PAGE1PAGE1天津大學(xué)2011-2012學(xué)年度第二學(xué)期線性代數(shù)期末評分標(biāo)準(zhǔn)及參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．3階行列式中元素的代數(shù)余子式（C）A． B． C．1 D．2．2．設(shè)，，，，則（A）A． B． C． D．．3．設(shè)階可逆矩陣、、滿足，則（D）A． B． C． D．由，得，．4．設(shè)3階矩陣，則的秩為（B）A．0 B．1 C．2 D．3，的秩為1．5．設(shè)是一個(gè)4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（C）A．1 B．2 C．3 D．4是的極大無關(guān)組，的秩為3．6．設(shè)向量組線性相關(guān)，則向量組中（A）A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合D．每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合7．設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（B）A． B．C． D．只有線性無關(guān)，可以作為基礎(chǔ)解系．8．若2階矩陣相似于，為2階單位矩陣，則與相似的是（C）A． B． C． D．與相似，則，，即與相似．9．設(shè)實(shí)對稱矩陣，則3元二次型的規(guī)范形為（D）A． B． C． D．，規(guī)范形為．10．若3階實(shí)對稱矩陣是正定矩陣，則的正慣性指數(shù)為（D）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．已知3階行列式，則_______________．，．12．設(shè)3階行列式的第2列元素分別為，對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為，則_______________．．13．設(shè)，則_______________．．14．設(shè)為2階矩陣，將的第2列的（）倍加到第1列得到，則_____．將的第2列的2倍加到第1列可得．15．設(shè)3階矩陣，則_______________．，．16．設(shè)向量組，，線性相關(guān)，則數(shù)___________．，．17．已知，是3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，則對應(yīng)齊次線性方程組有一個(gè)非零解向量_______________．（或它的非零倍數(shù)）．18．設(shè)2階實(shí)對稱矩陣的特征值為，它們對應(yīng)的特征向量分別為，，則數(shù)______________．和屬于不同的特征值，所以它們是正交的，即，即，．19．已知3階矩陣的特征值為，且矩陣與相似，則_______________．的特征值為，．20．二次型的矩陣_______________．，．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．已知3階行列式中元素的代數(shù)余子式，求元素的代數(shù)余子式的值．解：由，得，所以．22．已知矩陣，，矩陣滿足，求．解：由，得，于是．23．求向量組，，，的一個(gè)極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表出．解：，是一個(gè)極大線性無關(guān)組，．24．設(shè)3元齊次線性方程組，（1）確定當(dāng)為何值時(shí)，方程組有非零解；（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解． 解：（1），或時(shí)，方程組有非零解；（2）時(shí)，，，基礎(chǔ)解系為，全部解為，為任意實(shí)數(shù)；時(shí)，，，基礎(chǔ)解系為，，全部解為，為任意實(shí)數(shù)．25．設(shè)矩陣，（1）判定是否可與對角矩陣相似，說明理由；（2）若可與對角矩陣相似，求對角矩陣和可逆矩陣，使．解：（1），特征值，．對于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，；對于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為．3階矩陣有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以相似于對角陣；（2）令，，則是可逆矩陣，使得．26．設(shè)3元二次型，求正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．解：二次型的矩陣為．，特征值，，．對于，解齊次線性方程組：，，，單位化為；對于，解齊次線性方程組：，，，單位化為；對于，解齊次線性方程組：，，，單位化為