考點(diǎn)鞏固卷02一元二次不等式及基本不等式（十二大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：不等式性質(zhì)的應(yīng)用1．（多選）對(duì)于實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，【答案】BC【分析】利用不等式的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A、B、C，對(duì)D選項(xiàng)取特殊值驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，取，滿足，而，故D錯(cuò)誤.故選：BC.2．已知，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，在中，∵，∴，解得：，故答案為：.3．（多選）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)椋杂?，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD．4．已知，，分別求，，，的取值范圍．【答案】詳見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和反比例函數(shù)特點(diǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，即的取值范圍是．由，，得，所以的取值范圍是．由，，得，所以的取值范圍是．易知，而則，所以的取值范圍是．考點(diǎn)02：利用基本不等式求最值(直接法)5．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【分析】直接由基本不等式求解即可.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào).故答案：.6．若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.故選：C7．已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，則ab的最大值為_(kāi)______.【答案】/0.0625【分析】由已知條件利用基本不等式求解即可．【詳解】因?yàn)閍＞0，b＞0，4a＋b＝1，所以1＝4a＋b≥＝，所以≤，≤，當(dāng)且僅當(dāng)4a＝b＝，即a＝，b＝時(shí)，等號(hào)成立，則ab的最大值為．故答案為：．8．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．20 B．40 C． D．【答案】C【分析】由兩次應(yīng)用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.9．已知，且，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】/【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.考點(diǎn)03：利用基本不等式求最值(配湊法)10．若，則的最值情況是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B【分析】利用基本不等式可得答案.【詳解】若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，所以若時(shí)，有最小值為6，無(wú)最大值.故選：B.11．當(dāng)時(shí)，的最小值為10，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】A【分析】應(yīng)用基本不等式求解最小值,再根據(jù)最小值求參即可.【詳解】當(dāng)時(shí),即，故.故選:A.12．已知，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【分析】變形，利用基本不等式求解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.13．（2023天津紅橋一模）已知，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【分析】將不等式變?yōu)椋儆苫静坏仁郊纯傻贸龃鸢?【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故答案為：.考點(diǎn)04：利用基本不等式求最值(商式)14．函數(shù)在上的最大值為_(kāi)______________．【答案】【分析】令，則，則，利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故的最大值為．故答案為：15．函數(shù)的最大值為_(kāi)_______.【答案】/【分析】首先化簡(jiǎn)可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.16．函數(shù)的最小值為_(kāi)________．【答案】【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：17．求的最小值．【答案】4【分析】根據(jù)已知可知，然后根據(jù)基本不等式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值4.18．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．4【答案】B【分析】使用變量分離，將化為，使用基本不等式解決.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：B．考點(diǎn)05：利用基本不等式求最值(“1”的代換)19．已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值為_(kāi)___________；【答案】/【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求得結(jié)果.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為.故答案為：.20．設(shè)，且，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)“1”的代換，結(jié)合已知可推得，然后根據(jù)基本不等式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所?當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，的最小值為.故答案為：.21．若，則的值可以是__________．【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則.故答案為：5（答案不唯一，只要不小于即可）22．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】化簡(jiǎn)已知式可得，因?yàn)?，由基本不等式求解即?【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等.故選：C.23．已知，若，則的最小值是（

）A．7 B．9 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：D.考點(diǎn)06：利用基本不等式求最值(消參法)24．已知，若，則的最小值為_(kāi)_____【答案】8【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為8．故答案為:25．若，，且，則的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【分析】由可得，從而將化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意，，得，故，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即，故的最小值是13，故選：C26．已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】由換底公式和基本不等式即可求解.【詳解】由知,結(jié)合，以及換底公式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故選：B.27．若，且，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】5【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)?，所以，則，即，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：5.考點(diǎn)07：利用對(duì)勾函數(shù)求最值28．求函數(shù)的最值.【答案】最小值為，無(wú)最大值【分析】利用分式變形結(jié)合換元法構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)最值求解即可【詳解】解：，令，則，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為，無(wú)最大值.29．下列函數(shù)中，最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合換元法判斷A、C的最值，應(yīng)用基本不等式求B的最值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求D的最值.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，顯然最小值不為4，排除；B：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足；C：由題意，而在上遞減，故時(shí)函數(shù)最小值為5，不滿足；D：由，當(dāng)時(shí)最小值為3，不滿足.故選：B30．函數(shù)的值域（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，將原式整理成，利用對(duì)勾函數(shù)能得到在上單調(diào)遞減，且沒(méi)有最大值，即可得到答案【詳解】解：令，所以，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，且沒(méi)有最大值，所以所以，故選：D31．當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_______.【答案】3【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.【詳解】設(shè)，則，又由得，而函數(shù)在上是增函數(shù)，因此時(shí)，取得最小值，故答案為：.考點(diǎn)08：解不含參的一元二次不等式32．下列不等式中，解集為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,，故A不符合，對(duì)于B，,且開(kāi)口向上，所以對(duì)任意的,都有,故B符合,對(duì)于C,得，故C不符合，對(duì)于D,由得，故D不符合，故選：B33．不等式的解集為（

）A．或. B．或.C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】不等式，解得：或，所以不等式的解集為或.故選：B34．關(guān)于實(shí)數(shù)的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三個(gè)二次之間的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理可得，且，代入所求不等式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：的解為，且，可得，解得，則不等式，即為，且，則，整理得，解得或，即解集為.故選：D.35．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】解：由題意知，，所以.故選：C.考點(diǎn)09：分式不等式、高次不等式36．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)不等式，等價(jià)轉(zhuǎn)化后畫(huà)數(shù)軸，利用穿根法求出不等式的解集.【詳解】

由，得，等價(jià)于，由穿根法可得不等式的解集為.故選：B37．解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】對(duì)不等式因式分解，由數(shù)軸標(biāo)根法或分類(lèi)討論求解即可.【詳解】（1），由數(shù)軸標(biāo)根法得，解集為；（2）或，易得解集為.38．不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的根，根據(jù)所得根為界點(diǎn)，討論范圍判斷題設(shè)不等式是否成立即可得解集.【詳解】令，則或或，當(dāng)時(shí)，，滿足不等關(guān)系；當(dāng)時(shí)，，則不滿足；當(dāng)時(shí)，，滿足不等關(guān)系；當(dāng)時(shí)，，則不滿足；而x=-1或x=1或x=3時(shí)，原不等式左側(cè)等于0，不滿足；綜上，解集為.故選：A39．已知集合，則_________．【答案】【分析】解分式不等式得到集合，求交集即可.【詳解】對(duì)于集合，解不等式，所以，即，等價(jià)于，解得或，所以，，則.故答案為：.40．不等式的解集是__________．【答案】【分析】化為整式不等式求解.【詳解】不等式等價(jià)于，解得，所以不等式的解集是.故答案為：41．不等式的解集是__________．【答案】【分析】移項(xiàng)通分得，即，再利用穿根法即可得到答案.【詳解】，即，即，則，根據(jù)穿根法解得，故答案為：.考點(diǎn)10：解含參的一元二次不等式42．關(guān)于x的方程的解集為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.【答案】1【分析】根據(jù)一元一次方程的解的即可求解.【詳解】由得，若該方程的解為空集，則且，解得，故答案為：143．關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【分析】直接因式分解，再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】,即，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則不等式得解集為，故答案為：.44．解關(guān)于x的不等式：(1)(2)【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）分解因式并含參討論解不等式即可；（2）將分式不等式化為整式不等式，含參討論即可.【詳解】（1），若，，解不等式得；若，則不等式可化為：①若，則，解不等式得或；②若，則，解不等式得；③若，則無(wú)解，即；④若，則，解不等式得.綜上所述：時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為.（2）由，若，則，即；若，原不等式可化為：若，則，解不等式得：或；若，則，解不等式得：；若，則，顯然無(wú)解，即；若，則，解不等式得：；綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.45．解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】對(duì)不等式變形為，然后對(duì)進(jìn)行合理分類(lèi)討論即可.【詳解】原不等式變?yōu)?，①?dāng)時(shí)，原不等式可化為，所以當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解得②當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，即.③當(dāng)時(shí)，，原不等式可化為，解得或.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.考點(diǎn)11：一元二次不等式的恒成立問(wèn)題46．已知函數(shù).若對(duì)于，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍________________.【答案】【分析】解法1：不等式配方變形為在上恒成立，討論的取值，使不等式恒成立，即可求的取值；解法2：采用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.【詳解】要使在上恒成立，即在上恒成立，有以下兩種解法：解法1：令，．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以.綜上所述，m的取值范圍是.解法2：因?yàn)椋忠驗(yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立．令，因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為，所以只需即可．所以的取值范圍是.故答案為：47．已知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】由題意可得對(duì)任意的恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，的最小值即可求解.【詳解】由題意可得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立.令，，，，則,所以,所以實(shí)數(shù)m的范圍為.故答案為:.48．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在恒成立，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，即在恒成立，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：49．命題“,使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【分析】由題意可得“，使”是真命題，討論m的取值，結(jié)合二次不等式恒成立，即可求得答案.【詳解】由題意命題“，使”是假命題，故“，使”是真命題，當(dāng)時(shí),成立，故，則且,解得，綜合得，故答案為:50．已知命題，使得“成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【分析】由特稱(chēng)命題的真假分類(lèi)討論求解參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)槊}，使得“成立”為真命題，當(dāng)時(shí)，，則，故成立；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，總存在；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：51．已知時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出不等式可得集合A，由，計(jì)算可得范圍.【詳解】設(shè)的解集為A，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，由得，即，當(dāng)，解得，即，可得；當(dāng)，解得，即，不合題意；當(dāng)，解集為，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C.考點(diǎn)12：不等式的實(shí)際應(yīng)用52．某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為平方米的泳池，池的深度為米，池的四周墻壁建造單價(jià)為每米元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米元，池底建造單價(jià)每平方米元(池壁厚忽略不計(jì))．則泳池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為_(kāi)_______米時(shí)，可使總造價(jià)最低．【答案】15【分析】根據(jù)題意求出總造價(jià)關(guān)于泳池的長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)泳池的長(zhǎng)為米，則寬為米，總造價(jià)(元)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．即泳池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為米時(shí)，可使總造價(jià)最低故答案為：1553．在中國(guó)很多鄉(xiāng)村，燃放煙花爆竹仍然是慶祝新年來(lái)臨的一種方式，煙花爆竹帶來(lái)的空氣污染非常嚴(yán)重，可噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測(cè)算，每噴灑一個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的去污劑濃度（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，由試驗(yàn)知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用.(1)若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再?lài)姙€(gè)單位的去污劑，要使接下來(lái)的3天能夠持續(xù)有效去污，求的最小值.【答案】(1)7天(2)【分析】（1）根據(jù)空氣中去污劑的濃度不低于4，直接列出不等式，然后解出不等式即可（2）根據(jù)題意，列出空氣中去污劑的濃度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式，然后利用基本不等式放縮，并解出不等式即可【詳解】（1）釋放的去污劑濃度為，當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，即；故一次投放4個(gè)單位的去污劑，有效去污時(shí)間可達(dá)7天.（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，則濃度，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立.所以的最小值為.54．為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點(diǎn)，某企業(yè)計(jì)劃加大對(duì)空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬(wàn)元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類(lèi)：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬(wàn)元.(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？(2)是否存在實(shí)數(shù)m，同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)75人(2)存在，7【分析】（1）根據(jù)題意直接列出不等式可求解；（2）由條件可得，，分別利用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式即可求解.【詳解】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員人數(shù)為，年人均投入為萬(wàn)元，則，()解得，又，，所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件.由技術(shù)人員年人均投入不減少有，解得.由研發(fā)人員的