模塊復習課第4課時利用向量解決平行與垂直、夾角問題課后篇鞏固提升基礎鞏固1.已知向量a=(x,2,1),b=(2,4,2),如果a∥b,那么x等于()A.1 B.1 C.5 D.5解析∵向量a=(x,2,1),b=(2,4,2),a∥b,∴x2解得x=1.故選B.答案B2.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=(A.3 B.2C.2 D.3解析由BC=AC-AB=(1,t3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,則BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·(1,0)答案C3.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點M,N分別是面對角線A1B與B1D1的中點,若DA=a,DC=b,DD1=c,則MN=(A.12(c+ba) B.12(a+bC.12(ac) D.12(c解析在正方體ABCDA1B1C1D1中,∵點M,N分別是面對角線A1B與B1D1的中點,DA=a,DC=b,DD1=∴MN=12(A1=12(c+b)+c+12(a=12a+12c=12(ca),答案D4.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,N是棱AD的中點,M是棱CC1上的點,且CC1=3CM,則直線BM與B1N所成的角的余弦值是()A.105 B.2515 C.10解析以D為坐標原點,以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設N32,0,0,B(3,3,0),M(0,3,1),B1(3,3,3),BM=(3,0,1),B1N=32,3,3.cos<BM,B1N>=B答案D5.已知點A(m,2,n),點B(5,6,24)和向量a=(3,4,12),且AB∥a,則點A的坐標為.

解析∵A(m,2,n),B(5,6,24),∴AB=(5m,8,24n).又向量a=(3,4,12),且AB∥a,∴AB=λa,即-解得λ=2,m=1,n=0,∴點A的坐標為(1,2,0).答案(1,2,0)6.在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關系是解析∵正方體棱長為a,A1M=AN=2a∴MB=∴MN=23(A1=23又CD是平面B1BCC1的法向量,∴MN·CD=∴MN⊥又MN?平面B1BCC1,∴MN∥平面B1BCC1.答案平行7.在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則BD·AE=解析∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,BD·AE=(BA+AD)=BA=12+23×2×cos30°+5×23×cos30°+5×2×cos180°=22+6+15=1.答案18.如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,∠BAA1=45°,平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.(1)求證:AA1⊥BC;(2)若BB1=2AB=2,直線BC與平面ABB1A1所成角為45°,D為CC1的中點,求二面角B1A1DC1的余弦值.(1)證明過點C作CO⊥AA1,垂足為O,因為平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,所以CO⊥平面AA1B1B,故CO⊥OB.又因為CA=CB,CO=CO,∠COA=∠COB=90°,所以Rt△AOC≌Rt△BOC,故OA=OB.因為∠A1AB=45°,所以AA1⊥OB.又因為AA1⊥CO,所以AA1⊥平面BOC,故AA1⊥BC.(2)解以O為坐標原點,OA,OB,OC所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,因為CO⊥平面AA1B1B,所以∠CBO是直線BC與平面AA1B1B所成角,故∠CBO=45°,所以AB=2,AO=BO=CO=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),A1(1,0,0),B1(2,1,0),D(1,0,1),設平面A1B1D的法向量為n=(x1,y1,z1),則n·A令x1=1,得n=(1,1,0),因為OB⊥平面AA1C1C,所以OB為平面A1C1D的一條法向量,OB=(0,1,0),cos<n,OB>=n·所以二面角B1A1DC1的余弦值為229.如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求證:BF∥平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角EBDF的余弦值為13,求線段CF的長(1)證明依題意,可以建立以A為原點,分別以AB,AD,AE的方向為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設CF=h(h>0),則F依題意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因為直線BF?平面ADE,所以BF∥平面(2)解依題意,BD=(1,1,0),BE=(1,0,2),CE=(1,2,2).設n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則n不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos<CE,n>=CE·n|所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49(3)解設m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,則m即-不妨令y=1,可得m=1,1,2h.由題意,有|cos<m,n>|=|m·n||m||n|所以,線段CF的長為87能力提升1.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點M在AC1上且AM=12MC1,N為B1B的中點,則|A.216a B.6C.156a D.15解析以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,設M(x,y,z),∵點M在AC1上且AM=∴(xa,y,z)=12(x,ay,az)∴x=23a,y=a3,z=∴M2a∴|MN|=a=216a答案A2.已知ABCDA1B1C1D1為正方體,則二面角BA1C1A的余弦值為()A.23 B.22 C.63解析以D為原點,直線DA為x軸,直線DC為y軸,直線DD1為z軸,建立空間直角坐標系.設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,則A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),A1C1=(1,1,0),A1A=(0,0,1),設平面A1C1A的法向量n=(x,y,z),則n取x=1,得n=(1,1,0).設平面A1C1B的法向量m=(a,b,c),則m取a=1,得m=(1,1,1).設二面角BA1C1A的平面角為θ,則cosθ=|m∴二面角BA1C1A的余弦值為63故選C.答案C3.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,設AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點,則B1C與A1P所成角的大小為解析以D為坐標原點,以DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間坐標系,如圖所示.∵AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點,∴B1(1,2,1),C(0,2,0),A1(1,0,1),P(0,1,1).∴B1C=(1,0,1),A1P∴B1C·A1P=1+0+0=1,|B1C設B1C與∴cosθ=12∴θ=60°.答案60°14.已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等,M為A1C1的中點,N為BB1的中點,則直線CM與AN所成的角的余弦值為.

解析以A為原點,在平面ABC內過A作AC的垂線為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,設正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2,則C(0,2,0),M(0,1,2),A(0,0,0),N(3,1,1),CM=(0,1,2),AN=(3,1,1),設直線CM與AN所成的角為θ,則cosθ=|CM·AN||CM||AN|=15答案15.在四面體PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設PA=PB=PC=a,則點P到平面ABC的距離為.

解析根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標系Pxyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).過點P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于點H,則PH的長即為點P到平面ABC的距離.∵PA=PB=PC,∴H為△ABC的外心.又∵△ABC為正三角形,∴H為△ABC的重心,可得H點的坐標為a3∴PH=a3-∴點P到平面ABC的距離為33a答案336.如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=23,DPAD=60°,AB⊥平面PAD,點M在棱PC上.(1)求證:平面PAB⊥平面PCD;(2)若直線PA∥平面MBD,求此時直線BP與平面MBD所成角的正弦值.解(1)證明:因為AB⊥平面PAD,所以AB⊥DP.又因為DP=23,AP=2,∠PAD=60°,由PDsin∠PAD=PAsin∠所以∠PDA=30°,所以∠APD=90°,即DP⊥AP,因為AB∩AP=A,所以DP⊥平面PAB,因為DP?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(2)由AB⊥平面PAD,以點A為坐標原點,在平面PAD中,過點A作AD的垂線為x軸,AD,AB所在直線分別為y軸、z軸,如圖所示建立空間直角坐標系.其中A(0,0,0),B(0,0,1),C(0,4,3),D(0,4,0),P(3,1,0).從而BD=(0,4,1),AP=(3,1,0),PC=(3,3,3),設PM=λPC,從而得M(3(1λ),3λ+1,3λ),BM=(3(1λ),3λ+1,3λ1),設平面MBD的法向量為n=(x,y,z),若直線PA∥平面MBD,滿足n即3得λ=14,取n=(3,3,且BP=(3,1,1),直線BP與平面MBD所成角的正弦值sinθ=|n7.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°,AB=3,AD=23,AP=3.(1)求證:平面PCA⊥平面PCD;(2)設E為側棱PC上的一點,若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角EABD的余弦值.解(1)證明:在平行四邊形ABCD中,∠ADC=60°,CD=3,AD=23,由余弦定理得AC2=AD2+CD22AD·CDcos∠ADC=12+32×23×3×cos60°∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,即CD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,∴PA⊥CD.又AC∩CD=C,∴CD⊥平面PCA.又CD?平面PCD,∴平面PCA⊥平面PCD.(2)如圖,以A為坐標原點,AB,AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.則A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(3,3,0),P(0,0,3).設E(x,y,z),PE=λPC(0≤λ≤1),則(x,y,z3)=λ(0,3