近線(xiàn)。

1-X

解：（1）定義域xw±L

1+J

因lim——7=-1,所以y=-l為水平漸近線(xiàn)。

X-口I—X

1+/

因lim——-=8,所以x=±1為垂直漸近線(xiàn)。

z±l1-X2

,_2x(1-x2)3*-(1+x2)(-2x)_4x

2>=(i-x2)2=(i-x2)5

_4(1一/)—4x.2(l—%2)(一2%)_4+12%2

(^4=F45

由V=0得X=O；當(dāng)％=±1,1，胃不存在。

列表分析

X(-00,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+°0)

y—++

y"++

極小值

y拐點(diǎn)拐點(diǎn)

JnJuy(o)=iTn

2

1+Y

函數(shù)二^在(7,-1)上單調(diào)下降，向上凸；在(-1,0)單調(diào)下降晌上凹；

1x

(0,1)單調(diào)上升向上凹；(1,00)單調(diào)上升向上凸。｛0,1｝為極小值點(diǎn),％=±1處為拐點(diǎn)。

例2.55.已知函數(shù)/(x)=alnx+bx2+x在％=1與％=2處有極值，試求a,Z?的值，并求

/(%)的拐點(diǎn)。

解:r(x)=q+2bx+l,題意知尸⑴=0,/'(2)=0,得：

。+26+1=0

'@+46+1=0

12

21

解得：a=—,b=—,

36

/"=—「+2人=白—；=0,解得x=土后(負(fù)號(hào)舍去)。

當(dāng)0<x〈后，/(x)>0,向上凹，當(dāng)x>五時(shí),/〃(x)<0,向上凸,

故％=行為/(x)的拐點(diǎn)。

4.最大值、最小值與實(shí)際應(yīng)用

將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題的最大、最小或更廣泛的最優(yōu)問(wèn)題的求解中是非常重要的考

點(diǎn)。是考查考生實(shí)際應(yīng)用能力的一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，它可能涉與到幾何、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)

學(xué)等方面的內(nèi)容。

分析問(wèn)題的流程為：

11)適當(dāng)假設(shè)求解變量X。

(2)函數(shù)關(guān)系y=y(x)確定；

(3)y'=0求解，交待y最大、最小的理由；

(4)合理分析。

注：第二步是整個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵步驟,(3)中的理由部分可能是容易疏忽之處。

例2.56.〔幾何問(wèn)題〕半徑為R的半圓內(nèi)接梯形,

(1)何時(shí)面積最大？

(2)何時(shí)周長(zhǎng)最長(zhǎng)？

解：設(shè)上底長(zhǎng)度為2x,即=

如圖所示=Y,

圖示2.2

〔1)S(x)=(2x+2R)』R?-尤2/2=(九+R)^R2-X2

S\x)=」R2+(x+R)2x=——x(x+R)

由S'(x)=O解得x=R/2(x=—H舍去)

D

因?yàn)椋?—為唯一駐點(diǎn)，即為所求〔或S，(H/2)<0]

2

此時(shí)5?^=3氏近氏/2=2氏2

mdx24

⑵/(x)=2x+2R+2BC=2(x+R)+2^CF2+BF2

=2(%+R)+2西2__+(R_X)2

=2(尤+R)+2^2R2-2Rx

j.-2R2R

X—+202R2-2Rx——」2R2—2Rx'

由/'（x）=0得x=R/2。

因x=R/2為唯一駐點(diǎn)，即為所求（或/‘‘（夫/2）＜0）,

Max=2(1+R)+2,2玄_夫2=5R。

例2.57.〔幾何問(wèn)題）半徑為R的圓板，剪下圓心角a圍成一個(gè)圓錐漏斗，問(wèn)a為何角度時(shí),

使得漏斗的容積為最大？

解：設(shè)圓錐漏斗的下底半徑為無(wú)，

2

V（x）=-SH=-mJ.2

33

22

V'（x）=-7r（2x^R-x+x2~2X）

3

1,-----------2

=-=XQJF—爐_r)

3

由V'(x)=O解得x=（負(fù)號(hào)舍去）

所以，符合題意的駐點(diǎn)是唯一的x=，gR,

即為所求1或V"（《R）＜0）,

圖示2.4

例2.58.（幾何問(wèn)題）設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V=16〃（n?）的立方

體的有蓋圓錐貯油桶，已知單位面積造價(jià)：頂、側(cè)面、底面為

1:2:3,問(wèn)貯油桶的尺寸如何設(shè)計(jì)使造價(jià)最低？

解：設(shè)該圓柱形底面半徑為廠(chǎng)，高為/1,

頂單位造價(jià)為/（元/平方米），

由"/人=丫,得丸===?,

兀丫r

總造價(jià)函數(shù)A/=7rr23l+Inrh-21+7ir2-I=4兀l(r?+—),

r

M，=4?/(2一與二0,

r

解得：r=2；唯一駐點(diǎn)，即為所求〔或M"⑵>0),

V

此時(shí)h-——-=4o

TIT

例2.59.已知某廠(chǎng)生產(chǎn)工件產(chǎn)品的成本為。(x)=25000+200x+，2〔元［，產(chǎn)品產(chǎn)量x

與價(jià)格P之間的關(guān)系：P(x)=440--%〔元)

20

求：(1)要使平均成本最小,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

12)當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)可獲最大利潤(rùn)，并求最大利潤(rùn)？

解：(1)平均成本

方，、C(x)2500”八1

C(x)=------+200+—x

xx40

-,、25001八

C(zX)=-----H--------=0

%240

解得:X=1000(件)，因?！?1000)〉。

所以x=1000(件)，平均成本3(x)最小，盤(pán)n=300〔元/件)

⑵利潤(rùn)函數(shù)

1,1

Q(x)=尸(x)-C(x)=440x-—%2-25000-200x--x29

3,

=--x2+240x-25000,

40

Q'(x)=—￡x+240=0得：x=1600(件)，

40

唯一駐點(diǎn)，即為所求,0^=1270001元)。

例2.60.一租賃公司有40套設(shè)備要出租。當(dāng)租金每月每套200元時(shí)，該設(shè)備可以全部

租出；當(dāng)租金每月每套增加10元時(shí),租出的設(shè)備就會(huì)減少1套；而對(duì)于租出的設(shè)備，每

月需要花20元的修整費(fèi)。問(wèn)：租金定為多少時(shí)，該公司可獲最大利潤(rùn)？

解：設(shè)每月每套租金定為(200+10。則租出設(shè)備總數(shù)為40%,每月的毛收入為

(200+10x)(40-x)；維護(hù)成本為(40-%>20,于是利潤(rùn)為

L(x)=(200+10x)(40—x)=7200+220x-10%2(0<x<40),

L'(x)=0=>%=11

比較￡(11),￡(0),￡(40)處利潤(rùn):￡(11)>L(0)>￡(40)；

所以,租金為(200+10x11)=310元時(shí)，利潤(rùn)最大。

5.羅爾定理、微分中值定理與其應(yīng)用

Rolle定理：如果/(x)在(。/)可導(dǎo)，在［a,切上連續(xù)，且/(a)=/S),則存

在,使得尸0=0。

Lagrange中值定理：如果/(x)在(a,6)可導(dǎo)，在［a,切上連續(xù),則存在Je(a,b),使得

例3.53.問(wèn)下列函數(shù)哪個(gè)函數(shù)不滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件：〔)

A)y=sinx,xe［一萬(wàn),萬(wàn)］,B)y=x|x|,-l<x<1

C)y=A/X,-1<X<1,D［y=x2+1,-1<x<1

解：選擇C,因?yàn)閥=正在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在。

例2.61已知/(x)=arctanx,xe［-1,1］Lagrange中值定理中的J。

解：/(D-/(-l)=2/?=工=

1+JVn

例2.62.證明/。)=犬—8x+a在［0,1］上不可能有兩個(gè)零點(diǎn).

X=

證明：反證法。如果在［0,1］上有兩個(gè)零點(diǎn)西,々〈不妨設(shè)玉<%2>，即/(l)=/(.X2)0-

y(x)在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件，所以存在Je(0,1)時(shí)，3J2-8=0,故矛盾，原命題得證.

例2.62.設(shè)/(x)可導(dǎo)，求證/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)之間定有寸(刈+r(x)的零點(diǎn).

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)E(x)=/(x)炭”.

設(shè)司為了(X)的兩個(gè)互異零點(diǎn)，不妨假設(shè)玉<々，且/(^i)=/(x2)=0

所以尸(x)在值,9］上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，故存在Jw(石,龍2)使得

尸0=40號(hào)+FC)e延=0。

所以/'e)+^e)=o,命題得證.

例2.63./(X)在也a］上二階可導(dǎo)，/(a)=0,設(shè)尸(x)=(x—b)2/(x),證明：存在

、€(伍4),使得歹方修)=0.

證明：由于F(b)=0,F(a)=0且F(x)在［b,a］上二階可導(dǎo)，所以F(x)在［b,a］滿(mǎn)足羅爾

定理,故存在,e(b,a)使得F&)=0,k(x)=2(x-b)f(x)+(x-b)2f'(x)

知F'(b)=0。

現(xiàn)在考慮g(x)=〃(x),xeg,如,其在［仇哥滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，所以存在

4^(44)匚(仇0),使得尸〃4)=0。

例2.64.證明方程/+4%-3=0只有一個(gè)正根.

證明：［1)根的存在性

令f(x)=x4+4x-3,x^［0,1］,/(0)==2>0,由于/(幻在閉區(qū)間［0,1］上連

續(xù)，故由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在Je(0,1),使得/C)=0,

即，方程/。)=/+4*—3=0有正根.

⑵根的唯一性

應(yīng)用反證法。設(shè)有兩個(gè)不同根石,々，(玉<%2)，則/(%)=犬+4%-3在［再,％2］上滿(mǎn)足

羅爾定理?xiàng)l件，所以，存在Je(%,%)，使得/'4)=4(f+4=0,這不可能，故矛盾,所以根

是唯一的。

綜合原命題成立。

例2.65.證明：方程sinx=x有且僅有一實(shí)根。

證明：x=0是方程的一個(gè)根。

對(duì)Ix|>1,方程無(wú)根，只要考慮%e［-1,1］,4

/(%)=sinx-x,/(0)=0,/'=cosx-l,當(dāng)xe|-l,0)時(shí),/'(x)>0,/(%)嚴(yán)格單調(diào)上

升,7(x)<0,當(dāng)xe(0,1］時(shí),_f(x)>0,f(x)嚴(yán)格單調(diào)上升,/(x)>0，總之，方程僅有一實(shí)

根0。

注：注意上述兩例的區(qū)別。

例2.66.設(shè)函數(shù)/(%)在(0,c)上具有嚴(yán)格單調(diào)遞減的導(dǎo)數(shù)/'(%),/(%)在兀=0處連續(xù)且

/(0)=0,試證：對(duì)于滿(mǎn)足不等式0<a<Z?<a+〃<c的a力均有下式成立：

f(a)+f(b)>f(a+b).

證明：/(x)在［0,a］上滿(mǎn)足拉格朗日的定理?xiàng)l件，故存在5e(0,a)使得

/(a)-/(0)=/^)a,

由/(0)=0,所以7?(a)=r?)a；

/(x)在(仇a+3上滿(mǎn)足拉格朗日的中值定理?xiàng)l件,故存在5G(b,a+b)使得

/(?+b)-f(b)=/?)(a+b-b)=/(殳)a

由于《<a<6<$,而/'(x)是單調(diào)下降的函數(shù)，故/'&)>f'&)；

所以/(口+與―/3)</(?)成立，即/(a+b)</(a)+/(b),原命題得證。

例2.67./⑴在［0,a］上連續(xù)，且(0,。)內(nèi)可導(dǎo),/(a)=0。

證明：存在Je(0,a),使得/?+獷?=0。

證明：構(gòu)造F(x)=xf(x),xG(0,61),

F(x)在(0,a)上可導(dǎo),［。,a］上連續(xù)，且F(0)=0,F(a)=af(a)=0,

故F(x)在［0,a\上滿(mǎn)足羅爾定理,故存在。e(0,?)，使得

尸'?=步'?+/?=0,

即原命題得證。

例2.68.設(shè)/(x),g(x)在上存在二階導(dǎo)

數(shù),g\x)豐0,/(?)=f(b)=g(a)=g(b)=0,證明:存在自e(a,b)使/經(jīng)=

g(J)g?

證明：構(gòu)造p(x)=/(x)g'(x)-/'(x)g(x),由條件