第第頁2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第六單元：比例的綜合應(yīng)用“拓展版”專項(xiàng)練習(xí)一、填空題。1．為了慶祝六一節(jié)每張卡片減價(jià)20%，用同樣多的錢可以多買6張，原來可以買()張卡片。【答案】24【分析】先設(shè)原來卡片的單價(jià)是1，把原來卡片的單價(jià)看作單位“1”，現(xiàn)在每張卡片減價(jià)20%，則現(xiàn)在每張卡片的價(jià)格是原來的（1－20%），用原價(jià)乘（1－20%），求出現(xiàn)在每張卡片的價(jià)格；根據(jù)“用同樣多的錢”可知，總錢數(shù)不變，即單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)（一定），乘積一定，則單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系，據(jù)此列出反比例方程，并求解?！驹斀狻吭O(shè)原來卡片的單價(jià)是1，現(xiàn)在卡片的單價(jià)是：1×（1－20%）＝1×0.8＝0.8解：設(shè)原來可以買張卡片。1×＝0.8×（＋6）＝0.8＋4.8－0.8＝4.80.2＝4.8＝4.8÷0.2＝24原來可以買24張卡片。【點(diǎn)睛】先確定總錢數(shù)不變，再根據(jù)單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)之間的關(guān)系，得出單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系，據(jù)此列出相應(yīng)的比例方程。2．王叔叔用不銹鋼管焊制一種長(zhǎng)方形框架。一條鋼管如果全部切割成這個(gè)長(zhǎng)方形較長(zhǎng)的邊，可以切割10條；如果全部切割成這個(gè)長(zhǎng)方形較短的邊，可以切割15條。用一條這樣的鋼管，可以做()個(gè)這樣的長(zhǎng)方形框架?！敬鸢浮?【分析】由題意可知，鋼管的總長(zhǎng)度不變，則長(zhǎng)×10＝寬×15，根據(jù)比例的基本性質(zhì)求出長(zhǎng)和寬的比為3∶2，設(shè)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，鋼管的總長(zhǎng)度＝長(zhǎng)×10，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝長(zhǎng)×2＋寬×2，可以做長(zhǎng)方形框架的數(shù)量＝鋼管的總長(zhǎng)度÷長(zhǎng)方形框架的周長(zhǎng)，據(jù)此解答?！驹斀狻糠治隹芍L(zhǎng)×10＝寬×15，則長(zhǎng)∶寬＝15∶10＝3∶2，假設(shè)長(zhǎng)為3a，寬為2a。（10×3a）÷（2×3a＋2×2a）＝30a÷（6a＋4a）＝30a÷10a＝3（個(gè)）所以，可以做3個(gè)這樣的長(zhǎng)方形框架?！军c(diǎn)睛】分析題意求出長(zhǎng)和寬的比，并熟記長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。3．吳媛和施燕從學(xué)校同時(shí)出發(fā)到圖書館去，當(dāng)吳媛走了一半時(shí)，施燕離圖書館還有786米，速度不變，吳媛到圖書館時(shí)，施燕還有全程的沒走，學(xué)校到圖書館有()米?！敬鸢浮?310【分析】由題意可知：設(shè)學(xué)校到圖書館的距離是x米，當(dāng)吳媛走了一半時(shí)，施燕離圖書館還有786米，即吳媛走了x米時(shí)，施燕走了x－786米，速度不變，吳媛到圖書館時(shí)，施燕還有全程的沒走，即當(dāng)吳媛走了x米時(shí)，施燕走了x米，利用比例的意義進(jìn)行解答即可。【詳解】解：設(shè)學(xué)校到圖書館的距離為x米。x∶（x－786）＝x∶（1－）xx∶（x－786）＝x∶xx∶（x－786）＝5∶42x＝5x－39303x＝3930x＝1310則學(xué)校到圖書館有1310米?！军c(diǎn)睛】本題考查用比例解決問題，明確兩次走的路程是解題的關(guān)鍵。4．某小學(xué)五、六年級(jí)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)比是8∶7，六年級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)是五年級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)的，兩個(gè)年級(jí)各有50名同學(xué)未獲獎(jiǎng)，五年級(jí)有()名同學(xué)參賽，六年級(jí)有()名同學(xué)獲獎(jiǎng)?！敬鸢浮?46【分析】根據(jù)題意可知，五年級(jí)和六年級(jí)的獲獎(jiǎng)人數(shù)比是7∶3，據(jù)此列比例解比例，先求出兩個(gè)年級(jí)一共有多少人參賽，再利用乘法求出五年級(jí)的參賽人數(shù)，最后利用減法求出六年級(jí)的獲獎(jiǎng)人數(shù)?！驹斀狻拷猓涸O(shè)兩個(gè)年級(jí)共有x名同學(xué)參賽。，解得，x＝120（名）120―64―50＝6（名）所以，五年級(jí)有64名同學(xué)參賽，六年級(jí)有6名同學(xué)獲獎(jiǎng)?！军c(diǎn)睛】本題考查了比例的應(yīng)用，能根據(jù)題意找出五年級(jí)和六年級(jí)的獲獎(jiǎng)人數(shù)比，并會(huì)解比例是解題的關(guān)鍵。5．把加工一批零件的任務(wù)，原計(jì)劃按1∶3分配給甲、乙兩人，如果他們同時(shí)開工就可以同時(shí)完成任務(wù)。實(shí)際由于某種原因，二人同時(shí)一開工，乙的工作效率就比原計(jì)劃降低了50%，甲的工作效率不變。這樣，當(dāng)甲完成了自己的任務(wù)后，立即幫助乙一起加工，又經(jīng)過2小時(shí)完成了全部任務(wù)，如果這批零件全部由甲單獨(dú)加工，需要()小時(shí)完成?！敬鸢浮俊窘馕觥堪?∶3分配給甲、乙兩人，他們同時(shí)開工就可以同時(shí)完成任務(wù)，工作總量之比是1∶3，那么工作效率之比是1∶3；當(dāng)乙的工作效率就比原計(jì)劃降低了50%后，甲、乙的工作效率之比是2∶3，甲完成自己的任務(wù)的時(shí)間是不變的，當(dāng)甲完成自己的任務(wù)時(shí)，乙完成了一半，還剩下一半，剩下的一半，甲、乙合作需要2小時(shí)，可以求出甲、乙的工作效率，然后求出工作總量及甲單獨(dú)加工，需要的時(shí)間?！驹斀狻考椎墓ぷ髁坑涀?份，乙的工作量記作3份；正常情況下甲、乙的工作效率之比是1∶3；實(shí)際情況下甲、乙的工作效率之比是：1∶1.5＝2∶3當(dāng)甲完成自己的任務(wù)時(shí)，乙完成了1.5份，還剩下1.5份；甲、乙合作需要2小時(shí)，可以完成1.5份；且甲、乙的工作效率之比是2∶3；那么甲2小時(shí)完成份，甲1小時(shí)完成；總的工作量是4份，（小時(shí)）所以甲單獨(dú)加工，需要小時(shí)完成?！军c(diǎn)睛】本題考查的是工程問題，當(dāng)工作時(shí)間一定時(shí)，工作總量與工作效率成正比例關(guān)系。6．甲、乙兩人從武漢長(zhǎng)江大橋的兩端出發(fā)，相向而行，乙先走556.8米，然后甲從橋的另外一端開始出發(fā)。已知甲、乙兩人的速度是3∶2，甲、乙相遇時(shí)所走的路程是2∶3，問武漢長(zhǎng)江大橋全長(zhǎng)()米?！敬鸢浮?670.4【解析】從甲出發(fā)到兩人相遇這段時(shí)間里，甲、乙兩人的路程比是3∶2；而甲、乙兩人總的路程比是2∶3；設(shè)甲的路程是3x，那么乙的路程是2x加556.8，根據(jù)總的路程比列方程求解。【詳解】解：設(shè)甲的路程是3x；（千米）所以武漢長(zhǎng)江大橋全長(zhǎng)1670.4米?！军c(diǎn)睛】本題考查的是比例行程問題，當(dāng)時(shí)間一定時(shí)，速度比與路程比相同。7．何師傅將一批博易新思維教材裝箱，當(dāng)他裝滿15箱時(shí)，發(fā)現(xiàn)已裝的書比這批書的還少24本，接著他又裝滿13箱，正好裝完。這批書共有()本?！敬鸢浮?72【分析】裝滿15箱時(shí)，已裝的書比這批書的還少24本，那么剩下的13箱就比這批書的多24本，設(shè)這批書的數(shù)量是x本，表示出15箱和13箱的數(shù)量，列比例方程求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這批書的數(shù)量是x本，可得：所以這批書共有672本。【點(diǎn)睛】列比例方程求解問題的時(shí)候，同樣要合理設(shè)未知數(shù)，并找準(zhǔn)等量關(guān)系。8．一輛汽車從甲地開往乙地，在以原速行駛120千米后出現(xiàn)了故障，經(jīng)過一小時(shí)的修理，汽車再次出發(fā)，為了準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，司機(jī)將車速提高，結(jié)果晚了20分鐘到達(dá)，如果從出發(fā)時(shí)就將車速提高，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)，（這里不考慮汽車出現(xiàn)故障的情況）。那么甲乙兩地相距()千米?！敬鸢浮?60【解析】如果從出發(fā)時(shí)就將車速提高，那么相比計(jì)劃的情況，速度比是6∶5，時(shí)間比是5∶6，而比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)，可以求出原計(jì)劃需要6小時(shí)；而如果先以原速行駛120千米，再修車1小時(shí)，再把速度提高，這樣總共用時(shí)是6小時(shí)20分，那么這種情況下，行駛除120千米外的后半部分用時(shí)比原計(jì)劃少了40分鐘，速度比仍為6∶5，時(shí)間比是5∶6，求出原計(jì)劃后半段的時(shí)間是240分鐘，也就是4小時(shí)，那么原計(jì)劃行駛前面的120千米需要2小時(shí)，可以求出速度，速度乘時(shí)間得到全程。【詳解】對(duì)比原計(jì)劃和全程提速這兩種情況，路程一定，速度比與時(shí)間比成反比例關(guān)系；速度比，；時(shí)間比，6∶5；提前一小時(shí)到達(dá)，那么1份是1小時(shí)，5份是5小時(shí)，6份是6小時(shí)，按原計(jì)劃行駛，需要6小時(shí)；對(duì)比原計(jì)劃和中途修車這兩種情況，前面120前面，速度相同，時(shí)間也相同，后半段路程一定，速度比與時(shí)間比成反比例關(guān)系；速度比，5∶6；時(shí)間比，6∶5；中途修車這種情況，總時(shí)間是6小時(shí)又20分鐘，除去修車的1小時(shí)，實(shí)際行駛5小時(shí)20分鐘，比原計(jì)劃少了40分鐘；少的這40分鐘，發(fā)生在后半段，時(shí)間比是6∶5；那么1份是40分鐘，6份是240分鐘，也就是4小時(shí)；6－4＝2（小時(shí)）原計(jì)劃行駛前面120前面需要2小時(shí)；（千米）所以甲乙兩地相距360千米?！军c(diǎn)睛】本題考查的是比例行程問題，首先要判斷是路程一定還是速度一定的情況。二、解答題。9．兩同學(xué)需托運(yùn)行李。托運(yùn)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為10公斤以下6元/公斤，超出10公斤部分每公斤收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)略低一些。已知甲乙兩人托運(yùn)費(fèi)分別為109.5元、78元，甲的行李比乙重了50%。那么，超出10公斤部分每公斤收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)比10公斤以內(nèi)的低了多少元？【答案】1.5元【分析】根據(jù)單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)，用10×6即可求出10公斤的總價(jià)，經(jīng)過比較可知，甲、乙兩人的行李都超過10公斤，設(shè)乙的行李有x公斤，甲的行李比乙重了50%，則把乙的行李看作單位“1”，甲的行李是乙的（1＋50%），則甲的行李有[（1＋50%）x]公斤，甲超過10公斤部分的總價(jià)是（109.5－60）元，乙超過10公斤部分的總價(jià)是（78－60）元；根據(jù)超過10公斤的總價(jià)÷超過10公斤部分的公斤數(shù)＝超過10公斤部分的單價(jià)（一定）；列比例為（109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10），然后解出比例，進(jìn)而求出超過10公斤部分的單價(jià)，然后用減法求出超出10公斤部分每公斤收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)比10公斤以內(nèi)的低多少元。【詳解】10×6＝60（元）109.5＞6078＞60甲、乙兩人的行李都超過10公斤；解：設(shè)乙的行李有x公斤，則甲的行李有[（1＋50%）x]公斤。（109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10）（109.5－60）∶[1.5x－10]＝（78－60）∶（x－10）49.5∶[1.5x－10]＝18∶（x－10）49.5×（x－10）＝18×[1.5x－10]49.5x－495＝27x－18049.5x－27x＝495－18022.5x＝315x＝315÷22.5x＝14（78－60）÷（14－10）＝18÷4＝4.5（元）6－4.5＝1.5（元）答：超出10公斤部分每公斤收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)比10公斤以內(nèi)的低了1.5元?！军c(diǎn)睛】本題比較復(fù)雜，需要一步步分析，然后根據(jù)正比例解決問題。10．A、B兩地相距90千米，甲、乙兩人都騎自行車同時(shí)從A地去B地，甲的速度每小時(shí)比乙慢3千米，乙到達(dá)B地立即返回，在距B地15千米處與甲相遇，甲每小時(shí)行多少千米？【答案】7.5千米【分析】根據(jù)“甲的速度每小時(shí)比乙慢3千米”，可以設(shè)甲每小時(shí)行千米，則乙每小時(shí)行（＋3）千米。根據(jù)題意可知，相遇時(shí)甲行了（90－15）千米，乙行了（90＋15）千米；相遇時(shí)兩人行駛的時(shí)間一樣，根據(jù)路程÷速度＝時(shí)間，可得等量關(guān)系：＝，據(jù)此列出方程，并求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)甲每小時(shí)行千米，則乙每小時(shí)行（＋3）千米。（90＋15）＝（90－15）×（＋3）105＝75（＋3）105＝75＋225105－75＝75＋225－7530＝22530÷30＝225÷30＝7.5答：甲每小時(shí)行7.5千米?！军c(diǎn)睛】本題考查列比例方程解決問題，關(guān)鍵是明確兩人相遇時(shí)行駛的時(shí)間一樣，然后根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，得出等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。11．從兩個(gè)重量分別為12千克和8千克，且含銅的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個(gè)合金含銅的百分?jǐn)?shù)相等。求：所切下的合金的重量是多少千克？【答案】4.8千克【分析】設(shè)所切下的合金的重量是x千克，熔煉后兩個(gè)合金含銅的百分?jǐn)?shù)相等，根據(jù)（12千克合金切后純銅的質(zhì)量＋8千克合金切下純銅的質(zhì)量）÷12＝（8千克合金切后純銅的質(zhì)量＋12千克合金切下純銅的質(zhì)量）÷8，列出比例解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)所切下的合金的重量是x千克，重12千克合金的含銅百分?jǐn)?shù)為p，重8千克合金的含銅百分?jǐn)?shù)為q（p≠q）。答：所切下的合金的重量是4.8千克。【點(diǎn)睛】用方程或比例解決問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，注意在解含參數(shù)的方程時(shí)，一般情況下可以把參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化成只含有帶求未知數(shù)的一般方程。12．昆明水泥廠生產(chǎn)一批水泥，計(jì)劃每天生產(chǎn)12噸，45天完成，實(shí)際每天少生產(chǎn)10%，這批水泥實(shí)際生產(chǎn)了多少天？（用比例解答）【答案】50天【分析】根據(jù)題意，實(shí)際每天比計(jì)劃少生產(chǎn)10%，把計(jì)劃每天生產(chǎn)水泥的噸數(shù)看作單位“1”，則實(shí)際每天生產(chǎn)水泥的噸數(shù)是計(jì)劃每天的（1－10%），單位“1”已知，用乘法計(jì)算，求出實(shí)際每天生產(chǎn)水泥的噸數(shù)；這批水泥的總噸數(shù)不變，根據(jù)每天生產(chǎn)的噸數(shù)×天數(shù)＝水泥的總噸數(shù)（一定），積一定，則每天生產(chǎn)的噸數(shù)和天數(shù)成反比例關(guān)系，據(jù)此列出反比例方程，并求解。【詳解】解：設(shè)這批水泥實(shí)際生產(chǎn)了天。12×（1－10%）＝12×4512×0.9＝54010.8＝540＝540÷10.8＝50答：這批水泥實(shí)際生產(chǎn)了50天?！军c(diǎn)睛】①考查百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用，找出單位“1”，單位“1”已知，根據(jù)百分?jǐn)?shù)乘法的意義求出實(shí)際每天生產(chǎn)水泥的噸數(shù)；②找出相關(guān)聯(lián)的兩種量，判斷相關(guān)聯(lián)的兩種量乘積一定，然后根據(jù)反比例的意義列出反比例方程。13．某大型商場(chǎng)正逢周年慶典，所有服裝都打同樣的折扣銷售。（1）媽媽買了一件風(fēng)衣，原價(jià)480元，現(xiàn)價(jià)360元。媽媽又選中一條裙子，現(xiàn)價(jià)240元，這條裙子原價(jià)多少錢？（2）李阿姨手里的現(xiàn)金如果買現(xiàn)價(jià)120元一條的褲子，正好可以買5條。如果用這些錢來買原價(jià)200元一件的襯衫，能買多少件？【答案】（1）320元（2）4件【分析】（1）根據(jù)題意，所有服裝都打同樣的折扣銷售，則＝折扣（一定），比值一定，那么現(xiàn)價(jià)與原價(jià)成正比例關(guān)系，據(jù)此列出正比例方程，并求解。（2）先根據(jù)上一題的一件風(fēng)衣原價(jià)480元，現(xiàn)價(jià)360元，計(jì)算出折扣；再根據(jù)題意，李阿姨手里的現(xiàn)金一定，則單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)（一定），積一定，那么單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系，據(jù)此列出反比例方程，并求解?！驹斀狻浚?）解：設(shè)這條褲子原價(jià)元。＝360＝240×480＝＝320答：這條裙子原價(jià)320元。（2）360÷480×100%＝0.75×100%＝75%75%＝七五折解：設(shè)能買件。200×75%＝120×5150＝600＝600÷150＝4答：如果用這些錢來買原價(jià)200元一件的襯衫，能買4件。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是判斷題目中的兩種相關(guān)聯(lián)的量成什么比例關(guān)系，據(jù)此列出相應(yīng)的比例方程。14．盒子里有一些黑棋子和白棋子，白棋子和黑棋子的比是2∶3，如果從盒子中取出6枚黑棋子，盒子里白棋子和黑棋子的比變成5∶6，盒子里原有多少枚黑棋子？【答案】30枚【分析】根據(jù)原來白棋子和黑棋子的比是2∶3，假設(shè)盒子里原來白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，取出6枚黑棋子后，白棋子數(shù)量不變，黑棋子變?yōu)椋?x－6）枚，這時(shí)盒子里白棋子和黑棋子的比變成5∶6，據(jù)此可列出比例式，解比例即可求出盒子里原有多少枚黑棋子。【詳解】解：設(shè)盒子里原來白棋子有2x枚，黑棋子有3x枚，2x∶（3x－6）＝5∶65×（3x－6）＝2x×615x－30＝12x15x－12x＝303x＝30x＝30÷3x＝103×10＝30（枚）答：盒子里原有30枚黑棋子?！军c(diǎn)睛】此題通過題目中的數(shù)量關(guān)系，巧設(shè)未知數(shù)，列出比例式，結(jié)合比的應(yīng)用，解決問題。15．黔鋒學(xué)校要定做一批凳子，如果加工廠每天加工200個(gè)，比規(guī)定時(shí)間提前3天完成任務(wù)，如果每天加工120個(gè)，比規(guī)定時(shí)