第一節(jié)二階矩陣與平面向量及幾種常見的平面變換…………高考指數(shù):★★

內容要求ABC矩陣的概念√二階矩陣與平面向量

√常見的平面變換√1.矩陣的概念(1)形如,,這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱為_______.(2)行矩陣的表達形式是_____________(3)列矩陣的表達形式是______矩陣［a11a12］(4)2×2的零矩陣的表達形式是________(5)二階單位矩陣(E)的表達形式是________(6)由4個數(shù)a,b,c,d排成的二階矩陣通常記為__________.【即時應用】設A=，B=，若A=B，則x,y,m,n的值分別為____________.【解析】由條件得m+n=2,m-n=3,x=x+y,2x-y=y,解得x=0,y=0,m=,n=.答案：0,0,,2.二階矩陣與平面列向量的乘法定義：規(guī)定二階矩陣A=，與向量=的乘積為A=

，即A＝______________=__________.

【即時應用】已知=

，則

=__________.【解析】由條件得

,解得

,從而

= .答案：3.常見的平面變換(1)恒等變換:對平面上任何一點(向量)施以某矩陣變換時,都把自己變成自己的變換,稱為恒等變換,其恒等變換矩陣(單位矩陣)是_______.(2)伸壓變換:將平面圖形沿y軸方向伸長或壓縮,或沿x軸方向伸長或壓縮的變換,稱為伸壓變換,其變換矩陣是_______或_______.(3)反射變換:把平面圖形F變?yōu)殛P于定直線或定點對稱的平面圖形的變換,稱為反射變換,其關于x軸、y軸、原點的變換矩陣分別是________,_________和_________.(4)旋轉變換:把平面圖形F繞某中心點O逆時針旋轉θ角后得新圖形的變換,稱為旋轉變換,其變換矩陣是______________.(5)投影變換:把平面圖形F投影到某條直線(或某個點)后得新圖形的變換,稱為投影變換,其中垂直投影到x軸上或直線y=x上的變換矩陣分別是________和_________.(6)切變變換:將每一點P(x,y)沿著與x軸平行的方向平移|ky|個單位的變換，稱為平行于x軸的切變變換.將每一點P(x,y)沿著與y軸平行的方向平移|kx|個單位的變換，稱為平行于y軸的切變變換.其變換矩陣分別為________和________.【即時應用】(1)設矩陣A=，則點P(2,2)在A所對應的線性變換下的象為__________.(2)試研究函數(shù)y=在旋轉變換作用下得到的新曲線的方程為_____________.【解析】(1)由 =得所求的象為(-2,2).(2)設新曲線上任意點(x′,y′),由 =得,從而 ,代入y=得y′2-x′2=2,即新曲線的方程為y2-x2=2.答案：(1)(-2,2)(2)y2-x2=2

二階矩陣與平面向量【方法點睛】矩陣與向量乘法的意義矩陣與向量乘法的意義應以映射與變換的觀點來認識和理解,即由矩陣M確定的變換TM,就是平面內點集到其自身的一個映射,當

=表示某個平面圖形F上的任意點時,這些點就組成了圖形F,它在TM的作用下將得到一個新的圖形F′.【例1】已知A= ，=，＝，若A與A的夾角為135°，求x.【解題指南】本題通過變換矩陣A將兩向量變?yōu)樾孪蛄亢?利用向量的數(shù)量積公式,求未知數(shù)x的值.【規(guī)范解答】由條件得A==,A= =,從而由(A)·(A)=|A|·|A|cos135°得x-3(2-x)=解得x1=,x2=4,經檢驗,x=是所列方程的根,故x=.【反思·感悟】1.根據(jù)本題可知,兩向量間的夾角經矩陣變換后,通常會改變.2.有關無理方程的求解,通過平方運算化去根號后,與原方程并不一定同解,必須檢驗所得解是否是原方程的根.【變式訓練】向量在矩陣A=的作用下變?yōu)榕c向量平行的向量且向量的模為1，求.【解析】設=,則由條件得

(λ≠0),解得sinθ=cosθ,從而所求向量為=或=.【變式備選】已知A=，a＝，b＝，設

=a+b，=a-b，求A,A.【解析】由條件得=,=,從而A==,A= =. 幾種常見的平面變換問題1.線性變換的含義在矩陣M作用下,直線變成直線這種把直線變?yōu)橹本€的變換,通常叫做線性變換,我們在［考點梳理］中寫出的六種變換都是線性變換,線性變換與二階矩陣是對應的，既可以通過二階矩陣來研究對應的線性變換，又可以通過線性變換來研究對應的二階矩陣.另外,必須說明的是投影變換不是一一映射的.2.通過二階矩陣與平面向量的乘法可建立平面變換前后坐標之間的關系，利用已知的曲線方程可求出變換前或后的曲線方程，其實質就是相關點法求曲線的軌跡方程.【例2】(2011·福建高考)設矩陣M=(其中a＞0，b＞0).若曲線C：x2+y2=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′：=1，求a，b的值.【解題指南】本題變換矩陣符合伸壓變換的特征，求解的關鍵是準確把握變換前后點的坐標間的關系，運用待定系數(shù)法列出方程組，即可獲解.【規(guī)范解答】設曲線C上任意一點P(x,y)，它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P′(x′,y′).則 =,即又點P′(x′,y′)在曲線C′上，所以=1.則 =1為曲線C的方程.又已知曲線C的方程為x2+y2=1，故，又a＞0,b＞0，所以.【互動探究】在平面直角坐標系xOy中，設橢圓4x2+y2=1在本例中矩陣M對應的變換作用下得到曲線F，求F的方程.【解析】由本例解析知M= ,設P(x0,y0)是橢圓上任意一點，點P(x0,y0)在矩陣對應的變換下變?yōu)辄cP′(x′0,y′0),則有

= ，即，所以 .又因為點P在橢圓上，故=1，從而(x′0)2+(y′0)2=1,所以，曲線F的方程是x2+y2=1.【反思·感悟】本題是已知變換之前和變換之后的曲線方程，求變換矩陣的問題．求解的方法是設出變換之前和變換之后的坐標，利用矩陣乘法建立關系，再利用變換前后的曲線方程建立方程組.【變式備選】已知二階矩陣M＝，矩陣M對應的變換將點(2,1)變換成點(4，－1).求矩陣M將圓x2＋y2＝1變換后的曲線方程.【解析】由已知得M＝，即＝，∴解得.∴M＝.