專題02復(fù)數(shù)與不等式

一、單選題

1.4-7

1.(2023?江蘇常州?華羅庚中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Z是純虛數(shù)，P是實(shí)數(shù)，則W=()

1+1

A.-iB.iC.-2iD.2i

【答案】A

【解析】由題意設(shè)Z=歷(b∈R),

,1+zl+?i(l+?i)(l-i)(l+?)+(?-l)i

貝"---=-----=----------=-------------,

1+i1+i(l-i)(l+i)2

因?yàn)閉二+z是實(shí)數(shù)，所以6—1=0,得b=l,

1+1

所以z=i,

所以z=—i，

故選：A.

2.(2023.江蘇泰州.泰州中學(xué)?？家荒?若復(fù)數(shù)Z滿足止土包=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z的虛部

Z

是()

A.-----B.-----iC.2iD.2

33

【答案】D

【解析】由已知豈叫=l-2i,故5=(l-2i)znz=?r?=l+2i,

故Z的虛部是2.

故答案為：D

3.(2023?江蘇無錫?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Z滿足[-i)i=4+3i,則IZl=()

A.2√5B.3C.2√3D.3√2

【答案】D

-4+3i-(4+3i)(-i)

【解析】依題意，z-i=空一，則有z='"/+i=3-4i+i=3-3i,于是得z=3+3i,

i?-(-?)

所以d=?/?2+32=35/2.

故選：D

4.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)4i對應(yīng)的向量為OZ，將OZ繞點(diǎn)。

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后，再將模變?yōu)樵瓉淼挠冶?，得到向量?,則04對應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部是()

A.6B.—6C.2乖ID.-2-^3

【答案】B

［解析］OZ=(0,4)繞O點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后變?yōu)镺Z2=(-2瘋2)再將模變?yōu)椤?倍,得OZ1=(-6,2√3),

對應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部是一6.

故選：B.

5.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Z滿足Zi=5-3i,則5在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】因?yàn)閆=F=-3-5i,所以5=-3+5i在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)(-3,5)位于第二象限.

故選：B

6.(2023?江蘇鹽城?阜寧縣東溝中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Z滿足z?(l+i)2=(l-4i)2(αeR),則Z為實(shí)數(shù)

的一個充分條件是()

A.α=0B.α=lC.a=y∣2D.cι=2

【答案】B

【解析】設(shè)Z=/?,則Z?(l+i)~=(1—ai)~,貝∣J2?i=1—々2一25，

［2b=-2a

所以〈22解得：。=±1，

?-a~=0

所以Z為實(shí)數(shù)的一個充分條件是α=l.

故選：B

7.(2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Z與(Z+2),8i都是純虛數(shù)，則Z的共輾復(fù)數(shù)為()

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】D

【解析】設(shè)Z=加,bH0,則(Z+2)2+8i=(?i+2)2+8i=4+4?i+?2i2÷8i

=4一從+(4b+8)i為純虛數(shù)，則有：解得：b=2,

4?+8≠0

故z=2i,則Z=-2i-

故選：D.

8.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=」+也i,則L5等于（）.

22Z

A.—1B.0C.—?/?iD.-1—?/?i

【答案】D

.,?_2_2(-1-Gi)__2-2√?_1√3.

【解析】因?yàn)閦=」+.iiin

'z^-l+√3i-(-i√3i)(-i-√3i)-4^22'

22+

Z=i,

"2"^2^

所以，+彳=T_后,

Z

故選：D

9.（2。23.江蘇宿遷.江蘇省沐陽高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）當(dāng)0時，不等式x+±≥α恒成立，則實(shí)數(shù).

的取值范圍是（）

A.{a?a≤2}B.{a?a≥2}

C.{a?a≥3}D.{a?a≤3]

【答案】D

【解析】因?yàn)閤〉l,所以x—1>0,

所以x+-?=x-l+J-+l≥2+l=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號，

x-1x-l

故x的最小值為3.

X-I

因?yàn)楫?dāng)x>l時，不等式x+J-≥4恒成立，

x-?

所以4≤3.

故選：D.

10.（2023?江蘇常州?江蘇省前黃高級中學(xué)?？家荒＃┫铝忻}為真命題的是（）

A.若a>b,貝?。荨?>602B.若α<b<0,貝!）/eɑbv/

C.若c>α>b>0,則a<-D.若α>b>c>O,則@“十0

c—ac-bbb+c

【答案】D

【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)C=O時，顯然不成立，故A選項(xiàng)為假命題；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)。=-3/=一2時，滿足α<8<0,但q2<t?<Z?不滿足，故B選項(xiàng)為假命題:

對于C選項(xiàng)，當(dāng)c=3,4=2,b=l時，==不滿足，故C選項(xiàng)為假命題;

c-a3-2c-b2

對于D選項(xiàng)，由于αX>c>O,所以/產(chǎn)=坐察TL鏟?=骼普>。，

hb+cb[b+c)b[b+c)h(b+c)

即故D選項(xiàng)為真命題.

bb+c

故選：D.

11.(2023?江蘇南京?模擬預(yù)測)設(shè)。、b均為非零實(shí)數(shù)且α<b,則下列結(jié)論中正確的是()

A.—>丁B.a1<b1C.-2<TTD.cr,<Z?3

abcrb

【答案】D

【解析】對于A,取〃=T,人=1,則A錯誤；

ab

對于B,取。=—1,?=1,則/=序，B錯誤；

對于C,取。=一1,b=lt則A='，C錯誤；

13

對于D,因α<),則。3-α3=s-α)g2+4b+42)=s-4)κb+-4+—∕]>o,即/<氏D正確.

24

故選：D

12.(2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測)當(dāng)XeR時，不等式f-2x-l-α≥O恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.(-∞,-2]B.(YO,-2)

C.(-∞,0]D.(-∞,0)

【答案】A

【解析】由題意，當(dāng)XeR時，不等式/-2x-l-α≥0恒成立，

故A=(-2y+4(l+”)≤0

解得4≤-2

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(→^,-2]

故選：A

13.(2023?江蘇?校聯(lián)考一模)已知x>0,y>O,且x+3y='-?!?,則y的最大值為()

yX

A.1B.?-C.2D.-

【答案】D

【解析】x+3y='-1,x+1='_3y,

yXXy

又x>0,所以x+1=，_3y22,

Xy

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立，

y>0,3√+2γ-1≤0,

所以

故選：D.

二、多選題

14.（2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）若復(fù)數(shù)Z滿足：zR+2i）=8+6i,則（）

A.z的實(shí)部為3B.z的虛部為1

C.zz=√10D.Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

【答案】ABD

【解析】設(shè)z=α+歷（a,b∈R）,因?yàn)閦0+2i）=8+6i,所以Q+2iz=8+6i,所以）+2zi=8+6i,

所以/+〃一勸=8，%=6,所以α=3,b=l,所以z=3+i,所以Z的實(shí)部為3,虛部為1,故A,B正確；

Zl=IZ「=10,故C不正確；Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)（3,1）位于第--象限，故D正確.

故選:ABD.

15?（2023?江蘇常州?常州高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)z/,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，z/對.下列命題中正確的是（）

A.若∣Z2∣=∣Z3∣,則Z2=±Z3B.若Z∕Z2=Z∕Z3,則Z2=Z3

C.若Z2=Z3,則∣Z∕Z2∣=∣Z∕Z3∣D.若Z∕Z2=∣Z后則z∕=Z2

【答案】BC

【解析】A：由復(fù)數(shù)模的概念可知，上卜㈤不能得到Z2=±Z3,例如Z2=l+i,Z3=lτ?,A錯誤；

B：由Z∣Z2=Z∣Z3可得4卜2-Z3）=0,因?yàn)閆lH0,所以Z2-Z3=O,即Z2=Z3,B正確；

2-ZZZZZ

C:若7=Z3,貝∣JZ2=Z3,（I）（）（I）（I）

W∣Z∣Z2∣I∣?Γ=?∣22-??'

又Zk0,則|平2『-|平3|2=0,故∣Z∣Z2∣?∣,故C正確;

D:IRzl=l+z,Z2=l-i,顯然滿足乎2=上/，但4≠Z2,D錯誤.

故選：BC.

16.（2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知〃g糖水中含有αg糖（6>a>0）,若再添加mg糖完全溶解在其中，則

糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據(jù)這個事實(shí)，下列不等式中一定成立的有（）

a-?-ma+ma+2"

B.-------<---------

?-Γh+mb+m?+2w

21

C.(a+2m)(fe+m)<(6r+∕w)(Z?+2m)D.

3〃_]F7

【答案】ABD

∩a+m

【解析】對于A,由題意可知￡<產(chǎn),正確；

bb+m

Ti-a+ma+m+Tl-tn=絲之，正確：

對于B因U1Λ為相<2'〃，所pcr以l-----<--------------

9b+tnb+ιn+2m-m?+2m

a+ma+m+ma+2m(

對于C,-----<---------=-------即clnIa+∕n)(?+2m)<(a+2ni)[b+∕n),錯誤;

b+mb+m+mb+2nι

22+1_3_11

對于D,———<「，正確.

3〃一13Λ-1+1-3Γ-3ΓΓF

故選：ABD

17.（2023?江蘇南京?一模）若“<b<0,則下列不等式恒成立的是（）

【答案】AC

11a-（a-b]b1I

【解析】對于A選項(xiàng)，由于人<0,故。一。<0,所以一L=~~ττ<0,即」<乙,故A

a-baaJ[a-b）a?a-b）a-τba

選項(xiàng)正確;

11也I-Iala-b<0,故百命,故B選項(xiàng)錯誤;

對于B選項(xiàng)，由于故。一人<0,j—∣-τr∣=I∣∣,∣=Γ7∏J

?a?例?a??b??a??b?

對于C選項(xiàng)，因?yàn)棣?lt;人<0,故O>—>:,所以O(shè)>b+，〉〃+：,所以(a+，]>[/?+，],故C選項(xiàng)正確;

ahab?b)?a)

對于D選項(xiàng),令〃=-2/=-1，則a+，=/?+?=-1?,所以>[∕7+?l]不成立,故D選項(xiàng)錯誤；

2ah2?a)?b)

故選:AC

18.(2023?江蘇南通?一模)已知。〉0,〃>0,〃+/?=C出則()

A.∏+2?≥3+2√2B.2Λ+2Λ≥8

C.cιbH----≥5d

ab?5*0

【答案】ABD

【解析】對于A,因?yàn)椤?6=。人，所以,+；=1,

ab

從而4+26=(4+3)([+1]=3+絲+建3+2但.3=3+20,正確.

?ab)ab?ab

對于B,因?yàn)?∕j≤(誓)，所以”+∕,≤(號J,解得α+b≥4,

所以2"+2"≥2,2"?2"=2y∣^≥2亞=8,正確.

對于C,令必=r(r≥4),/?)=/+；,在［1,+8)為增函數(shù)，

17I17

所以/(f)在［4,*x>)上單調(diào)遞增，從而ft"?,即必+B≥=,錯誤.

對于D,因?yàn)?、=?+：方)≤2(?!?+()=2,所以正確.

故選：ABD

三、填空題

19.(2023?江蘇常州?華羅庚中學(xué)校聯(lián)考三模)已知復(fù)數(shù)z=［為，則z?W=

【答案】>0,25

【解析】Z=羋，"

(l-√3i)(l+√3i)444164

故答案沏?

20.(2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，若(2-i)z=α-6i(其中i為虛數(shù)單位)，則

實(shí)數(shù)”的值為

【答案】-3

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，所以設(shè)z=6ig≠0),

h=a

由(2-i)z=a-6i=>(2-i)?2i=α-6i=>2Z?i+Z?=a-6i=>≡>a=b=-3

2?=-6

故答案為：-3

21.(20123?江蘇淮安?統(tǒng)考一模)在R上定義新運(yùn)算區(qū)：xθ?=x(l-y).若不等式(x-a)位(x+α)<l對

WXeR恒成立，則a的取值范圍是

?3

【答案】

2,2

【解析】不等式Q-a)<S>(x+q)<l對任意實(shí)數(shù)X恒成立,

即為(x—a)(1—x-α)<l,

化筒得V-x-T+q+bO在R上恒成立，

則判別式△<(),即I-4(-∕+α+l)<0,

即有4α2-4a-