數(shù)字科學(xué)與計(jì)算技術(shù)matrixtheory矩陣論矩陣論

教材：矩陣論簡明教程（第二版）

徐仲，張凱院，陸全，冷國偉編著

科學(xué)出版社

第一章矩陣的基礎(chǔ)知識(shí)§1.1矩陣的運(yùn)算§1.2方陣的行列式§1.3矩陣的秩§1.4特殊矩陣類§1.1矩陣的運(yùn)算一、矩陣的概念1、數(shù)集R—實(shí)數(shù)集，C—復(fù)數(shù)集2、矩陣的記號(hào)！Notations二、矩陣的運(yùn)算1、加法，減法2、數(shù)乘3、乘法4、轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置5矩陣的逆

6方陣行列式

7伴隨矩陣

三、矩陣的運(yùn)算規(guī)律1、求方陣的逆陣求逆矩陣的基本方法有：（1）定義法

例題（2）公式法

（3）初等變換法

解：用定義法

解：本題主要考查矩陣乘法的結(jié)合律與逆陣的定義解：四、矩陣分塊及運(yùn)算1、加法，減法2、數(shù)乘3、乘法4、轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置§1.2方陣的行列式一、行列式的定義與性質(zhì)Property1:IfAisasquarematrix,thendetA=detAT.Thatis,

Property2:Ifarow(orcolumn)ofAconsistsentirelyofzeros,thendetA=0.Thatis,Property3:IfmatrixBresultsfromMatrixAbyinterchang-ingtworows(orcolumns)ofA,thendetB=

detA.Thatis,Property4:IfBisobtainedfromAbymultiplyingarow(orcolumn)ofAbyarealnumberc,thendetB=cdetA.Property5:Ifeachelementofsomerow(orcolumn)ofdetAisthesumoftwonumbers,thenitcanrepresentedbythesumoftwodeterminant.Thatis,Property6:IfBisobtainedfromAbyaddingtoeachelementoftherthrow(orcolumn)ofA

ktimesthecorrespondingelementofthesthrow(orcolumn)(r≠s)ofA,thendetB=detA.Thatis,例1:求Solution:Exle2:Evaluatethefollowing(n+1)thorderdeterminantSolution:Exle3:EvaluatethefollowingnthorderdeterminantSolution:Exle4:EvaluatethefollowingnthorderdeterminantSolution:二、塊矩陣的行列式即某行左乘一個(gè)矩陣加到另一行，值不變；某列右乘一個(gè)矩陣加到另一列，值不變。Exle1證：Exle2證：Exle3證：三、Vandermond行列式一、矩陣秩的定義及基本性質(zhì)1、秩的定義§1.3矩陣的秩2、基本性質(zhì)（1）初等變換不改變矩陣秩；Exle1SolutionExle2Solution二、矩陣秩等式三、矩陣秩不等式定理1推論1Exle1Proof§1.4特殊矩陣類一、幾類基本的特殊矩陣1、零矩陣，單位矩陣I2、對角矩陣3、三角矩陣二、正規(guī)矩陣定義1以下矩陣都是正規(guī)矩陣：定義2三、初等矩陣類1、定義有以下三類初等矩陣：定義3Row

iRowj2、三種初等矩陣的統(tǒng)一表示！Notations四、其他特殊矩陣類第二章矩陣的相似變換§2.1矩陣的特征值與特征向量§2.2矩陣的相似對角化§2.3矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形§2.4Hamilton-Cayley定理§2.5矩陣的酉相似一、特征值與特征向量1、定義§2.1矩陣的特征值與特征向量定義1！RemarksThefollowingresultgivesanecessaryandsufficientconditionforanumbertobeaneigenvalueofA.Theorem12、特征多項(xiàng)式定義2！Notations3、特征值與特征向量的求法例1解二、特征值與特征向量的性質(zhì)定義3定理1定理2定義4定理3定理4！NotationsExle2SolutionExle3SolutionExle4Solution§2.2矩陣的相似對角化一、矩陣的相似1、定義定義12、性質(zhì)定理1定理2Proof（2）二、相似對角化1、定義定義22、相似對角化的條件定理3Proof推論1推論2Exle2SolutionExle3Solution一、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形1、定義定義1§2.3矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形！Notations2、矩陣的Jordan分解定理定理1二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法1、初等變換法定義2定理2！Notations定義3由初等變換求矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形方法：例1解2、行列式因子法定義3定理3由行列式因子求矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形方法：例2解例3解三、相似變換矩陣的求法與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的冪1、相似變換矩陣的求法例4解！Notations2、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的冪定理4！Notations例5解一、Hamilton-Cayley定理1、定理定理1（Hamilton-Cayley定理）§2.4Hamilton-Cayley定理證明！Notations1、利用定理1可以簡化矩陣運(yùn)算例1解2、可逆矩陣逆的多項(xiàng)式表示二、零化多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式1、零化多項(xiàng)式定義1！Notations2、最小多項(xiàng)式定義2定理2證略3、零化多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式的關(guān)系定理3證定理4證略例2解§2.5矩陣的酉相似1、向量的內(nèi)積定義1定理12、向量的長度定義2向量的長度具有如下性質(zhì)：定理23、Cauchy-Schwarz不等式定理3（Cauchy-Schwarz不等式）證1、定義定義3定理4證定義42、Schmidt正交化3、單位化例1解三、酉矩陣1、定義定義5！Notations2、性質(zhì)定理5定理6證四、酉相似1、定義定義62、Schur分解定理7（Schur分解定理）證從而由歸納法可以證明。五、酉相似對角化1、正規(guī)矩陣定義7！Notations以下矩陣都是正規(guī)矩陣：定理8證：必要性充分性：2、Hermite矩陣，反Hermite矩陣及酉矩陣的特性定理9證酉相似對角化方法：例2解六、Hermite矩陣的正定性1、定義定義82、正定Hermite矩陣的性質(zhì)定理10證定理113、非負(fù)定Hermite矩陣的性質(zhì)定理12第三章矩陣分解§3.1矩陣的三個(gè)基本分解§3.2矩陣的三角分解§3.3矩陣的QR分解§3.4矩陣的奇異值分解將矩陣分解為形式比較簡單矩陣的乘積，在矩陣論中是非常重要的，因?yàn)榉纸獾倪@些特殊矩陣能反映原矩陣的某些重要的特性，如矩陣的秩，矩陣的行列式，特征值與奇異值等。而且分解的方法也提出了一些有效的數(shù)值計(jì)算方法與理論分析依據(jù)。本章主要介紹幾種常用的矩陣分解。一、長方陣的分解1、長方陣的基本分解定理1§3.1矩陣的三個(gè)基本分解2、長方陣的滿秩分解推論1證Remark滿秩分解的求法：二、方陣的分解1、Jordan分解定理22、Schur分解定理2一、可逆矩陣的三角分解1、定義定義1§3.2矩陣的三角分解例如下三角上三角一般情況下分解不唯一2、可逆矩陣的三角分解的條件定理1此定理說明：并不是所有可逆矩陣都可以作三角分解。例如：定理1的證明必要性充分性：3、不可逆矩陣的三角分解定理2此定理的條件僅是充分的，例如：定理2的證明二、幾類特殊的三角分解1、Doolittle分解定義2！NotationsA的Doolittle分解單位下三角矩陣A的Crout分解單位上三角矩陣定理32、LDR分解定義3A的LDR分解定理4證再證唯一性3、正定Hermite矩陣的三角分解定義4定理5證三、三角分解的緊湊計(jì)算格式第1框第2框第n框例1解一、Householder矩陣1、定義定義1§3.3矩陣的QR分解2、基本性質(zhì)定理1證利用結(jié)論：3、Householder變換定義2定理2證證畢定理3證推論1推論2！Notations例1解例2解二、矩陣的QR分解1、一般矩陣的QR分解定義3定理4證推論1例3解2、可逆矩陣的QR分解定理5證例4解一、矩陣的奇異值1、矩陣的酉等價(jià)定義1§3.4矩陣的奇異值分解！Notations（1）矩陣的奇異值分解是矩陣在酉等價(jià)下的一種標(biāo)準(zhǔn)形，它在優(yōu)化問題，最小二乘法問題，廣義逆矩陣及統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.2、矩陣的奇異值定義2！Notations定理1證二、矩陣的奇異值分解1、矩陣的奇異值分解定理2證推論1矩陣的奇異值分解的一般步驟：例1解2、矩陣的極分解定理3證第4章矩陣分析§4.1向量的范數(shù)§4.2矩陣范數(shù)§4.3矩陣級數(shù)§4.4矩陣函數(shù)§4.5矩陣的微分與積分§4.1向量的范數(shù)一、向量的范數(shù)Recall：向量的長度的性質(zhì)1.

范數(shù)的定義齊定義1設(shè)是上一個(gè)泛函，滿足齊則稱是上一個(gè)向量范數(shù).定理1證2.常用的向量范數(shù)設(shè)定義2可以驗(yàn)證均是上向量范數(shù)，分別稱為1-范數(shù)，2-范數(shù)，p-范數(shù)和∞-范數(shù).例如，驗(yàn)證滿足三角不等式.設(shè)則而驗(yàn)證滿足三角不等式需要用到下述著名的H?lder不等式：其中對應(yīng)的三角不等式是Minkowski不等式.定理2另外，如果是Hermite正定矩陣，則容易驗(yàn)證也是上向量范數(shù).二、向量范數(shù)的等價(jià)性1.

等價(jià)性的定義定義3設(shè)與是上兩個(gè)向量范數(shù)，如果存在常數(shù)使得則稱向量范數(shù)與等價(jià).2.

上范數(shù)的等價(jià)性定理3

上所有向量范數(shù)等價(jià).§4.2矩陣范數(shù)一、矩陣范數(shù)1.

定義定義1設(shè)是上一個(gè)泛函，滿足則稱是上一個(gè)矩陣范數(shù).齊積2.常用的矩陣范數(shù)設(shè)定義2-范數(shù)-范數(shù)-范數(shù)容易驗(yàn)證上述三個(gè)泛函滿足(1)正定性和(2)齊次性.下面以為例來驗(yàn)證(3)三角不等式和(4)乘積不等式.(3)三角不等式(4)乘積不等式綜上可知，是上的矩陣范數(shù).二、矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性1.矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性定義3則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容.設(shè)是上矩陣范數(shù)，是上向量范數(shù)，如果定理1(1)矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容；(2)矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容.以矩陣范數(shù)與向量范數(shù)為例證之.設(shè)則2.由矩陣范數(shù)誘導(dǎo)的向量范數(shù)設(shè)是上一個(gè)矩陣范數(shù)，取定義可以證明，它是上的向量范數(shù)，稱為由矩陣范數(shù)所誘導(dǎo)的向量范數(shù).定理2上任意一矩陣范數(shù)與它所誘導(dǎo)的向量范數(shù)相容.3.由向量范數(shù)誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)設(shè)是上一個(gè)向量范數(shù).定義可以證明，它是上的矩陣范數(shù)，稱為由向量范數(shù)所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù).定理3上任意一向量范數(shù)與它所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)相容.定理4定理5三、矩陣范數(shù)的等價(jià)性定理6上所有矩陣范數(shù)等價(jià).四、長方陣的范數(shù)五、矩陣譜半徑與范數(shù)的關(guān)系1.矩陣的譜半徑定義4定理72.譜半徑與范數(shù)的關(guān)系定理8定理9一、向量序列與矩陣序列1.

向量序列§4.3矩陣級數(shù)定義1定理12.

矩陣序列定義2定理2定理33.

收斂矩陣定義3定理4證明必要性充分性從而推論二、矩陣級數(shù)1.

矩陣級數(shù)的形式2.矩陣級數(shù)的斂散性定義4定理5定義5定理6定理73.收斂的矩陣級數(shù)的性質(zhì)定理8三、矩陣冪級數(shù)1.矩陣冪級數(shù)的形式定理9推論2.Neumann矩陣冪級數(shù)定理10一、矩陣函數(shù)1.

定義§4.4矩陣函數(shù)定義12.

幾個(gè)常用的矩陣函數(shù)3.

帶參數(shù)的矩陣函數(shù)二、矩陣函數(shù)值的計(jì)算1.

利用Hamilton-Cayley定理或零化多項(xiàng)式2.

利用Jordan分解3.

待定系數(shù)法三、矩陣函數(shù)的特征值定理1四、常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)定理2定理3定理5推論Remark第4章矩陣分析§4.1向量的范數(shù)§4.2矩陣范數(shù)§4.3矩陣級數(shù)§4.4矩陣函數(shù)§4.5矩陣的微分與積分一、矩陣的微分1.

定義定義1§4.5矩陣的微分與積分2.

矩陣的求導(dǎo)法則例二、矩陣的積分1.

定義定義22.

矩陣的積分運(yùn)算法則3.

微分與積分的關(guān)系三、數(shù)量函數(shù)對矩陣變量的導(dǎo)數(shù)定義3四、矩陣值函數(shù)對矩陣變量的導(dǎo)數(shù)定義4第五章矩陣的特征值估計(jì)§5.1矩陣特征值界的估計(jì)§5.2矩陣特征值的分布區(qū)域§5.3Hermite矩陣特征值表示一、矩陣特征值界的估計(jì)1、矩陣的和分解§5.1矩陣特征值界的估計(jì)2、一個(gè)基本引理引理1證3、矩陣特征值界的估計(jì)定理1定理2證推論1證引理1證定理3例1解二、Schur不等式定理4證一、圓盤定理1、Gerschgorin圓（蓋爾圓）§5.2矩陣特征值的分布區(qū)域定義12、圓盤定理定理1（圓盤定理1）證例１解！Notations定義2定理2（圓盤定理2）例2證

3、特征值的隔離例3解例4解二、Ostrowski定理定理3（Ostrowski定理1）證推論1推論2推論3例5解定義3定理4（Ostrowski定理2）一、Hermite矩陣的最大與最小特征值1、