考點(diǎn)突破練11直線(xiàn)與圓

一、必備知識(shí)夯實(shí)練

1.（2023浙江溫州三模）已知直線(xiàn)/i：x+y=0,/2：ax+by+l=0,若則a+h=（）

A.-lB.OC.lD.2

2.（2023河北張家口二模）已知點(diǎn)P（xo,州）為圓C:/+y2=2上的動(dòng)點(diǎn),則直線(xiàn)/:如:-沖=2與圓C的位置

關(guān)系為（）

A.相交B.相離

C.相切D.相切或相交

3.（2023廣東梅州二模）若直線(xiàn)/sx+〃y+m=0將圓C:（x-2）2+V=4分成弧長(zhǎng)之比為2；1的兩部分，則直

線(xiàn)的斜率為（）

A.理B.士等C.理D.若

4.（2023全國(guó)乙，文11）己知北），滿(mǎn)足則x-y的最大值是（）

A.1+苧B.4C.1+3V2D.7

5.（2023山東濰坊模擬）若點(diǎn)M是圓<7:$+/4工=0上的任一點(diǎn)，直線(xiàn)/:x+y+2=0與x軸、y軸分別相交

于A,B兩點(diǎn)，則NMA8的最小值為（）

A-三12%R-

c-D-

V，3,6

6.（2023山東濟(jì)寧二模）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)尸（3,0）作圓O:（x-l）2+（y-2V3）2=4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)

分別為A,B,則直線(xiàn)AB的方程為（）

A.x-V3>,+3=0B.x+V^y+3=0

C.V3x-y+3=0D.y/3x+y+3=0

7.（多諉題）（2023廣東惠州模擬）已知直線(xiàn)/依-）4=0與圓忙『+）2一4六2》+1=0,則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）

B.圓M的圓心坐標(biāo)為（2,1）

C.存在實(shí)數(shù)k,使得直線(xiàn)/與圓M相切

D.若％=1,直線(xiàn)/被圓M截得的弦長(zhǎng)為2

8.（2023新高考/,6）過(guò)（0,-2）與圓/+產(chǎn)4『1=0相切的兩條直線(xiàn)的夾角為a,則sina=（）

A.lB.早

4

c.坐D當(dāng)

44

9.（2023福建莆田模擬）寫(xiě)出一個(gè)被直線(xiàn)x-y=0平分且與直線(xiàn)x+y=0相切的圓的方程:一

10.（2023江蘇南京師大附中一模）過(guò)點(diǎn)P（3,-2）且與圓C:x2+V-2x-4y+l=0相切的直線(xiàn)方程

為.

二、關(guān)鍵能力提升練

11.（2023廣東深圳中學(xué)模擬）若圓（X/）2+G，-3）2=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)2x-y+l=0的距離為y,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）

A.S羊13嗚17,+8）

R11317、

C.（-8,￡3）UG7+8）

37

%，5）

12.（2023四川德陽(yáng)模擬）唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句是“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交

河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬''問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?/p>

若將軍從點(diǎn)尸（-1,-2）處出發(fā)，河岸線(xiàn)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程為x+y=2,并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在

區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”問(wèn)題中的最短總路程為（）

A.6B.5C.4D.3

13.（多選題）已知圓d+yhy+BuO,一條光線(xiàn)從點(diǎn)尸（2,1）射出經(jīng)X軸反射，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圓的方程為/+9+4），+3=0

B.若反射光線(xiàn)平分圓C的周長(zhǎng)，則入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為3/2廣4=0

C.若反射光線(xiàn)與圓C相切于點(diǎn)A,與x軸相交于點(diǎn)比則|P3|+|8A|=2

D.若反射光線(xiàn)與圓C交于兩點(diǎn)，則△CNM面積的最大值為:

14.（多選題）（2023浙江杭州、寧波4月聯(lián)考）已知圓是直線(xiàn)/:x-y+2=0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作

圓。的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為MN,則（）

A.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

B.|A/N|的最小值為四

C.點(diǎn)（2,0）到直線(xiàn)MN的距離的最大值為|

D./MPN是銳角

15.（2023河南商丘模擬）已知圓G：f+（>2）2=5,圓C2過(guò)點(diǎn)（2,-1）且與圓G相切于點(diǎn)（2,1）,則圓C2的方

程為.

16.（2023山東淄博一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（3,l）,直線(xiàn)y=fcc+分與圓/+^=10交于MN兩

點(diǎn)，若△PMN為正三角形,則實(shí)數(shù)h=.

三、核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

17.（2023河北邯鄲一模）已知點(diǎn)A（0,0），仇6,0）,符合點(diǎn)A,B到直線(xiàn)/的距離分別為1,3的直線(xiàn)方程

為.（寫(xiě)出一條即可）

18.（2023廣東深圳一模）設(shè)a>0,A（2a,0）,B（0,2）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以0A為弦，且與AB相切于點(diǎn)A的圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若該圓與以。8為直徑的圓相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P,則點(diǎn)P橫

坐標(biāo)x的最大值為

考點(diǎn)突破練11直線(xiàn)與圓

1.B解析因?yàn)橹本€(xiàn)/i：x+y=0,/2：or+8y+l=0,且/」/2,則1?。+1,0=0,所以a+b=0.

2.C解析由題意可得或+yl=2,則圓心C到直線(xiàn)/的距離〃=4==條=魚(yú),所以直線(xiàn)和圓

網(wǎng)+羽

相切.

3.D解析如圖冷直線(xiàn)/與圓C交于點(diǎn)A,8,依題意,NAC8=120°,而圓C的圓心C(2,0),半徑

r=2,NABC=30°，因此點(diǎn)C到直線(xiàn)/的距離4=rsin30°=1,于是叫5=1,

Vm2+n2

KLy

整理得n=±2y[2m,

所以直線(xiàn)，的斜率仁%岑_

4.C解析(方法一)由父+產(chǎn)4犬-2)，-4=0,得(x-2)2+(y-l)2=9,該方程表示圓心為(2,1),半徑為3的圓.

設(shè)x-y=〃，則x-y-〃=(),且由題意知直線(xiàn)x-y-u-0與圓(x-2)2+(y-l)2=9有公共點(diǎn)，貝(詈W3,解得1-

3夜所以x-y的最大值為1+3也

(方法二)由工2+9一4》-2)，-4=0,得O2)2+(y-l)2=9,令｛；]技甯，OW6?<27t,

所以x-y=l+3cos9-3sin9=1+3V^cos(?+》,當(dāng)cos(6+》=l時(shí),x-y的最大值為1+3A/^.故選C.

44

5.A解析如圖，直線(xiàn)/的斜率為-1,傾斜角為與，故/Q4B=/圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+V=4,圓心

為C(2,0),半徑為r=2.易知直線(xiàn)/交x軸于點(diǎn)A(-2,0),所以|AC|=4.

由圖可知,當(dāng)直線(xiàn)AM與圓C相切，且切點(diǎn)位于x軸下方時(shí),NMA8取最小值.由圓的幾何性質(zhì)可

知CMJ_AM且|CM=2=：|AC|,則/CAM=J.

Zo

故/團(tuán)43》NOA8[=H=A

64612

2

6.A解析圓O:(x-l)2+(y-2V3)=4的圓心為0(1,2b),半徑為2,P0的中點(diǎn)坐標(biāo)為

N(2,遮),|PO|=J(3-1)2+(2遮-0)2=4,則以N為圓心,P。為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y-、/5)2=4.

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(3,0)作圓O:(x-l)2+(y-2V3)=4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,民所以A3是兩圓的公共

弦，將兩圓的方程相減可得公共弦48所在直線(xiàn)的方程為x-同+3=0.

7.AB解析直線(xiàn)/依-9=0變形為y=Z(x-l),故直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)(1,0),故A正確；

圓M:.r+/-4x-2y+l=0變形為(x-2)2+0-1)2=4,圓心坐標(biāo)為(2,1),故B正確；

令圓心(2,1)到直線(xiàn)/:fcv-y-k=0的距離華坦=2,整理得3公+2k+3=0,由/=4-36=-32<0可得，方程

府

無(wú)解,故不存在實(shí)數(shù)上使得直線(xiàn)1與圓M相切，故C錯(cuò)誤；

若&=1,則直線(xiàn)2的方程為*>1=0,圓心(2,1)在直線(xiàn)/“.1=0上,故直線(xiàn)/被圓M截得的弦長(zhǎng)為直

徑4,故D錯(cuò)誤.

故選AB.

8.B解析由f+)，2-4x-l=0,得(x-2)2+y2=5,故圓心C(2,0),半徑R=逐.

過(guò)點(diǎn)。(0,-2)作圓的切線(xiàn)，與圓的兩個(gè)切點(diǎn)為4,8,連接4仁5。,8,4民

則ABVCD,ZCAD=ZCBD=^,ZADC=ZBDC=^,

由幾何知識(shí)得,|30=八。=遮,|67)|=小0-2)2+(20)2=2近.

由勾股定理得,|AD|=|B￡)|=J|CD|2-R2=73.

a\BD\V3V6.a\BC\V5V10

c°S5=9=加=彳對(duì)叼=而=派=丁，

a八x/TOV6V15、生c

si.na=2.s.mTaCOST=2x——x—=一^.故選B.

22444

9.(x-l)2+(y-l)2=2(答案不唯一)解析由題意可知，圓心過(guò)直線(xiàn)x-y=0,不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為(1,1),半

徑為r.

又因?yàn)閳A心(1,1)到直線(xiàn)x+y=0的距離=V^=r，所以(x-l/+(y-l)2=2符合題意.

Jl2+12

10.x=3或3x+4y-l=0解析將圓C方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。-1尸+(卜2)2=4,得圓心C(l,2),半徑為

r=2.

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(3,-2)的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x=3,是圓C的切線(xiàn)，滿(mǎn)足題意;當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(3,-2)的

直線(xiàn)斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為y+2=k(x-3),即丘-y-3h2=0,利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得

畢生=2,解得&=2即此直線(xiàn)方程為3x+4y-l=0.

M+i

綜上，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)方程為x=3或3x+4y-1=0.

11.D解析因?yàn)閳A的方程為(x-a/+(y-3)2=20,所以圓心為(4,3),半徑為2代.又圓(x-a)2+(y-3)2=20

上有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)2x-y+1=0的距離為遙，所以圓心到直線(xiàn)2x-y+1=0的距離遮,所以等<

圾即|2a-2|<5,得-沁<今

(叁+以=2

12.C解析如圖，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x+y=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(x,y),則匕22，解得匕二:'即

L+1’

2(4,3),

所以10。|=<42+32=5,則“將軍飲馬”問(wèn)題中的最短總路程為IOQ-1=5-1=4.

13.ABD解析對(duì)于A,由圓C方程可得/+(廣2尸=1,故圓心C(0,2),半徑r=l,

...圓C關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的圓的圓心為。(0,-2),半徑為1,

...所求圓的方程為*+任+2尸=1,即f+y2+4y+3=0,故A正確；

對(duì)于B「.?反射光線(xiàn)平分圓C的周長(zhǎng),.?.反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心C(0,2),.?.入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

C'(0,-2),

?*-kcp=^=?,??.入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為y+2=|x,即3x-2y-4=0,故B正確；

對(duì)于C「.?反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,l)關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,(2,-l),

.?.|P3|+|B4|=|P3|+|BA|=|尸A|,又尸4|=6^7=2四,二|P8|+山川=2遮,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)/CMN=0(0<6><》則圓心C(0,2)到直線(xiàn)MN的距離gsin0,：.|W|=2Vl-sin20=2cos

0,

5ACMW=1|A7A^|?J=sin6cos0=^sin26,

則當(dāng)。三時(shí)，⑸加的三,故D正確.故選ABD.

22

14.AB解析設(shè)P(xo,xo+2),則以O(shè)P為直徑的圓的方程為(X-自)2+(y-竽尸=①±!普_，化簡(jiǎn)

得x2-xox-(xo+2)^+y2=O,

與f+y2=l聯(lián)立，可得MN所在直線(xiàn)方程為x()x+(xo+2)y=l,即xo(x+y)+2y-l=0,

故可知直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)(§,},故A正確；

點(diǎn)。到過(guò)定點(diǎn)《點(diǎn)的直線(xiàn)"N距離的最大值為J(-j-0)2+(i-0)2=享|MV|min=2xjl-(苧j=

或，故|MN|的最小值為VI,故B正確；

當(dāng)點(diǎn)(2,0)與定點(diǎn)}的連線(xiàn)與直線(xiàn)MN垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)(2,0)到直線(xiàn)MN的距離最大，且最大值為

J(-|-2)2+(r0)2=亨，故c錯(cuò)誤；

圓心O到直線(xiàn)/的距離為備=&，由于NMPN=2NMP0,在直角三角形OPM中,sinZ

柱0=也=上

\OP\|0P「

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到滿(mǎn)足0PL時(shí)，此時(shí)|。尸|最小,NMP。最大，此時(shí)sinZMPO=~,ZMPO=45°,Z

MPN=90°,故D錯(cuò)誤.故選AB.

15.(x-4)2+V=5解析如圖，過(guò)點(diǎn)(0,2)和(2,1)的直線(xiàn)方程為x+2y-4=0,以點(diǎn)(2,-1)和點(diǎn)(2,1)為端點(diǎn)

的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為y=0.

由=。’得C2(4,0),則圓C2的半徑r=V2^TP=遮,所以圓C2的方程為(x-4)2+y2=5-

16.-5蓊析由題意可知點(diǎn)P(3,l)在圓上，如圖.設(shè)MV的中點(diǎn)為H,連接PH,因?yàn)闉檎?/p>

形，所以P”過(guò)點(diǎn)。，且PHA.MN,

則直線(xiàn)MN的斜率k=-^—=-3,y=kx+b即為y=-3x+b.

k0P

因?yàn)閄PMN為正三角形，所以點(diǎn)。為4PMN的中心，由中心及重心性質(zhì)知,|O，|=等=當(dāng)，故

儡=孚，解得公土5.結(jié)合點(diǎn)P(3,l)在圓上，△/徹N是圓的內(nèi)接正三角形，可知6<0,即b=-5.

vl+9Z

17.X+2為+3=0或x-2V2y+3=0或2x+宿-3=()或24通卜3=0(寫(xiě)出一條即可)解析由題意可

知直線(xiàn)/是圓產(chǎn)+丁=1與圓(心6)2+9=9的公切線(xiàn)，

因?yàn)閮蓤A外離，所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)/有四條,如圖.

當(dāng)直線(xiàn)/位于直線(xiàn)W2位置時(shí)，由幾何性質(zhì)(相似三角形的性質(zhì))易知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(-3,0).

設(shè)直線(xiàn)/的方程為x=/wy-3,則~^=亍=1,解得機(jī)=土2企,此時(shí)直線(xiàn)/的方程為x+2&y+3=0或x-

2&)，+3=0.當(dāng)直線(xiàn)/位于直線(xiàn)，3,，4位置時(shí)油幾何性質(zhì)(相似三角形的性質(zhì))易知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(|,0),