§11.1隨機事件的概率

【考試要求】1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概

率的區(qū)別2理解事件間的關系與運算.

佚口識梳理】

1.事件的相關概念

2.頻數、頻率和概率

（1）頻數、頻率：在相同的條件S下重復〃次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱〃次試驗中

事件A出現的次數為事件A出現的頻數,稱事件A出現的比例/1G4）=詈為事件A出現的

頻率.

（2）概率：對于給定的隨機事件A,如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率以A）穩(wěn)定在

某個常數上，把這個常數記作尸（A）,稱為事件A的概率.

3.事件的關系與運算

名稱條件結論符號表示

事件B包含事件A（事

包含關系A發(fā)生=8發(fā)生BRA(或AUB)

件4包含于事件8）

相等關系若BQA且42B事件牛與事件B相等A=B

事件A與事件8的并事

并（和）事件A發(fā)生或B發(fā)生AUB^A+B)

件（或和事件）

事件A與事件B的交事

交（積）事件A發(fā)生且8發(fā)生4。8（或明

件（或積事件）

互斥事件ACB為不可能事件事件牛與事件B互斥4nB=0

AA8為不可能事件，事件A與事件8互為對

對立事件ACB=0,P(AUB)=1

AU8為必然事件立事件

【常用結論】

1.當隨機事件A,B互斥時，不一定對立；當隨機事件A,8對立時，一定互斥.也即兩事

件互斥是對立的必要不充分條件.

2.隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而概率是客觀存在的確定的常數，但在大量隨機試驗

中，事件4發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）必然事件一定發(fā)生.（V）

⑵在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.（V）

（3）兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生.（X）

（4）若4UB是必然事件，則A與B是對立事件.（X）

【教材改編題】

1.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是（）

A.至多有一次中靶B.兩次都中靶

C.只有一次中靶D.兩次都不中靶

答案D

解析“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”.

2.把一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則

擲一次硬幣正面朝上的概率為.

答案

解析擲一次硬幣正面朝上的概率是

3.先后兩次拋擲同一枚硬幣，若正面向上記為1；若反面向上，則記為0,則這個試驗有

個基本事件.

答案4

解析這個試驗的基本事件為（1,1）,（1,0）,（0,1）.（0,0）,共4個.

題型一隨機事件與基本事件個數

例1（1）在1,2,3,…，10這十個數字中，任取三個不同的數字，那么“這三個數字的和大于

5”這一事件是（）

A.必然事件B.不可能事件

C.隨機事件D.以上選項均有可能

答案A

解析從1,2,3,…，10這十個數字中任取三個不同的數字，那么這三個數字和的最小值為1

+2+3=6,

事件“這三個數字的和大于5”一定會發(fā)生，

由必然事件的定義可以得知該事件是必然事件.

（2）袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現在有放回地隨機摸3次，每次摸取一個，

觀察摸出球的顏色，則此隨機試驗的基本事件個數為（）

A.5B.6C.7D.8

答案D

解析因為是有放回地隨機摸3次，所以隨機試驗的基本事件有（紅，紅，紅），（紅，紅，黑）,

（紅，黑，紅），（紅，黑，黑），（黑，紅，紅），（黑，紅，黑），（黑，黑，紅），（黑，黑，黑）共

8個.

【教師備選】

一只口袋裝有除顏色外，形狀、大小等完全相同的2個白球，3個黑球，4個紅球，從中分兩

次依次取兩個球.

（1）寫出這個試驗的基本事件；

（2）“至少有1個白球”這一事件包含哪幾個基本事件？

解（1）這個試驗的基本事件有（白，白），（黑，黑），（紅，紅），（白，黑），（白，紅），（黑，白）,

（紅，白），（黑，紅），（紅，黑）.

⑵“至少有1個白球”這一事件包含以下5個基本事件：（白，白），（白，黑），（白，紅），（黑,

白），（紅，白）.

思維升華確定基本事件個數的方法

（1）必須明確事件發(fā)生的條件.

（2）根據題意，按一定的次序列出問題的答案.特別要注意結果出現的機會是均等的，按規(guī)律

去寫，要做到既不重復也不遺漏.

跟蹤訓練1（1）下列說法錯誤的是（）

A.任一事件的概率總在［0,1］內

B.不可能事件的概率一定為0

C.必然事件的概率一定為1

D.概率是隨機的，在試驗前不能確定

答案D

解析任一事件的概率總在［0,1］內，不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1,概率是客

觀存在的，是一個確定值.

（2）同時拋擲兩枚完全相同的骰子，用（x,y）表示結果，記A為“所得點數之和小于5”，則

事件A包含的基本事件的個數是（）

A.3B.4C.5D.6

答案D

解析事件A包含（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,共6個基本事件.

題型二事件的關系與運算

例2（1）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，設事件A="只有一次中靶"，B="兩次都中靶”，給

出下列說法：

①AUB；②AAB=0；③AUB="至少一次中靶”；④4與B互為對立事件.

其中正確的是（）

A.①②B.②③

C.③④D.①④

答案B

解析事件A="只有一次中靶"，B="兩次都中靶”，所以A,B是互斥但不是對立事件，

所以①④錯誤，②正確.AUB="至少一次中靶”，③正確.

(2)將顏色分別為紅、綠、白、藍的4個小球隨機分給甲、乙、丙、丁4個人，每人一個，則

()

A.事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”是互斥不對立事件

B.事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是對立事件

C.事件“甲分得綠球，乙分得藍球”的對立事件是“丙分得白球，丁分得紅球”

D.當事件“甲分得紅球”的對立事件發(fā)生時，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是孑

答案D

解析事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯誤；

事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”不能同時發(fā)生，是互斥事件，除了甲分得紅球或

者乙分得紅球以外，丙或者丁也可以分得紅球，B錯誤；

事件“甲分得綠球，乙分得藍球”與事件“丙分得白球，丁分得紅球”可以同時發(fā)生，不是

對立事件，C錯誤；

事件“甲分得紅球”的對立事件是“甲沒有分得紅球”，因此乙、丙、丁三人中有一個人分

得紅球，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是小D正確.

【教師備選】

1.拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：

G="點數為i"，其中i=123,4,5,6；

D尸"點數不大于2"，。2="點數不小于2"，6="點數大于5”；

E="點數為奇數”，F="點數為偶數”.

下列結論正確的是()

A.G與C2對立B.5與&互斥

C.DWFD.￡2(Di0￡)2)

答案c

解析對于A,C|="點數為1”，C2="點數為2”，G與C2互斥但不對立，故選項A不

正確；

對于B,d="點數不大于2"，O2="點數不小于2”，當出現的點是2時，。與6同時

發(fā)生，所以。與。2不互斥，故選項B不正確；

對于C,5="點數大于5”表示出現6點，F="點數為偶數”，所以。3發(fā)生產一定發(fā)生，

所以6UF,故選項C正確；

對于D,AA6表示兩個事件同時發(fā)生，即出現2點，E="點數為奇數”，所以D^D2

發(fā)生，事件E不發(fā)生，所以￡2(。］口。2)不正確，故選項D不正確.

2.從1至9這9個自然數中任取兩個，有如下隨機事件：

A=”恰有一個偶數"；B="恰有一個奇數”；

C="至少有一個是奇數"；D="兩個數都是偶數”；

E=“至多有一個奇數”.

下列結論不正確的是()

A.A=BB.BQC

c.z)nE=0D.crw=0,cuz)=。

答案c

解析事件A,B都指的是一奇一偶，故A正確；至少有一個奇數，指兩個數是一奇一偶，

或是兩個奇數，所以8UC,故B正確；至多有一個奇數指一奇一偶，或是兩偶，此時事件

D,E有公共事件，故C錯誤；此時C,。是對立事件，所以cno=0,CUD=a

思維升華事件的關系運算策略

(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生.

(2)進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現

的全部結果，必要時可列出全部的試臉結果進行分析.也可類比集合的關系和運用Venn圖

分析事件.

跟蹤訓練2(1)(2022?長春模擬)口袋中裝有3個紅球和4個黑球，每個球編有不同的號碼，

現從中取出3個球，則互斥而不對立的事件是()

A.至少有1個紅球與至少有1個黑球

B.至少有1個紅球與都是黑球

C.至少有1個紅球與至多有1個黑球

D.恰有1個紅球與恰有2個紅球

答案D

解析對于A,不互斥，如取出2個紅球和1個黑球，與至少有1個黑球不是互斥事件，所

以A不符合題意；

對于B,至少有1個紅球與都是黑球不能同時發(fā)生，且必有其中1個發(fā)生.所以為互斥事件,

且為對立事件，所以B不符合題意；

對于C,不互斥.如取出2個紅球和1個黑球，與至多有1個黑球不是互斥事件，所以C不

符合題意；

對于D,恰有1個紅球與恰有2個紅球不能同時發(fā)生，所以為互斥事件，但不對立，如還有

3個紅球.

(2)拋擲一枚質地均勻的骰子，有如下隨機事件：A,="向上的點數為i"，其中i=1,2,345,6,

B="向上的點數為偶數”，則下列說法正確的是()

A.A￡BB.A2+B—Q

C.A3與B互斥D.4,與8對立

答案C

解析對于A,T>={2,3,4,5,6},B={2,4,6),

ABCTI,故A錯誤；

對于B,A2+B={2}U{2,4,6}={2,4,6}WQ,故B錯誤；

對于C,4與B不能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確；

對于D,4={4},"B={1,3,5),4與9是互斥但不對立事件，故D錯誤.

題型三頻率與概率

例3某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元,

未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求

量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣

溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六

月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

[10,[15,[20,[25,[30,[35,

最高氣溫

15)20)25)30)35)40]

天數216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450

瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率.

解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25,由表中數據可知，

最高氣溫低于25的頻率為？+1*36=

所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為

⑵當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，

若最高氣溫低于20,則7=200X6+(450-200)X2-450X4=-100；

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),則丫=300X6+(450-300)X2-450X4=300；

若最高氣溫不低于25,

則r=450X(6-4)=900,

所以利潤y的所有可能值為一100,300,900.

y大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為

36+25+7+4

90=

因此y大于零的概率的估計值為

【教師備選】

某險種的基本保費為。(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保

費與其上年度出險次數的關聯如下：

上年度出險次數0123425

保費aaaaa2a

隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統(tǒng)計表:

出險次數01234N5

頻數605030302010

(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求尸(A)的估計值；

(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%"，求P(B)

的估計值；

(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.

解(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數小于2.由所給數據知，一年內出險次數小于2的

頻率為必需=,故尸(A)的估計值為

(2)事件3發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4.由所給數據知，一年內出險次數大于

30+30

1且小于4的頻率為一而一=,故P(B)的估計值為

(3)由所給數據得

保費aaaaala

頻率

調查的200名續(xù)保人的平均保費為aX+“X+aX+aX+aX+2aX=5a.因此，續(xù)保人本年

度平均保費的估計值為5a.

思維升華(1)概率與頻率的關系

(2)隨機事件概率的求法

跟蹤訓練3某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量y(單位：萬千瓦時)與該河上

游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關.據統(tǒng)計，當X=70時，y=460；X每增加10,Y

增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,

110,160,220,140,160.

(1)完成如下的頻率分布表：

近20年六月份降雨量頻率分布表

降雨量70110140160200220

頻率

(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，

求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率.

解(1)在所給數據中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有

3個.故近20年六月份降雨量頻率分布表為

降雨量70110140160200220

頻率

X—70X

(2)根據題意，r=460+—fp-X5=2+425,

故尸(”發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”)=P(Y<490或K>530)

=P(X<130或X>210)

=P(X=70)+尸(X=110)+P(X=220)

1,3,23

20十20十2010-

故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率為磊.

課時精練

1.下列說法正確的是()

A.任何事件的概率總是在(0,1)之間

B.頻率是客觀存在的，與試驗次數無關

C.隨著試驗次數的增加，事件發(fā)生的頻率一般會穩(wěn)定于概率

D.概率是隨機的，在試驗前不能確定

答案C

解析不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1,故A錯；

頻率是由試驗的次數決定的，故B錯；概率是頻率的穩(wěn)定值，故C正確，D錯.

2.2021年東京奧運會中國體育代表團共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接種的有

3人，則中國體育代表團成員的疫苗接種率約為()

A.B.

C.D.

答案A

777—3

解析中國體育代表團成員的疫苗接種率約為7萬一-1=

3.在一個袋子中裝有分別標注123,4,5的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同，現

從中隨機取出2個小球，則取出小球標注的數字之差的絕對值為2或4的事件包含的基本事

件個數為（）

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析從5個小球中任取2個，其中數字之差的絕對值為2或4的事件包含(1,3),(1,5),(2,4),

(3,5),共4個基本事件.

4.拋擲一枚骰子，“向上的點數是1或2”為事件A,“向上的點數是2或3”為事件8,

則()

A.AUB

B.A=B

C.A+B表示向上的點數是1或2或3

D.A8表示向上的點數是1或2或3

答案C

解析由題意，可知A={1,2},8={2,3},

則ACB={1},AUB={1,2,3},...AUB表示向上的點數為1或2或3.

5.一個盒子內裝有紅球、白球、黑球三種球，其數量分別為3,2,1,從中任取兩球，則互斥

而不對立的兩個事件為()

A.至少有一個白球；都是白球

B.至少有一個白球；至少有一個紅球

C.恰有一個白球；一個白球一個黑球

D.至少有一個白球；紅球、黑球各一個

答案D

解析對于D,紅球、黑球各取一個，則一定取不到白球，故“至少有一個白球”“紅球、

黑球各一個”為互斥事件，也有可能取到兩球都是紅球，故不是對立事件，所以D選項符合.

6.下列說法不正確的是()

A.若事件A與B互斥，則AUB是必然事件

B.《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》是我國四大名著.若在這四大名著中，甲、

乙、丙、丁分別任取一本進行閱讀，設事件E="甲取到《紅樓夢》"，事件尸="乙取到

《紅樓夢》”，則E與尸是互斥但不對立事件

C.擲一枚骰子，記錄其向上的點數，記事件A="向上的點數不大于5"，事件B=“向上

的點數為質數”，則8UA

D.10個產品中有2個次品，從中抽取一個產品檢查其質量，則包含兩個基本事件

答案A

解析對于A,事件A與8互斥時，AU8不一定是必然事件，故A不正確；對于B,事件

E與尸不會同時發(fā)生，所以E與尸是互斥事件，但除了事件E與尸之外還有“丙取到紅樓

夢”“丁取到紅樓夢”，所以E與F不是對立事件，故E與F是互斥但不對立事件，B正確；

對于C,事件A={1,2,3,4,5},事件8={2,3,5},所以8包含于4,C正確；對于D,基本事

件為正品，次品，故D正確.

7.籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，記錄剩下動物的腳數.則

剩余動物的腳數為.

答案0,2,4,6,8

解析最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余雞的只數最多4只，最少0只，所以剩

余動物的腳數可能是8,6,4,2,0.

8.商場在一周內共賣出某種品牌的皮鞋300雙，商場經理為考察其中各種尺碼皮鞋的銷售情

況，以這周內某天售出的40雙皮鞋的尺碼為一個樣本，分為5組，已知第3組的頻率為，第

124組的頻數分別為6,7,9.若第5組表示的是尺碼為40?42的皮鞋，則售出的這300雙皮鞋

中尺碼為40?42的皮鞋約為雙.

答案60

解析???第1,2,4組的頻數分別為6,7,9,

.?.第1,2,4組的頻率分別為

6_7_9_

40->40-'40-

???第3組的頻率為，

.?.第5組的頻率是1------------=,

...售出的這300雙皮鞋中尺碼為40?42的皮鞋約為X300=60(雙).

9.盒子里有6個紅球、4個白球，現從中任取3個球，設事件A={3個球中有1個紅球、2

個白球},事件8={3個球中有2個紅球、1個白球},事件C={3個球中至少有1個紅球},

事件￡>={3個球中既有紅球又有白球}.

(1)事件。與4,B是什么樣的運算關系？

(2)事件C與A的積事件是什么事件？

解(1)對于事件。，可能的結果為1個紅球、2個白球或2個紅球、1個白球，故。=4+B.

(2)對于事件C,可能的結果為1個紅球、2個白球或2個紅球、1個白球或3個紅球，故CA

=4

10.設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數分別為27,9,18.現采用分層抽樣的方法從這三

個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽.

(1)求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數；

(2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A”A2,A3,A4，A5,4.現從這6名運動員中

隨機抽取2人參加雙打比賽.

①用所給編號列出所有基本事件；

②設A為事件“編號為4和4的兩名運動員中至少有1人被抽到”，寫出該事件的集合表

示.

解(1)甲、乙、丙三個協(xié)會共有的運動員人數為27+9+18=54,

則應從甲協(xié)會抽取27X備=3(人)，

從乙協(xié)會抽取9義強=1(人)，

從丙協(xié)會抽取18義擊=2(人).

故從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數分別為3,1,2.

(2)①從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有基本事件為(4,A2),(AI,A3),(AI,

A4),(Al,A5)，(Al,A6),(42,小)，(42,44),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,

4),(4,A5),(4,4),(4,4),共15種.

②事件A可用集合表示為{(4,4),(A,,A6),(A2,45),(A2,4),(A3,4),(A3,A6),(A4,

A5),(A4，Afi),(A5,Afi)}.

11.2021年5月7日，國藥集團中國生物北京生物制品研究所研發(fā)生產的新型冠狀病毒滅活

疫苗(Vero細胞)，獲得世衛(wèi)組織緊急使用授權，納入全球“緊急使用清單"(EUL).世衛(wèi)組織

審評認為該疫苗的效力為，最高達90%,安全性良好，臨床試驗數據中沒有發(fā)現安全問題.所

謂疫苗的效力，是通過把人群分成兩部分，一部分為對照組，注射安慰劑；另一部分為疫苗

組，注射疫苗，當從對照組與疫苗組分別獲得發(fā)病率后，就可以得到注射疫苗的效力=

-------1電,組發(fā)病率-------X100%.關于汪射疫苗，下列說法正確的是()

A.只要注射該種新冠疫苗，就一定不會感染新冠肺炎

B.注射該種新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的風險大大降低

C.若對照組10000人，發(fā)病100人；疫苗組20000人，發(fā)病40人，則效力為40%

D.若疫苗的效力為80%,對照組的發(fā)病率為50%.那么在10000個人注射該疫苗后，一定有

1000個人發(fā)病

答案B

解析由題意知，疫苗的效力為，最高達90%,但不是注射該種新冠疫苗，就一定不會感染

新冠肺炎，故選項A錯誤；

疫苗的效力為，最高達90%,所以注射該種新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的風險大大降低，

故選項B正確；

若對照組10000人，發(fā)病100人；疫苗組20000人，發(fā)病40人，則注射疫苗的效力=

10040

10000-20000=…口

-----標-----X100%-80%,故選項C錯誤；

10000

若疫苗的效力為80%,對照組的發(fā)病率為50%,只是反應了一個概率問題，并不能說明在10000

個人注射該疫苗后，一定有1000個人發(fā)病，故選項D錯誤.

12.一批產品共100件，其中5件是次品，95件是合格品，從這批產品中任意抽取5件，現

給出以下四個事件：

事件A：“恰有一件次品”；

事件B：”至少有兩件次品”：

事件C：“至少有一件次品”；

事件Q：“至多有一件次品”.

則以下結論正確的是（）

A.AUB=AB.DUB是必然事件

C.AUB=BD.AU￡>=C

答案B

解析AUB表示的事件為至少有一件次品，即事件C,所以A不正確，C不正確；OU8表

示的事件為至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了所有情況，所以B正確；AU。表示

的事件為至多有一件次品，即事件。，所以D不正確.

13.對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設4=｛兩次都擊中飛機｝,8