公用設(shè)備工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-無窮級數(shù)

［單選題］1.級數(shù)

i^>o)

滿足下列什么條件時收斂()。［2017年真題］

lim4=oo

A.ix

lim-=0

B.fX

zx

C."=】發(fā)散

limq.=-hx

D.an單調(diào)增且'

正確答案：D

參考解析：級數(shù)

產(chǎn)1

E(-D”—

‘％收斂的條件為絕對值l/an單調(diào)遞減且

lim—=0

J“凡即an單調(diào)遞增且

liman-+8

?丫2力一1

Z(T)zJ

［單選題］2.基級數(shù)，一〃1的收斂域是0。［2019年真題］

A.［―1,1］

B.(-1,1］

C.［-1,1)

D.(-1,1)

正確答案：A

..%2n-\,

p=hm上?=-----=1

?-?*a?2〃+1

參考解析:|x|Vl時,n因此收斂半徑為lo

!：__

當(dāng)X=1時代入級數(shù)得，3572〃-1為交錯級數(shù)，滿足

萊布尼茨條件，收斂；

一11.1./1

―1H-------+—?,?+I-1)

當(dāng)x=-1時代入級數(shù)得,3572//-1為交錯級

數(shù)，滿足萊布尼茨條件，收斂；

因此該級數(shù)的收斂域為［—1,口。

［單選題］3.設(shè)an=(1+1/n)n,則數(shù)列｛an｝是()。［2014年真題］

A.單調(diào)增而無上界

B.單調(diào)增而有上界

C.單調(diào)減而無下界

D.單調(diào)減而有上界

正確答案：B

，等價于判斷吧“

'一1a

參考解析:判斷,因為

—CV-所以

1加.〉1(單調(diào)遞增)

4又

liman-e

故數(shù)列｛an｝單調(diào)增且有上界。

［單選題］4.正項級數(shù)演W的部分和數(shù)列

(x

｛SjSn=

\?=1,有上界是該級數(shù)收斂的()。［2013年真題］

A.充分必要條件

B.充分條件而非必要條件

C.必要條件而非充分條件

D.既非充分而又非必要條件

正確答案：A

參考解析：正項級數(shù)的部分和Sn構(gòu)成一個單調(diào)增加（或不減少）的數(shù)列｛Sn｝。

由極限存在準則可知，正項級數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列｛Sn｝有上界。

X

X（-ir-1

11

［單選題］5.級數(shù)”1Oo［2014年真題］

A.當(dāng)l〈pW2時條件收斂

B.當(dāng)p>2時條件收斂

C.當(dāng)p<l時條件收斂

D.當(dāng)p>l時條件收斂

正確答案：A

xx

__11X1

參考解析?5Z(-D"

X7產(chǎn)】

條件收斂，即,;=1發(fā)散,

收斂。已知八=1"發(fā)散,故OVp—1W1。所以當(dāng)l〈pW2時，級數(shù)

_x1

Z（T）"新F

條件收斂。

［單選題］6.下列級數(shù)中，條件收斂的是0。［2012年真題］

X

X(-1/

A.。二1

y(-lf

B.?=1n

X

X(-ir

C.〃S+1)

X

n+1

X(-ir

D.n+2

正確答案：A

參考解析：因"=1fl條件收斂，應(yīng)選A項。而"=】〃和

￡(R〃+1

Z(-ir

“1〃(〃+1)絕對收斂,〃十?的一般項不趨近于零,

W-1發(fā)散。

［單選題］7.下列級數(shù)中，發(fā)散的是()。［2018年真題］

JL1

A.念心+1)

工1

B.牙

X(nY

Z

C.2w+l)

Xs1

D.”7

正確答案：C

參考解析：A項，因為級數(shù)的前n項和為

C1111

S”=----1------1-—H--------4--------

1x22x3(JI-1)?w(n+l)

TV

求極限得

H1

=1

limSr=lim1---

7fxH+1y所以級數(shù)i〃（〃+1）收斂。

X

X-

B項，p級數(shù)”=1〃當(dāng)P>1時收斂，當(dāng)pWl時發(fā)散。因為B項中p=3/2>

力產(chǎn)

1,所以級數(shù)"=1〃收斂。

C項，級數(shù)的一般項如果不趨于零，則該級數(shù)必定發(fā)散。計算得

(〃丫二2

lim

nx

-*V2n+lJ因此c項對應(yīng)的級數(shù)發(fā)散。

￡（-1）"++

D項，，工：為一個交錯級數(shù)，又〈〃隨著n的增大，其值越來越

1_xn1

1加工=0Z（T）

小，且一工4〃利用萊布尼茲定理知級數(shù)，U擊收斂。

X

［單選題］8.若級數(shù)ml收斂，則下列級數(shù)中不收斂的是（）。［2011年真題］

￡勤仆工0）

A.；：=1

X

Z“〃+】00

B.

X、

Z1

Uln+--

C.

z-

D.

正確答案：D

參考解析：因為級數(shù)片1收斂，故

limu-0

n因此，

??1。50

lim—=coV—

…工〃故＞!=1II不收斂。

X(2x+l)〃

［單選題］9.級數(shù)；；=：的收斂域是()。［2014年真題］

A.(—1,1)

B.[-1,1]

C.[-1,0)

D.(-1,0)

正確答案：C

「一1

參考解析：采用排除法求解。當(dāng)x=0時，原級數(shù)可化為"=1〃級數(shù)是發(fā)散的,

排除AB兩項；當(dāng)x=-1時，代入可知級數(shù)是交錯級數(shù)，收斂。

X一〃

[單選題]10.幕級數(shù)”1的和函數(shù)S(x)等于()。［2017年真題］

A.ex

B.ex+1

C.ex—1

D.cosx

正確答案：C

8，?二

參考解析：考慮到;:W為ex的展開式,

［單選題］11.下列幕級數(shù)中，收斂半徑R=3的幕級數(shù)是()。［2013年真題］

X

A.n=0

x

正確答案：D

參考解析：事級數(shù)收斂半徑

R=lim-=1

1中|B項,

1

R=lim

X

°C項,

R-lini

n-?x

D項,

R=lim

5>〃或”

［單選題］12.設(shè)惠級數(shù)，：=0的收斂半徑為2,則塞級數(shù)

Z町(工-2產(chǎn)

，:=1的收斂區(qū)間是()。［2011年真題］

A.(-2,2)

B.(-2,4)

C.(0,4)

D.(-4,0)

正確答案：C

參考解析：由于塞級數(shù)的收斂半徑為2,故

_1

2則

5+D-?_。-2)

lim

“TX7

一因此需滿足I(X—2)/2|<1,即

xe(0,4),其收斂區(qū)間是(0,4)o

X

X

［單選題］13.幕級數(shù)，=0在|x|V2的和函數(shù)是()。［2016年真題］

A.2/(2+x)

B.2/(2-x)

C.1/(l-2x)

D.1/(l+2x)

正確答案：A

參考解析：根據(jù)和函數(shù)的計算公式，計算得:

1

(1)

1—-----X

I2

7

=177

［單選題］14.函數(shù)f(x)=ax(a>0,aWl)的麥克勞林展開式中的前三項是

()。［2018年真題］

A.l+xlna+x2/2

B.l+xlna+(lna/2)x2

C.l+xlna+(Ina)2x2/2

D.l+x/lna+x2/(21na)

正確答案：C

參考解析：麥克勞林公式是泰勒公式(在x0=0下)的一種特殊形式。函數(shù)f

(x)麥克勞林展開式為

X

n

/w=EX

w-0IV.

(Inat、(Inez)3,

=l+xlna+^~~__

-6因此前三項是l+xlna

+(Ina)2x2/2o

［單選題］15.當(dāng)|x|<1/2時-，函數(shù)f(x)=1/(l+2x)的麥克勞林展開式正確

的是()。［2012年真題］

力(―1嚴(2月”

A.，?=0

Z(-2)，

B.n=O

C.

D.”=1

正確答案：B

參考解析：因為

X

1=E(-i-

l+.r故

1二￡(一戶(2江

f(x)

l+2x|x|<l/2o

［單選題］16.下列各級數(shù)中發(fā)散的是()。［2010年真題］

x1

z

A."=1

1

Z(T)i

B.〃=1ln(n+1)

x〃+1

z

C.7：=13〃

f(T產(chǎn)

D.

正確答案：A

參考解析：設(shè)

==

%=~/Ilbn=l/n,貝lj

lim%=lim

zi-H-Xbn—>+x\!Y\

n

lim"1x

J77+1而引發(fā)散,則z

=+8發(fā)散。根據(jù)交

錯級數(shù)判別法，可以判定BD兩項收斂；C項是正項級數(shù)，根據(jù)根值判別法可以

判定C項也是收斂的。

［單選題］17.已知級數(shù)

次(一廣q=2￡*=5Z4

則級數(shù)〃T等于()。

A.3

B7

C8

D

9

正確答案：C

ix

參考解析：設(shè)法將轉(zhuǎn)化為用級數(shù)

￡(一1廣％=2

木口

X

表示即可。

XXX

￡%+￡(-1尸%=2之*=1。

?=1〃=1?=1

則

XXX

￡%=2￡%-￡(-1尸4=1。-2=8

n=ln=l>?=1

［單選題］18.設(shè)常數(shù)人>0,且級數(shù)gl收斂，則級數(shù)“11獷+義

()0

A.發(fā)散

B.條件收斂

C.絕對收斂

D.收斂性與X有關(guān)

正確答案：C

參考解析：注意利用不等式lab|<(1/2)(a2+b2)。因為

(―

1、3c61

<-'a；+-

21”力

--Z由題設(shè)自收斂，又”=1〃+/也

，

1(-1)7==

收斂，故““7匯絕對收斂。

［單選題］19.設(shè)0WanWl/n(n=l,2,-?-),則下列級數(shù)中肯定收斂的是()。

Ex

A.I

X

Z(T)&

B.〃=】

X

z向

C.A：

X

Z(T)%：

D."1

正確答案：D

_x_i

參考解析：由OWanWl/n可知，0Wan2Vl/n2,而由I1收斂及正項級數(shù)

Xx

的比較判別法知，級數(shù)〃=1收斂,從而”=i絕對收斂，得級數(shù)

收斂。

X(T)“

Z

與廣義積分廣dr

［單選題］20.已知級數(shù)n均收斂，則P的

取值范圍是()。

A.p>2

B.p<2

C.p>0

D.0<p<2

正確答案：D

參考解札若『，(ir

曰&z-

和均收斂，則同時有P—2<0且p>

0,綜合得0VpV2。

［單選題］21.函數(shù)ex展開成為x-1的幕級數(shù)是()。

A.〃=om

X(.1)”

B.內(nèi)=0n\

c.七〃

D.一佻

正確答案：B

參考解析：;x在實數(shù)范圍內(nèi)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，利用泰勒公式在x=l處展

開如下：

=0+&'_1)4(X—1)'H---F—(X—1)>2

Z.ri?

二且]+(x-l)+L(X_1)-+---+--(x-l)h]

2!Ill

X

n-0

n

Xanx

［單選題］22.若”=。的收斂域是（一8,8］,則的收斂半徑

為4-

及k'1的收斂域分別是0。

A.8,(-2,2]

B.8,[-2,2]

C不定,(-2,2]

D.8,[-2,2)

正確答案：A

x?

參考解析：由“網(wǎng)的收斂域是（-8,8］可知，塞級數(shù)，?=。的收斂

半徑是8,從而塞級數(shù)"=2的收斂半徑也是8,又因幕級數(shù)

3cX

"（"一"兩次逐項求導(dǎo)所得，由嘉級數(shù)逐項求導(dǎo)或

“=0是塞級數(shù)“7

X

逐項積分后所得事級數(shù)的收斂半徑不變，可知基級數(shù)與

u的收斂半徑

X

是8,對于，M有收斂域一8VX3W8,即一2VxW2。

XX*

［單選題］23.已知；的收斂半徑R=l,則匚=0的收斂域為()。

A.(-1,1)

B.[-L1)

C.(—L1]

D.(—8,H-oo)

正確答案：D

X

>a..xn

參考解析：因為的收斂半徑R=l,則

故收斂域為(-8,+OO)0

1-COSX

工工0

/(-V)=<X

1

x=0

7，

則f(x)在x=0時的6階導(dǎo)數(shù)f(6)(0)是

()0

A.不存在

B.-1/6

C.1/56

D.—1/56

正確答案：D

參考解析：由于

246

..XXX

、1-COSX214?61/八、

/(x)=-----；——=-----——————----(x工0)

V-V所以f(x)=l/

(2!)—x2/(4!)+x4/(6!)—x6/(8!)+…，x￡(—°°