核心素養(yǎng)測評四

函數(shù)及其表示

鞏固提升練(25分鐘50分)

一、選擇題(每小題5分，共35分)

1.若函數(shù)y=f(x)的定義域為M={x|-2WxW2},值域為N={y|0WyW2},則函數(shù)

y=f(x)的圖象可能是()

【解析】選B.對于選項A中函數(shù)定義域不是[-2,2];對于選項B符合題意；對于

選項C中當x=2時，有兩個y值與之對應，所以該圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域

不是[0,2],所以它不符合題意.

【變式備選】

已知A={xIx=H2,n￡N},給出下列關(guān)系式:①f(x)=x;②f(x)=X2；@f(x)=X3；

④f(x)=x，i；⑤f(x)=X2+l,其中能夠表示函數(shù)f:A-A的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

【解析】選C.對于⑤，當x=l時,X2+16A,故⑤錯誤，由函數(shù)定義可知①②③④均

正確.

2.(2019?鄭州模擬)函數(shù)f(x)=ln-，+Y￡的定義域為()

X-1

-1-

A.(0,+°°)B.(1,+°°)

C.(0,1)D.(0,1)U(l,+8)

(-->0

【解析】選B.要使函數(shù)f(x)有意義，應滿足kT'解得X>1,故函數(shù)

<X>0,

f(x)=lnE+xi'的定義域為(1,+8).

X-1

【變式備選】

函數(shù)f(x)=(x-2)°+|工的定義域是(

)

\3X+1

A.(-g,+8)

B.g一目

C.(-8,+8)

D.(-:2)U(2,+8)

【解析】選D.要使函數(shù)f(x)有意義，只需卜豐2，所以x>丄且x于2,所以

l3x+1>0,3

函數(shù)f(x)的定義域是(一二2)U(2,+8).

3.設(shè)f(x)=1J^°<X<丄若f(a)=f(a+l),則?口=()

[2(x-X),x>1,5

A.2B.4C.6D.8

【解析】選C.當x^1時，函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，所以0<a<1,由f(a)=f(a+1)得

后2(a+17),解得a=-,則f^=f(4)=2X(4-1)=6.

-2-

4.(2020福州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),則函數(shù)g(x)=fG)+f(x-l)

的定義域為()

A.(-2,0)B.(-2,2)

C.(0,2)

X/

—1<一<L

【解析】選C.由題意得2

-1<X-1<1,

所以］一2<*<2,所以o<x<2,所以函數(shù)g(x)二/)+千(xT)的定義域為?

SvXV2,

5.(2020?太原模擬)若函數(shù)f(x)滿足f(binx)」,則f(2)等于()

A.lB.eC.-D.-1

7P

【解析】選B.令1-lnx=t,則x=e.t,于是f(t)=即f(x)=二一，故f(2)=e.

O【T01T

【一題多解】本題還可以采用如下解法：

選B.由1-Inx=2,得x=l,這時L±=e,

PT—

e

即千(2)=e.

>2-I-2Y-1-2Y<0

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x十/1一0，若f(f(a))=2,則a=()

~x2,x>0.

A.1B.C.v?D.2

【解析】選B.若a>0,則千(a)=-a2<0,f(f(a))=a「2a?+2=2,得a=四.

若aWO,貝1Jf(a)=az+2a+2=(a+1)2+1>0,

-3-

f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,無解.

7.具有性質(zhì)：不￡)=4(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù).下列函數(shù):

0<X<1,

①y=x」;②y=ln上工③丫=°，%=1，其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是

x1+rI1-

I一,X>1.

()

A,①②B.①③C.②③D.①

【解析】選B.①②③中分別令f(x)=y,則對于①,f(x)=x-i,fJ)=Lx=-f(x),滿

足題意；對于②,f(x)=ln上匕則匚￡^-f(x),不滿足題意;

1+rI工丿上+1

(-,x>1,

即千

0<x<1,

則(x).

所以滿足“倒負”變換的函數(shù)是①③.

二、填空題(每小題5分，共15分)

8.(1)定義域相同,值域相同,但對應關(guān)系不同的兩個函數(shù)分別為

-4-

(2)值域相同,對應關(guān)系相同，但定義域不同的兩個函數(shù)分別為.

【解析】(1)答案不唯一.因為y丄與y=」兩個函數(shù)的定義域都為{x|x子0},值域

XX

都為{y|y#=0}.而對應關(guān)系不同，所以兩函數(shù)分別為f(x)=-,g(x)

YT

答案：f(x)W,g(x)=亠(答案不唯一)

￡T

⑵答案不唯一.函數(shù)f(x)=1,x￡[-1,1]與g(x)=1,x￡[0,1]的值域都是⑴，而

定義域一個為[-1,1],另一個為[0,1],其對應關(guān)系都是：所有x對應的y值都是

1.因此這兩個函數(shù)可以為f(x)=1,xe[-i,1],g(x)=1,xe[o,1].

答案:f(x)=1,x￡[T,1],g(x)=1,x￡[0,1](答案不唯一)

9.已知f(2+l)=lgx,貝!If(x)的解析式為.

【解析】令三+1=t,

T

由于x>0,所以t>1且X*,

t-1

所以f(t)=lg—,即f(X)=Ig，-(x>1).

/：-1￡一1

答案:f(x)=lg—(x>1)

10.(2020?北京模擬)血藥濃度(SerumDrugConcentration)是指藥物吸收后在

血漿內(nèi)的總濃度(單位:mg/mL),通常用血藥濃度來研究藥物的作用強度.如圖為

服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的變化情況,其中點A的橫坐標表示服用

i

第i種藥后血藥濃度達到峰值時所用的時間，其他點的橫坐標分別表示服用三種

-5-

新藥后血藥濃度第二次達到峰值一半時所用的時間(單位:h),點A,的縱坐標表

示第i種藥的血藥濃度的峰值.(i=l,2,3)

血藥濃度

(mg/mL)

°時同(h)

①記V為服用第i種藥后達到血藥濃度峰值時，血藥濃度提高的平均速度,則

i

V.V.V中最大的是;

123

②記1為服用第i種藥后血藥濃度從峰值降到峰值的一半所用的時間，則

T,T,T中最大的是________.n

123I___I

【解析】①設(shè)A(x,y),則

iii1Xj

由于0<x<x<x,0<y<y<y,

123231

所以絲，江>3即V最大；

1

Mlx2

②根據(jù)峰值的一半對應關(guān)系得三個點從左到右依次對應A」A/A3在第二次達到

峰值一半時對應點，由圖可知A經(jīng)歷的時間最長，所以T,T,T中最大的是T.

31233

答案:①V②T

13

綜合運用練(15分鐘35分)

1.(5分)已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[-2,3],則y=f(2x-l)的定義域為

()

A.[-3,7]B.[-1,4]

C.[-5,5]D.[0?-

-6-

【解析】選D.因為y=f(x+l)的定義域為[-2,3],所以TWx+lW4.由TW2xTW

4,得OWxW三，即y=f(2x-l)的定義域為[0-.

2J2.

2.(5分)(2019?貴陽模擬)若函數(shù)f(x)滿足:在定義域D內(nèi)存在實數(shù)x，使得

0

f(x+l)=f(x)+f(l)成立,則稱函數(shù)f(x)為“1的飽和函數(shù)”.給出下列三個函數(shù):

00

①f(x)=-;②f(x)=2x;③f(x)=lg(X2+2).

T

其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號為()

A.①③B.②C.①②D.③

【解析】選B.對于①，若存在實數(shù)x,滿足f(x+l)=f(x)+f(l),則-1-Z-+1,所

°?！鉿n+lzn

以蘇+x0+l=O(x/0,且x產(chǎn)-1),顯然該方程無實根，因此①不是“1的飽和函數(shù)”;

對于②，若存在實數(shù)x,滿足f(x+l)=f(x)+f(1),則2工。+1=240+2,解得x=1,因

0000

此②是“1的飽和函數(shù)”；對于③，若存在實數(shù)x,滿足f(x+l)=f(x)+f(l),則lg

000

[(xo+l)2+2]=lg(肅+2)+lg(L+2),化簡得2流-2x°+3=0,顯然該方程無實根，因

此③不是“1的飽和函數(shù)”.

【變式備選】

(2020?日照模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),且對任意的實

數(shù)x,都有f[f(x)-ej=e+l(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則f(ln2)=()

A.1B.e+1C.e+3D.3

【解析】選D.因為函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，不妨設(shè)千(c)=e+1,所以

f(x)—?x—c,f(x)—6x+c.所以千(c)=ec+c=e+1.所以c—1.

-7-

所以f(x)=ex+1.所以f(In2)=em2+1=3.

3.(5分)已知f(x)+3f(—x)=2x+l,貝!Jf(x)=,

【解析】由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,

解方程組!/X+3f「X)=2x+1,得f(x)=_x+L

+3/Q=-2x+t4

答案:-x+L

【變式備選】

下列四個結(jié)論中，正確的結(jié)論序號是.

①f(x)=包與g(x)=P''-0’表示同一函數(shù);②函數(shù)y=f(X)的圖象與直線x=l

里(-1,x<0

的交點最多有1個;③最X)=X2-2x+l與g(t)=t2-2t+l是同一函數(shù);④若f(x)=

|xT|-|x|,則f(/G]=0.

【解析】對于①，由于函數(shù)f(x)=4U的定義域為{x|x￡R且xWO},而函數(shù)

V

(1y>Q

g(x)='-'的定義域是R,所以二者不是同一函數(shù)；對于②，若x=l不是

「1,K<0

y=f(x)定義域內(nèi)的值,則直線x=l與y=f(x)的圖象沒有交點,若x=l是y=f(x)定

義域內(nèi)的值，由函數(shù)的定義可知，直線x=l與y=f(x)的圖象只有一個交點，即

y=f(x)的圖象與直線x=l最多有一個交點；

對于③,f(x)與g(t)的定義域和對應關(guān)系均分別對應相同，所以③x)與g(t)表示

同一函數(shù)；對于④，由于|-1-1=0,所以f=f(0)=1.

2&G))

答案：②③

-8-

4.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=F*+<°，且f(-2)=3,f(T)=f(l).

z>0,

(1)求f(x)的解析式.

(2)在如圖所示的直角坐標系中畫出f(x)的圖象.

―2174-q

【解析】⑴由f(-2)=3,f(T)=f⑴得—'解得a=-1,b=1,所以

、-Q+b=2,

f(x)二一乂+1,l<0,

12X,x>0.

⑵f(x)的圖象如圖所示.

5.