專題21解三角形

【專題目錄】

技巧1：解直角三角形的五種常見類型

技巧2：求銳角三角函數(shù)值的常用方法

技巧3：“化斜為直”構(gòu)造直角三角形的方法

技巧4：構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實際問題的四種數(shù)學(xué)模型

【題型】一、銳角三角函數(shù)的定義

【題型】二、利用正弦的相關(guān)知識求解

【題型】三、利用余弦的相關(guān)知識求解

【題型】四、利用正切的相關(guān)知識求解

【題型】五、特殊角的三角函數(shù)值

【題型】六、解直角三角形

【題型】七、利用解直角三角形解決實際問題

【考綱要求】

1、理解銳角三角函數(shù)的定義，會運用銳角三角函數(shù)解直南三角形.

2、掌握特殊銳角（30。，45°,60。）的三角函數(shù)值，并會進(jìn)行計算.

3、了解直角三角形的定義，掌握邊角之間的關(guān)系，并能進(jìn)行有關(guān)計算.

4、利用解直角三角形的知識解決簡單的實際問題.

【考點總結(jié)】一、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形

在RtZXABC中，NC為直角，則NA的銳角三角函數(shù)為（NA可換成NB）

\

定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系

正.,乙4的對邊0<sinZ<1

銳角三角函數(shù)sinA=--------------sin/=@sin4=cos8

斜邊

弦c（NA為銳角）

cosA-sin5

余

,的鄰邊,b0<cosA<1

cosA=----——------cosA=—sin2+cos2A=1

斜邊

弦c（NA為銳角）

正tan心鄴駕tanA>0

tanA=—

的鄰邊b

切NA（ZA為銳角）

銳

角

【正弦和余弦注意事項】

角LsinA、cosA是在直角三角形中定義的，/A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角

形)。

形

2.sinA>cosA是一個比值(數(shù)值，無單位)。

函

3.sinA、cosA的大小只與/A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。

數(shù)

三角函數(shù)30°45°60°

與

sina

特殊角的三角函~2~r

解

數(shù)值cosa正

r~2~2

直

tana正iV3

~T~

角在中，ZC=90°,ZB,NC的對邊分別為a,b,C.

(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2—c2；

(2)銳角之間的關(guān)系:ZA+ZB=90°；

直角三角形的邊

角(3)邊角之間的關(guān)系:

角關(guān)系

..a.btan4=%

sin4=—，cosA=~f

形ccb

?n_bn—4

sinB——，cosB——，tan5=2

Ca

(1)已知一條直角邊和一個銳角(如a,//),

其解法為：ZB=90°—ZA,6=」一（或

sinAtanA

解直角三角形的(2)已知斜邊和一個銳角(如c,//),

幾種類型及解法其解法為：N5=90。-N4,a=C-smA,b=c?cos4（或6=4（?一層）；

(3)已知兩直角邊Q,b,

其解法為：c=yla2+b2,

由tanZ=2,得N/,ZB=90°—ZA；

b

(4)已知斜邊和一直角邊(如c,Q),

22

其解法為：b=\jc—af由sin4=2，求出N4,ZB=90°—ZA.

c

【考點總結(jié)】二、解直角三角形的應(yīng)用

當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角；當(dāng)從高處

觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角.

仰角與俯角f0

解直k

角三

角形坡角是坡面與水平面所成的角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度（或

更比），常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡.

的應(yīng)

1更gAetana

用坡角與坡度ll\

城角，入

t*12-I-）

【技巧歸納】

技巧1:解直角三角形的五種常見類型

【類型】一'已知兩直角邊解直角三角形

1.如圖，在比AABC中，NC=90。，a,b,c分別為NA,ZB,NC的對邊，a=23,b=6,解這個直

角三角形.

【類型】二、已知一直角邊和斜邊解直角三角形

2.如圖，ZACB=90°,AB=13,AC=12,ZBCM=ZBAC,求si”/BAC的值和點B到直線MC的距

離.

'A

MC

【類型】三'已知一直角邊和一銳角解直角三角形

3.如圖，在AABC中，ZB=90°,/C=30。，AB=3.

⑴求AC的長;

⑵求BC的長.

【類型】四、已知斜邊和一銳角解直角三角形

4.如圖，在比ZkABC中，NC=90。，ZB=45°,a,b,c分別為NA,ZB,NC的對邊，c=10,解這個

【類型】五、已知非直角三角形中的邊（或角或三角函數(shù)值）解直角三角形

題型1：化斜三角形為直角三角形問題（化斜為直法）

5.如圖，在AABC中，點D是AB的中點，DC_LAC,MtanZBCD=-,求NA的三角函數(shù)值.

3

C

ADB

題型2：化解四邊形問題為解直角三角形問題

6.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點E,—/BAC=90。，ZCED=45°,ZDCE=30°,DE

=S，BE=2A/2.求CD的長和四邊形ABCD的面積.

題型3：化解方程問題為解直角三角形問題

7.已知a,b,c分別是AABC中NA,ZB,/C的對邊，關(guān)于x的一元二次方程a(l-x2)+2bx+c(l+x2)

=0有兩個相等的實數(shù)根，且3c=a+3b.

(I)^IJWTAABC的形狀；

(2)求sinA+s%B的值.

參考答案

1.解：：a=23，b=6,

.".c=^a2+b2=\/12+36=%/48=4^3.

tanA=2=R^=/,ZA=30°.ZB=60°.

b63

2.解：VAB=13,AC=12,ZACB=90°,

BC=^AB2-AC2=A/169-144=AJ25=5.

5

：.sinNBAC=^=上.過點B作BD±MC于點D.

AB13

設(shè)點B到直線MC的距離為d,則BD=d.

VZBCM=ZBAC,：.sinZBAC=sin.ZBCM.

:.sinZBCM=打=￡,

BC13

即4=￡.??.d=絲,

51313

即點B到直線MC的距離為空.

13

3.解：(1)由題意知s%C=包，BP-=—,則AC=6.

AC2AC

(2)由題意知S〃C=包，即退=二，則BC=33.

BC3BC

4.解：VZB=45°,ZC=90°,c=10,

ZA=45°,a=b=5也.

5.解：如圖，過點D作CD的垂線交BC于點E.

在7?/ACDE中，

1

,：tanZBCD=A=-,；.可設(shè)DE=x,則CD=3x.

3CD

VCDXAC,ADEAC.

又：點D為AB的中點，，點E為BC的中點.

.?.DE=-AC.

2

.?.AC=2DE=2x.

在比ZkACD中，NACD=90°,AC=2x,CD=3x,

AD=A/AC2+CD2=A/4X2+9X2=V13X.

..CD3x3'fl3

,?sinAA-......=/——=-------

ADA/13X13

.AC2x2-,.13

cosA=----=i——=-------，

ADA/13X13

CD3x3

tanA==

AC2x~2

方法技巧：本題中出現(xiàn)了柩〃NBCD=5由于/BCD所在的三角形并非直角三角形’因此應(yīng)用正切的

定義，構(gòu)造出一個與之相關(guān)的直角三角形進(jìn)行求解.

c

ADB

6.解：如圖，過點D作DHLAC于點H.

AD

VZCED=45°,DH±EC,DE=/,

EH=DE-cos45。=缶［=1.

.?.DH=L

又?.?/DCEnBO。,

2已=收CD="2

：NAEB=NCED=45。，ZBAC=90°,BE=2也,

，AB=AE=2".AC=AE+EH+HC=2+1+他=3+3.

S四邊用ABCD=^X2X(3+^3)+^X1x(3+3)=3彳+9.

方法技巧：題目中所給的有直角和30。，45。角，因此我們可以通過構(gòu)造另一個直角三角形，然后運用

特殊角的三角函數(shù)值求.出某些邊的長，進(jìn)而求出四邊形的面積.

7.解：(1)將方程整理，得(c—a)x2+2bx+(a+c)=0,則

A—(2b)2—4(c—a)(a+c)=4(b2+a2—c2).

???方程有兩個相等的實數(shù)根，.??A=0,即b2+a2=c2.

.,.△ABC為直角三角形.

(2)由3c=a+3b,得a=3c—3b.①

將①代入a2+b2=c2,得(3c—3b>+b2=c2.

4c2—9bc+5b2=0,即(4c—5bxe—b)=0.

由①可知，b#c,.?.4c=5b.；.b=gc.②

將②代入①，得a=$

,在瓦△ABC中，

sinA-\-sinB=~+—

cc555

點撥：解決本題的突破口是由一元二次方程根與判別式的關(guān)系得到.一個關(guān)于a,b,c的等式.從解題

過程可以看出，求三角函數(shù)值時，只分析出直角三角形中三邊的比例關(guān)系即可求出其值.

技巧2：求銳角三角函數(shù)值的常用方法

【類型】一'直接用銳角三角函數(shù)的定義

1.如圖，在凡Z^ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若CD=5,AC=6,

。：

3

2.如圖，在AABC中,ADXBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanZBAD=￡,求s而C的值.

4

3.如圖，直線y=3+；與x軸交于點A一,與直線y=2x交于點B.求:

（1）點B的坐標(biāo);

(2>mZBA0的值.

【類型】二、利用同角或互余兩角三角函數(shù)間的關(guān)系

4.若/A為銳角，且s%A=；,則cosA的值為（）

A.1B也cfiD.-

222

17

5.若a為銳角，且cosa=!|,貝!Is%（90。一。）的值為（）

12

A.D.C.Un.

1313125

6.若a為銳角，且s%2a+005230。=1,貝Ua=.

【類型】三、巧設(shè)參數(shù)

7.如圖，在比Z\ABC中，ZB=90°,NA=30。，以點A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點D,分別以

點A,D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點E,連接AE,DE,則/EAD的余弦值是（)

【類型】四、利用等角來替換

8.如圖，已知在R/ZXABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB的中線，過點A作AE_LCD,AE分別與CD,

CB相交于點H,E且AH=2CH,求sinB的值.

參考答案

1.c

RD

2.解：VAD±BC,J勿〃NBAD=..

AD

aaRD

'：tanZBAD=-,AD=12,ABD=9.

4412

???CD=BC—BD=14—9=5.

，在^aADC中，AC=^AD2+CD2=A/122+52=13.

.\5mC=-

AC13

_1,3

y—XI,

3.解：(1)解方程組22

y=2x.

x=l,

得

y=2.

，點B的坐標(biāo)為(1,2).

(2)如圖，過點B作BC，x軸于點C,貝!JOC=1,BC=2.

1Q

由—xH■—=0,解得x=-3.

22

則A(—3,0).???OA=3.???AC=4.

AB='AC?+BC2=2"

_BC_2_弱

./?sinNBAC

一AB_23―5'

即s%.NBAO=1.

4.D5.B6.30°

7.B點撥.：如圖，設(shè)BC=x.

在放aABC中，NB=90。，NBAC=30。,

AB=Sx.

根據(jù)題意，得AD=BC=x,AE=DE=AB=^3x.

如圖，作EM_LAD于M,

則AM..=-AD=-x.

22

AE

瓜6

故選B.

8.解：；CD是斜邊AB的中線，

/.CD=AD=BD.

；./DCB=NB.

ZACD+ZDCB=90°,ZACD+ZCAH=90°,

.,.ZDCB=ZCAH=ZB.

.在無△ACH中，AH=2CH,

廠CHyIS

：.AC=\l5CH.：.sinB=s沅ZCAH=^-=火.

限H5

技巧3：“化斜為直”構(gòu)造直角三角形的方法

【類型】一'無直角、無等角的三角形作高

1.如圖，在AABC中，已知BC=1+W，ZB=60°,ZC=45°,求AB的長.

【類型】二、有直角'無三角形的圖形延長某些邊

2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=2,CD=1,/A=60。，/D=/B=90。，求四邊形ABCD的面積.

【類型】三、有三角函數(shù)值不能直接利用時作垂線

3.如圖，在AABC中，點D為AB的中點，DC_LAC,sinZBCD=-,求的值.

3

ADB

【類型】四、求非直角三角形中角的三角函數(shù)值時構(gòu)造直角三角形

4.如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=8.^ZBPC=-ZBAC,求tanZBPC的值.

2

參考答案

1.解：如圖，過點A作ADLBC,垂足為點D.

設(shè)BD=x,在必ZSABD中，AD=BD7anB—xtan60。=而x.

在比zXACD中，VZC=45°,

.,.ZCAD=90°-ZC=45°.

：.ZC=NCAD".CD=AD=3X.

VBC=1+A/3,；.3X+X=1+3.

解得x=l,即BD=1.

RD

在7??AABD中，'：cosB=~,

AB

2.解：如圖，延長BC,AD交于點E.

?.,ZA=60°,ZB=90°,：.ZE=30°.

在用ZiABE中，BE=)^-=---=2后

tanEtan30°

在用4CDE中，EC=2CD=2.,

DE=EC-cos30°=2乂?=亞

.??S四邊彩ABCD=S&AABE-S&AECD=：AB-BE—gcD-ED=；x2x23—^<1X韻=#.

點撥：本題看似是四邊形問題，但注意到/B=90。，ZA=60°,不難想到延長BC,AD交于點E,構(gòu)

造出直角三角形，將所求問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.

3.解：如圖，過點B作BE_LCD,交CD的延長線于點E.

:點D是AB的中點，，AD=DB.

又：NACD=NBED=90°,NADC=NBDE,

.?.△ACD之△BED.；.CD=DE,AC=BE.

在R/ZXCBE中，sinZBCE=—

BC3

.?.BC=3BE.

CE=A/BC2-BE2=2/BE.

/.CD=^CE=啦BE=啦AC.

方法點撥：構(gòu)造直角三角形，把所要求的量與已知量建立關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.解：如圖，過點A作AEJ_BC于點E,

：AB=AC=5,.

.,.BE=-BC=-X8=4,NBAE=】NBAC.

222

VZBPC=-ZBAC,

2

.?.ZBPC=ZBAE.

在比ABAE中，由勾股定理得

AE=^AB2-BE2=A/52-42=3,

BE4

tanNBPC=S〃NBAE==

AE3

技巧4：構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實際問題的四種數(shù)學(xué)模型

【類型】一、構(gòu)造一個直角三角形解實際問題

1.如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8加，已知

小汽車車門寬AO為1.2機(jī)，當(dāng)車門打開角度/AOB為40。時，車門是否會碰到墻？請說明理由(參考數(shù)據(jù):

sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84).

【類型】二'構(gòu)造形如的兩個直角三角形解實際問題

2.黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學(xué)開展數(shù)學(xué)活動，帶領(lǐng)同學(xué)們測量學(xué)校附近一電線桿的高.已知電線

桿直立于地面上，某天在太陽光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D處

測得電線桿頂端A的仰角為30。，在C處測得電線桿頂端A的仰角為45。，斜坡與地面成60。角，CD=4機(jī),

請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)(結(jié)果精確到1處參考數(shù)據(jù)：也句.4,3句.7).

A

【類型】三、構(gòu)造形如“NA”的兩個直角三角形解實際問題

3.如圖，學(xué)校的實驗樓對面是一幢教學(xué)樓，小敏在實驗樓的窗DC測得教學(xué)樓頂部D的仰角為18。，教學(xué)

樓底部B的俯角為20。，量得實驗樓與教學(xué)樓之間的距離AB=30九

(1)求/BCD的度數(shù).

(2)求教學(xué)樓的高BD(結(jié)果精確到0.1加,參考數(shù)據(jù):tan20°?0.36,tan18°~0.32).

【類型】四、構(gòu)造形如“4”的兩個直角三角形解實際問題

4.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度.該樓底層為車庫，高2.5相；上面五層居住，

每層高度相等.測角儀支架離地1.5加，在A處測得五樓頂部點D的仰角為60。，在B處測得四樓頂部點E

的仰角為30。，AB=14〃?.求居民樓的高度（結(jié)果精確到0.1僅，參考數(shù)據(jù)：舟1.73）.

D

□、

□

□M

60°/、A'30°

2.5m~C,11.5m

CAB

參考答案

1.解：如圖，過點A作ACLOB,垂足為點C,

在4△ACO中，VZAOC=40°,AO=1.2m,

：.AC=AOsinZAOC-0.64x1.2=0.768(m).

???汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN.平行且距離為0.8m,

???車門不會碰到墻.

2.解：延長AD交BC的延長線于點G,作DH_LBG于點H,如圖所示.

在放△DHC中，NDCH=60。，CD=4加,

貝I」CH=CDc0sNDCH=4xg60。=2(冽

DH=CDsinZDCH=4^sin6。。=2am).

VDH±BG,又易知NG=30。,

?口DH_2A/5、

..HG-------------------6(m).

tanGtan30°

???CG=CH+HG=2+6=8(M.

設(shè)AB=x加，

VABXBG,NG=30。，NBCA=45。,

???BC=x加，BG

tanGtan30°

VBG-BC=CG,

**A/3XX=8.

解得x-ll.

答：電線桿的高約為11九

3.解：（1）如圖，過點C作CEJ_BD于點E,則有NDCE=18。，NBCE=20。,

mm

mm

mm

mm

???NBCD=ZDCE+ZBCE=180+20°=38°.

(2)由題意得，CE=AB=30m,

在放ZiCBE中，BE=CE?320。，

在放ZkCDE中，DE=CE-S〃18°,

???教學(xué)樓的高BD=BE+DE=CE?tan20°+CE-tan18°~20.4(m).

答：教學(xué)樓的高約為20.4九

4.解：設(shè)每層樓高為x冽，由題意得MC=MC—CC=2.5—1.5=1("),

則DC'=(5x+l)m,EC'=(4x+l)冽.

在此△口€?"中，ZDAV=60°,

(5x+l)m.

在此AEC吁中，ZEBV=30°,

???A'B'=C'B'—C'A'=AB,

???3(4X+l)-y(5x+1)=14.

解得x=3.18.

???DC=DC+CC=5x+1+1.5句8.4(").

答：居民樓的高度約為18.4八

【題型講解】

【題型】一、銳角三角函數(shù)的定義

例1、在及以/5。中，N/=90°,AB=6,SC=10,那么下列結(jié)論正確的是（）

44.34

A.tanC=-B.cotC=—C.sinC=-D.cosC=一

3545

【答案】D

【分析】

先根據(jù)勾股定理解出AB,再逐項根據(jù)三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】

根據(jù)勾股定理可得：AC=yjBC2-AB2=8'

「4B3AC4.八AB3AC4

則tanC二二=—；cotC=---=—；sinC=---=—；cosC=---=—

AC4AB3BC5BC5

故選：D.

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)的定義，熟悉基本定義是解題關(guān)鍵.

【題型】二、利用正弦的相關(guān)知識求解

例2、如圖，在Rt△4C8中，ZC=90°,sinB=0.5,若/C=6,則的長為（

A.8B.12C.6A/3D.12V3

【答案】C

【提示】利用正弦的定義得出AB的長，再用勾股定理求出BC.

AT

【詳解】解：VsinB=—=0.5,

AB

AAB=2AC,

VAC=6,

AAB=12,

???BC=J/B2—=66,

故選C.

【題型】三、利用余弦的相關(guān)知識求解

3

例3、在放AA8C中，ZC=90°，如果ZC=3,cosZ=—,那么45的長為（）

4

9=25

A.—B.4C.5D.—

44

【答案】B

【分析】

AQ3

根據(jù)COSA=--=即可得出AB的值

AB4

【詳解】

解:在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,

pAC3

又,/cosAA=-----=—,

AB4

/.AB=4

故選：B.

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

【題型】四、利用正切的相關(guān)知識求解

例4、如圖，在△4BC中，ZC=90°,設(shè)NB,NC所對的邊分別為a,b,c,則（

A.c=bsinBB.b=csinBC.a=bt^nBD.b=danB

【答案】B

【提示】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問題.

【詳解】中，ZC=90°,乙4、￡）8、NC所對的邊分別為a、b、c

AsinB=~,即3=csin5,則A選項不成立，B選項成立

c

tan5=—,即力=atan5,則C、D選項均不成立

a

故選：B.

【題型】五、特殊角的三角函數(shù)值

例5、如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于。。，則：45=()

A.2VL3B.亞:6C.V3：V2D.73:272

【答案】B

【提示】過點。作。M,ONLAD,設(shè)圓的半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得AOBM與AODN是直角

三角形，根據(jù)三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖，過點。作(WLBC,ONVAD,設(shè)圓的半徑為r,

與AODN是直角三角形，OD=OB=r,

?.?等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于QO,

：.40BM=3b°"ODN=ADON=45°，

???DN=⑺?tan45°=—r>BM=OB?cos30°=—r>

22

?*-AD=2DN=，BC=2BM=4lr，

/.AD:AB=后:底=V2：V3.

故答案選B.

【題型】六.解直角三角形

例6、比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示.設(shè)塔頂中心點為點B,塔身中心線與垂直中

心線/C的夾角為NZ,過點3向垂直中心線NC引垂線，垂足為點。.通過測量可得43、BD、/￡?的

長度，利用測量所得的數(shù)據(jù)計算NZ的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求NZ的大小.下列關(guān)系式正確的是（）

A.sin八也C.tan八四D.sin心衛(wèi)

B.

ABADBDAB

【答案】A

【提示】確定NZ所在的直角三角形，找出直角，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解;

【詳解】由題可知，4ABD是直角三角形，ABDA=90°,

,sin人嗎AD,BD

cAosA=----,tanA=-----

ABABAD

，選項B、C、D都是錯誤的,

故答案選A.

【題型】七、利用解直角三角形解決實際問題

例7、如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識測量大橋主架在水面以上的高度Z3,在觀測點。處測得大橋主架頂

端/的仰角為30。，測得大橋主架與水面交匯點3的俯角為14。，觀測點與大橋主架的水平距離為60

米，且48垂直于橋面.（點48,在同一平面內(nèi)）

（1）求大橋主架在橋面以上的高度■；（結(jié)果保留根號）

（2）求大橋主架在水面以上的高度48.（結(jié)果精確到1米）

（參考數(shù)據(jù)sin14°它0.24,cos14°它0.97,tan14°它0.25,6^1.73）

【答案】（1）大橋主架在橋面以上的高度4位為20百米；（2）大橋主架在水面以上的高度48約為50米.

【提示】

（1）在RtZkACM中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AM的長度.

（2）在Rt^BCM中，求出BM的長度，再求出AB的長度即可.

【詳解】

解：（1）Q48垂直于橋面

AAMC=/BMC=90°

在RtAJMC中，CM=60,ZACM=30°

，…，AM

tanZACM=----

CM

巧

AM=tan30°-CM=60x—=2073（米）

3

答：大橋主架在橋面以上的高度加為20G米.

(2)在中，CM=6Q,ZBCM=14°

MB

?：tanZBCM=---

CM

.-.W=tanl4°-01=60x0.25^15

???AB^AM+MB

y45?15+20V3?50(米)

答：大橋主架在水面以上的高度43約為50米.

解三角形（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.如圖，在放ZX/BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,將△/BC繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)得到△/B'C',使點C'

落在48邊上，連結(jié)33',貝Ucos/B'BC'的值為（）

B

.3n4V5?2A/5

5555

【答案】C

【分析】在必ZUBC中，由勾股定理可得48=5.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得NC=/C=3,C'B'=CB=4,C3=2.利

用勾股定理可求出55',從而求出cos/3'BC'.

【詳解】解:在R/ZX/8C中，

AB=y)AC2+BC2=5,

由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得/C'=/C=3,C'B'=CB=4,

：.C'B=AB-AC'=2,

BB'=^C'B'2+C'B2=2V5，

._2_V5

??cos/BBC-------------產(chǎn)-------.

BB'2#>5

故答案為：C.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.2sin45。的值等于（）

A.—B.2C.1

D.V2

23

【答案】D

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得解.

【詳解】解：2sin45o=2x?l=^.

2

故選：D.

【點睛】此題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，表示一條跳臺滑雪賽道，在點力處測得起點2的仰角為35。，底端點C與頂端點2的距離為

50米，則賽道N3的長度為（）米.

5050

50cos35°D.

sin35°cos35°

【答案】C

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解決問題.

【詳解】解：在放中,

VZA=35°,5C=50米,

sin35°=——

AB

50

：.AB=（米）?

sin35°

故選：c.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，掌握仰角俯角的意義是解決本題的關(guān)鍵.

4.2tan300的值等于（）

e

A.百D.

22

【答案】B

【分析】tan30°=代入式子即可.

V3

【詳解】tan30°=V3

則2tan30。=38

3

故選B.

【點睛】本體考查了銳角三角函數(shù)值相關(guān)計算，比較簡單，熟練掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，點力為邊上的任意一點，作力。_L5C于點C,。。_1力5于點。，下列用線段比表示tana的值,

錯誤的是（）

A

B

CDACCDAD

A.----D.----

BDBCAC-----------------------CD

【答案】c

【分析】根據(jù)CDrAB,可得=90°ZACD+ZA=90°,從而得N/CD=/a,再根據(jù)正

切的定義，即可求解.

【詳解】解：：/C_LBC,CDLAB,

：.NACB=NBDC=NADC=9Q。,

：.ZA+Za=90°ZACD+ZA=90°,

AACD=/.a,

ACCDAD

..tana=,tana=,tana=tanAACD=,

BCBDCD

二?選項A、B、D正確，不符合題意；選項C錯誤，符合題意.

故選：C

【點睛】本題主要考查了求正切值，余角的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，銳角的正切值等于它的對邊與

鄰邊的比值是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.北京冬奧會雪上項目競賽場地“首鋼滑雪大跳臺”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”元素.如圖，賽道剖面圖

的一部分可抽象為線段N8,已知坡的長為30m,坡角約為42。，則坡48的鉛直高度47約為

m.（參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.90）

【答案】20.1

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義計算，得到答案.

【詳解】解：在無△488中，NABH=42°,AB=30m,

*.*sinAABH=,

AB

：.AH=AB'smZABH-30x0.61=2,0.1(m),

故答案為：20.1.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義

是解題的關(guān)鍵.

7.如圖斜坡的坡比為1:2,豎直高度8c為1米，則該斜坡的水平寬度/C為.?米.

【分析】根據(jù)坡比的定義和正切三角函數(shù)計算求值即可;

【詳解】解：：斜坡的坡比為1:2,

,/BC1

??tanN4==—

AC2

'：BC=\米,

：.AC=2米,

故答案為：2；

【點睛】本題考查了坡角、坡度（坡比）：坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡面的鉛直高度和水平寬度的比

叫做坡度，即坡角的正切；掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

三、解答題

8.某校自開展課后延時服務(wù)以來，組建了許多興趣小組，小明參加了數(shù)學(xué)興趣小組，在課外活動中他們帶

著測角儀和皮尺到室外開展實踐活動，當(dāng)他們走到一個平臺上時，發(fā)現(xiàn)不遠(yuǎn)處有一棵大樹，如圖所示，小

明在平臺底部的點C處測得大樹的頂部B的仰角為60。,在平臺上的點E處測得大樹的頂部的仰角為30。.測

量可知平臺的縱截面為矩形DCFE,?！?2米，DC=20米，求大樹N3的高.（精確到1米，參考數(shù)據(jù):

V2a1.41,6?1.73,76?2.45)

【分析】延長所交A3于點G,設(shè)48為x,利用三角函數(shù)解直角三角形用x表示出EG、根據(jù)CD=EG

-/C列出方程求出x即可.

【詳解】延長斯交于點G,如圖，

設(shè)AB=x米，貝UBG=AB-2=(x-2)米，

在RtABGE中，EG=(AB-2)-tanZ5￡G=±^=?x-2),

tan30

A

在RtABAC41CA=AB^anAACB=—^=—x,

tan6003

貝l|CD=EG-AC=瓜x-2)-gx=20,

解得：x=10V3+3?20.

答：大樹的高約為20米.

【點睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

解三角形(提升測評)

一、單選題

1.在△N3C中，ZA=90°,若tanS=0.75,則cosC的值為()

A.0.5B.0.6C.0.8D.—

2

【答案】C

【分析】根據(jù)tan5的值，把48邊長設(shè)為3h4Z,勾股定理求出5。邊，再利用三角函數(shù)的定義求解

cosC.

【詳解】在4△ZBC中，N4=90。，

4c3

tanB=-----=0.75=—,

AB4

設(shè)4C=3f,AB=4t,貝!]5C=5f,

,,ACM

故，cosC=——=一=0.8.

BC5t

故選C.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的計算、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在A48C中，/C=90°,cos/=￥，NC=4g,則25長為（）

A.4B.8C.873D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解.

【詳解】解：；NC=90°,cos/=@,/C=4jL

2

“工照=8

cosAV3

2

故選B.

【點睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

3.如圖’在