第一章

曲線坐標(biāo)系和張量分析馮元楨先生曾說過：“一個(gè)美麗的故事需要用美麗的語(yǔ)言描述，力學(xué)的語(yǔ)言是張量?！薄６A張量三階張量張量介紹一階張量笛卡兒直角坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系曲線坐標(biāo)系在三維歐幾里得空間中選取3個(gè)不共面的向量

就可定義一坐標(biāo)系向量稱為坐標(biāo)向量或基向量，簡(jiǎn)稱為基。所在的直線稱為坐標(biāo)軸。在三維歐幾里得空間中選取3個(gè)不共面的向量

就可定義一坐標(biāo)系(0.396,0.396,0.707)向量稱為坐標(biāo)向量或基向量，簡(jiǎn)稱為基。所在的直線稱為坐標(biāo)軸?？臻g任一向量將對(duì)應(yīng)于一有序數(shù)組在三維歐幾里得空間中選取3個(gè)不共面的向量

就可定義一坐標(biāo)系(0.396,0.396,0.707)向量稱為坐標(biāo)向量或基向量，簡(jiǎn)稱為基。所在的直線稱為坐標(biāo)軸?？臻g任一向量將對(duì)應(yīng)于一有序數(shù)組有序數(shù)組稱之為在該曲線坐標(biāo)系中的坐標(biāo)?；蛄肯嗷フ坏淖鴺?biāo)系稱為正交坐標(biāo)系。兩條坐標(biāo)軸所決定的平面稱為坐標(biāo)平面。坐標(biāo)軸間的夾角不全部為直角的坐標(biāo)系稱為仿射坐標(biāo)系。在三維歐幾里得空間中選取3個(gè)不共面的向量

就可定義一坐標(biāo)系1.1.1基向量在曲線坐標(biāo)系中，向量微分可表示為根據(jù)Einstein求和約定(單項(xiàng)中有標(biāo)號(hào)出現(xiàn)兩次稱為求和指標(biāo)或啞標(biāo))，有定義基向量：定義長(zhǎng)度(模)為1的基向量為單位基向量：定義拉梅系數(shù)于是：對(duì)于右手正交坐標(biāo)系(在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指能指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，圖)，成立，其中為置換符號(hào)(permutationsymbol)，滿足另外，定義Kronecker符號(hào)：右手正交坐標(biāo)系【例1-1】求柱坐標(biāo)的基向量和單位基向量?；蛄浚禾崾荆豪废禂?shù)：?jiǎn)挝换蛄浚骸咀鳂I(yè)】求球坐標(biāo)的基向量和單位基向量。1.1.2基向量對(duì)曲線坐標(biāo)的微分柱坐標(biāo)中考慮基向量對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)?提示：基向量是θ的函數(shù)，對(duì)r，z的偏導(dǎo)數(shù)為0，【例1-2】求柱坐標(biāo)單位基向量對(duì)曲線坐標(biāo)的微分。提示：基向量是θ的函數(shù)，對(duì)r，z的偏導(dǎo)數(shù)為0，【例1-2】求柱坐標(biāo)單位基向量對(duì)曲線坐標(biāo)的微分?！咀鳂I(yè)】求球坐標(biāo)單位基向量對(duì)曲線坐標(biāo)的微分。1.1.3坐標(biāo)變換證明：在空間中選取3個(gè)不共面的向量對(duì)空間任一向量都存在唯一的三元有序數(shù)組使證明：取一向量若有如果不全為零，即上式有非零解，則必然線性相關(guān)，所以必然全部為零。則必然共面。則1.1.3坐標(biāo)變換兩組曲線坐標(biāo)系中同理可證，坐標(biāo)唯一性，是的單值函數(shù)是的單值函數(shù)1.1.3坐標(biāo)變換設(shè)兩組坐標(biāo)值之間存在連續(xù)可微的單值函數(shù)關(guān)系定義雅可比(Jacobi)矩陣1.1.3坐標(biāo)變換其中其中當(dāng)和都是單位正交基向量時(shí)此時(shí)雅可比(Jacobi)矩陣為正交矩陣，兩個(gè)坐標(biāo)系間的變換為正交變換，記為Q，即1.1.3坐標(biāo)變換（正交變換）【例1-3】寫出柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間的變換矩陣。若分析單位基向量，則【例1-4】寫出柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間