二次函數(shù)的基本性質(zhì)與圖像目錄二次函數(shù)基本概念二次函數(shù)圖像特征二次函數(shù)性質(zhì)分析二次函數(shù)圖像變換二次函數(shù)應(yīng)用舉例總結(jié)與拓展01二次函數(shù)基本概念Chapter二次函數(shù)是形如$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$aneq0$）的函數(shù)。二次函數(shù)的一般表達式為$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$為常數(shù)，且$aneq0$。定義與表達式表達式定義$b$決定對稱軸位置對稱軸為直線$x=-frac{2a}$。$c$決定與$y$軸交點拋物線與$y$軸交于點$(0,c)$。$a$決定開口方向當(dāng)$a>0$時，拋物線開口向上；當(dāng)$a<0$時，拋物線開口向下。系數(shù)與圖像關(guān)系01判別式$Delta=b^2-4ac$：用于判斷二次方程的根的情況。020304當(dāng)$Delta>0$時，方程有兩個不相等的實根。當(dāng)$Delta=0$時，方程有兩個相等的實根（即一個重根）。當(dāng)$Delta<0$時，方程無實根，但有兩個共軛復(fù)根。判別式與根的關(guān)系02二次函數(shù)圖像特征Chapter開口方向當(dāng)二次項系數(shù)$a>0$時，拋物線開口向上；當(dāng)$a<0$時，拋物線開口向下。頂點位置對于一般形式的二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，其頂點坐標(biāo)為$(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a})$。頂點在拋物線上，且為拋物線的最值點。開口方向與頂點位置對于一般形式的二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，其對稱軸為直線$x=-frac{2a}$。對稱軸是拋物線的一條重要性質(zhì)，拋物線上任意一點關(guān)于對稱軸的對稱點也在拋物線上。對于標(biāo)準(zhǔn)形式的二次函數(shù)$y=a(x-h)^2+k$，其對稱中心為點$(h,k)$。對稱中心是拋物線的中心點，具有旋轉(zhuǎn)對稱性。對稱軸對稱中心對稱軸與對稱中心與$x$軸交點令$y=0$，解方程$ax^2+bx+c=0$，得到拋物線與$x$軸的交點坐標(biāo)。交點個數(shù)取決于判別式$Delta=b^2-4ac$的值。當(dāng)$Delta>0$時，有兩個交點；當(dāng)$Delta=0$時，有一個交點（即重根）；當(dāng)$Delta<0$時，無交點。與$y$軸交點令$x=0$，得到拋物線與$y$軸的交點坐標(biāo)為$(0,c)$。這個交點是拋物線在$y$軸上的截距。與坐標(biāo)軸交點情況03二次函數(shù)性質(zhì)分析Chapter0102單調(diào)性在對稱軸右側(cè)，二次函數(shù)是單調(diào)遞減的。在對稱軸左側(cè)，二次函數(shù)是單調(diào)遞增的；奇偶性當(dāng)二次函數(shù)的對稱軸是y軸時，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)二次函數(shù)的對稱軸不是y軸時，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。二次函數(shù)不具有周期性。因為對于任何非零實數(shù)T，二次函數(shù)f(x)與f(x+T)并不相等。周期性04二次函數(shù)圖像變換Chapter平移量平移量由函數(shù)中的常數(shù)項決定，沿x軸平移時，常數(shù)項改變的是圖像的左右位置；沿y軸平移時，常數(shù)項改變的是圖像的上下位置。平移方向二次函數(shù)的圖像可以沿x軸或y軸進行平移。平移后的函數(shù)形式對于形如y=ax^2+bx+c的二次函數(shù)，當(dāng)沿x軸平移h個單位，沿y軸平移k個單位后，新的函數(shù)形式為y=a(x-h)^2+k。平移變換二次函數(shù)的圖像可以沿x軸或y軸進行伸縮。伸縮方向伸縮系數(shù)由函數(shù)中的a值決定，當(dāng)a>1時，圖像沿y軸方向拉伸；當(dāng)0<a<1時，圖像沿y軸方向壓縮；當(dāng)a<0時，圖像沿x軸方向翻轉(zhuǎn)并拉伸或壓縮。伸縮系數(shù)對于形如y=ax^2的二次函數(shù)，當(dāng)沿y軸伸縮n倍后，新的函數(shù)形式為y=nax^2。伸縮后的函數(shù)形式伸縮變換二次函數(shù)的圖像關(guān)于對稱軸對稱，對稱軸的方程為x=-b/2a。對稱軸對于形如y=a(x-h)^2+k的二次函數(shù)，其對稱中心為(h,k)。對稱中心對于任意一點(x,y)在二次函數(shù)的圖像上，其關(guān)于對稱軸的對稱點為(2h-x,y)，因此對稱后的函數(shù)形式為y=a(2h-x)^2+k。對稱后的函數(shù)形式對稱變換05二次函數(shù)應(yīng)用舉例Chapter開口向上的二次函數(shù)在頂點處取得最小值對于形如$f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$）的二次函數(shù)，其最小值出現(xiàn)在頂點$x=-frac{2a}$處，最小值為$fleft(-frac{2a}right)$。開口向下的二次函數(shù)在頂點處取得最大值對于形如$f(x)=ax^2+bx+c$（$a<0$）的二次函數(shù)，其最大值出現(xiàn)在頂點$x=-frac{2a}$處，最大值為$fleft(-frac{2a}right)$。求解最值問題對于形如$ax^2+bx+c>0$或$ax^2+bx+c<0$的不等式，可以通過求解對應(yīng)的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$得到根，然后根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和根的位置確定不等式的解集。一元二次不等式求解對于形如$f(x)=ax^2+bx+c$的二次函數(shù)和直線$y=kx+d$的交點問題，可以通過聯(lián)立方程求解得到交點的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷交點的存在性和位置。二次函數(shù)與直線交點問題求解不等式問題對于形如$f(x)=ax^2+bx+c$的二次函數(shù)和圓$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$的交點問題，可以通過聯(lián)立方程求解得到交點的坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圓的性質(zhì)判斷交點的存在性和位置。二次函數(shù)與圓的交點問題二次函數(shù)可以表示平面上的拋物線，因此可以應(yīng)用于平面幾何中的許多問題，如求解拋物線的焦點、準(zhǔn)線、頂點等，以及判斷點與拋物線的位置關(guān)系等。二次函數(shù)在平面幾何中的應(yīng)用在幾何中的應(yīng)用06總結(jié)與拓展Chapter二次函數(shù)的判別式$Delta=b^2-4ac$，用于判斷二次方程的根的情況。二次函數(shù)的開口方向當(dāng)$a>0$時，開口向上；當(dāng)$a<0$時，開口向下。二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。二次函數(shù)的一般形式$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$aneq0$。二次函數(shù)的對稱軸$x=-frac{2a}$。知識點總結(jié)求二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)：通過公式直接計算。判斷二次函數(shù)的開口方向：根據(jù)$a$的正負來判斷。判斷二次方程根的情況：根據(jù)判別式$Delta$的值來判斷，$Delta>0$有兩個不相等的實根，$Delta=0$有兩個相等的實根（即一個重根），$Delta<0$無實根。利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題：根據(jù)開口方向和頂點坐標(biāo)來判斷最值情況。解題技巧歸納通過二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以解一元二次不等式。一元二次不等式二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖像是