平面向量的基本運(yùn)算法則目錄向量基本概念與性質(zhì)向量加減法運(yùn)算規(guī)則向量數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則向量點(diǎn)積（內(nèi)積）運(yùn)算規(guī)則向量叉積（外積）運(yùn)算規(guī)則向量混合積運(yùn)算規(guī)則01向量基本概念與性質(zhì)Chapter向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量可以用小寫字母a、b、c等表示，也可以用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如向量AB。向量定義向量表示方法向量定義及表示方法向量長(zhǎng)度與方向向量長(zhǎng)度向量的長(zhǎng)度（或模）用向量所在的有向線段的長(zhǎng)度表示，記作|a|。向量方向向量的方向由向量所在的有向線段的方向確定，可以用角度或方位角來(lái)表示。01長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的方向是任意的。零向量02長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量。單位向量可以表示任何方向。單位向量03方向相同或相反的非零向量叫做共線向量。任意兩個(gè)共線向量都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)與另一個(gè)向量相乘得到。共線向量零向量、單位向量及共線向量向量相等兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的長(zhǎng)度相等且方向相同。即若a=b，則|a|=|b|且a與b方向相同。向量平行兩個(gè)向量平行當(dāng)且僅當(dāng)它們方向相同或相反，即存在實(shí)數(shù)k，使得a=kb或b=ka。零向量與任何向量平行。向量相等與平行關(guān)系02向量加減法運(yùn)算規(guī)則Chapter三角形法則定義將兩個(gè)向量首尾相接，從第一個(gè)向量的起點(diǎn)到第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量就是這兩個(gè)向量的和。加法運(yùn)算步驟按照三角形法則，將兩個(gè)向量進(jìn)行首尾相接，然后通過(guò)作圖或者計(jì)算的方式求出合向量。減法運(yùn)算步驟將減向量反向，然后與被減向量進(jìn)行三角形法則的加法運(yùn)算。三角形法則進(jìn)行向量加減加法運(yùn)算步驟按照平行四邊形法則，以兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，然后通過(guò)作圖或者計(jì)算的方式求出合向量。減法運(yùn)算步驟將減向量反向，然后與被減向量進(jìn)行平行四邊形法則的加法運(yùn)算。平行四邊形法則定義以兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，這兩個(gè)向量所夾的對(duì)角線就是這兩個(gè)向量的和。平行四邊形法則進(jìn)行向量加減坐標(biāo)表示法定義在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用坐標(biāo)來(lái)表示，即向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。加法運(yùn)算步驟將兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量相加，得到的結(jié)果就是這兩個(gè)向量的和向量的坐標(biāo)。減法運(yùn)算步驟將減向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量減去被減向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量，得到的結(jié)果就是這兩個(gè)向量的差向量的坐標(biāo)。坐標(biāo)表示法進(jìn)行向量加減交換律向量加法滿足交換律，即a+b=b+a。向量加法滿足結(jié)合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。存在零向量0，使得對(duì)任意向量a，有a+0=a。對(duì)任意向量a，存在負(fù)向量-a，使得a+(-a)=0。向量的加減法運(yùn)算在幾何上表現(xiàn)為圖形的平移、伸縮等變換，是線性代數(shù)和解析幾何的重要基礎(chǔ)。結(jié)合律負(fù)元向量加減法的幾何意義零元運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義03向量數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則Chapter數(shù)乘定義及性質(zhì)定義：數(shù)乘是向量與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算，其結(jié)果仍為向量。對(duì)于向量$vec{a}$和實(shí)數(shù)$k$，數(shù)乘定義為$kvec{a}$。性質(zhì)當(dāng)$k>0$時(shí)，$kvec{a}$與$vec{a}$方向相同；當(dāng)$k<0$時(shí)，$kvec{a}$與$vec{a}$方向相反。$0vec{a}=vec{0}$，即零向量與任何向量的數(shù)乘結(jié)果為零向量。$1vec{a}=vec{a}$，即單位元與向量的數(shù)乘結(jié)果仍為原向量。$|kvec{a}|=|k|cdot|vec{a}|$，即數(shù)乘向量的模等于實(shí)數(shù)絕對(duì)值與向量模的乘積。交換律對(duì)于任意實(shí)數(shù)$k$和$l$，以及向量$vec{a}$，有$k(lvec{a})=(kl)vec{a}$。結(jié)合律對(duì)于任意實(shí)數(shù)$k$、$l$和向量$vec{a}$、$vec$，有$(k+l)vec{a}=kvec{a}+lvec{a}$和$k(vec{a}+vec)=kvec{a}+kvec$。分配律對(duì)于任意實(shí)數(shù)$k$、$l$和向量$vec{a}$、$vec$，有$k(vec{a}+vec)=kvec{a}+kvec$和$(k+l)vec{a}=kvec{a}+lvec{a}$。數(shù)乘運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)縮放數(shù)乘可以用于縮放向量。當(dāng)實(shí)數(shù)大于1時(shí)，數(shù)乘結(jié)果向量比原向量長(zhǎng)；當(dāng)實(shí)數(shù)在0到1之間時(shí)，數(shù)乘結(jié)果向量比原向量短；當(dāng)實(shí)數(shù)小于0時(shí)，數(shù)乘結(jié)果向量與原向量方向相反。平移在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)可以通過(guò)數(shù)乘一個(gè)向量來(lái)實(shí)現(xiàn)平移。例如，點(diǎn)$A(x_1,y_1)$平移至點(diǎn)$B(x_2,y_2)$可以表示為$vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，平移后的坐標(biāo)可以通過(guò)原坐標(biāo)加上數(shù)乘后的向量得到。旋轉(zhuǎn)雖然數(shù)乘本身不直接涉及旋轉(zhuǎn)操作，但結(jié)合其他向量運(yùn)算（如點(diǎn)積、叉積）可以實(shí)現(xiàn)向量的旋轉(zhuǎn)效果。數(shù)乘在幾何中的應(yīng)用04向量點(diǎn)積（內(nèi)積）運(yùn)算規(guī)則Chapter點(diǎn)積定義及性質(zhì)$vec{a}cdotvec{a}=|vec{a}|^2$，其中$|vec{a}|$是向量$vec{a}$的模長(zhǎng)。與模長(zhǎng)的關(guān)系對(duì)于兩個(gè)向量$vec{a}=(a_1,a_2)$和$vec=(b_1,b_2)$，它們的點(diǎn)積定義為$vec{a}cdotvec=a_1b_1+a_2b_2$。點(diǎn)積定義點(diǎn)積滿足交換律和分配律，即$vec{a}cdotvec=veccdotvec{a}$，$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+veccdotvec{c}$。性質(zhì)0102運(yùn)算律點(diǎn)積滿足交換律、分配律和結(jié)合律。交換律$vec{a}cdotvec=veccdotvec{a}$。分配律$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+veccdotvec{c}$。結(jié)合律$(lambdavec{a})cdotvec=lambda(vec{a}cdotvec)=vec{a}cdot(lambdavec)$，其中$lambda$是標(biāo)量。運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)兩個(gè)非零向量$vec{a}$和$vec$垂直時(shí)，$vec{a}cdotvec=0$。030405點(diǎn)積運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)點(diǎn)積在幾何中的應(yīng)用判斷兩向量的位置關(guān)系當(dāng)$vec{a}cdotvec>0$時(shí)，$vec{a}$和$vec$的夾角為銳角；當(dāng)$vec{a}cdotvec<0$時(shí)，$vec{a}$和$vec$的夾角為鈍角；當(dāng)$vec{a}cdotvec=0$時(shí)，$vec{a}$和$vec$垂直。計(jì)算兩向量的夾角通過(guò)點(diǎn)積可以計(jì)算兩個(gè)非零向量$vec{a}$和$vec$之間的夾角$theta$，即$costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}||vec|}$。計(jì)算向量的投影向量$vec{a}$在向量$vec$上的投影長(zhǎng)度為$|vec{a}|costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec|}$。05向量叉積（外積）運(yùn)算規(guī)則Chapter對(duì)于兩個(gè)向量a和b，它們的叉積是一個(gè)向量，記作a×b，其方向垂直于a和b所在的平面，并且遵循右手定則，大小等于|a|和|b|的乘積與它們之間夾角的正弦值的乘積。叉積定義叉積滿足反交換律，即a×b=-b×a；叉積不滿足結(jié)合律，但滿足分配律，即(a+b)×c=a×c+b×c。叉積性質(zhì)叉積定義及性質(zhì)叉積運(yùn)算律叉積運(yùn)算滿足分配律，即對(duì)于任意向量a、b和c，有(a+b)×c=a×c+b×c，以及a×(b+c)=a×b+a×c。叉積運(yùn)算性質(zhì)叉積的結(jié)果是一個(gè)向量，其方向垂直于原向量所在的平面，大小等于原向量大小與它們之間夾角的正弦值的乘積。如果兩個(gè)向量垂直，則它們的叉積為零向量。叉積運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)叉積在幾何中的應(yīng)用通過(guò)計(jì)算兩個(gè)向量的叉積，可以判斷第三個(gè)點(diǎn)相對(duì)于前兩個(gè)點(diǎn)所在直線的位置關(guān)系，例如判斷點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部。計(jì)算三角形的面積利用三角形兩邊向量的叉積可以計(jì)算出三角形的面積，即面積等于兩邊向量叉積結(jié)果的一半。判斷向量的方向關(guān)系通過(guò)計(jì)算兩個(gè)向量的叉積結(jié)果的正負(fù)，可以判斷這兩個(gè)向量的方向關(guān)系，例如判斷一個(gè)向量是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)向量。判斷點(diǎn)的位置關(guān)系06向量混合積運(yùn)算規(guī)則Chapter定義三個(gè)向量$vec{a},vec,vec{c}$的混合積定義為$(vec{a}timesvec)cdotvec{c}$，記作$[vec{a}vecvec{c}]$。性質(zhì)1混合積$[vec{a}vecvec{c}]$的值與三個(gè)向量的排列順序有關(guān)，改變排列順序會(huì)改變混合積的符號(hào)。即$[vec{a}vecvec{c}]=-[vecvec{a}vec{c}]$。性質(zhì)2若三個(gè)向量共面，則它們的混合積為零。即如果$vec{a},vec,vec{c}$共面，則$[vec{a}vecvec{c}]=0$?；旌戏e定義及性質(zhì)運(yùn)算律1數(shù)乘分配律。對(duì)于任意實(shí)數(shù)$k$和向量$vec{a},vec,vec{c}$，有$[kvec{a}vecvec{c}]=k[vec{a}vecvec{c}]$。運(yùn)算性質(zhì)1若$vec{a}$與$vec$垂直，則$[vec{a}vecvec{c}]=0$。運(yùn)算性質(zhì)2若$vec{a},vec,vec{c}$構(gòu)成右手系，則$[vec{a}vecvec{c}]>0$；若構(gòu)成左手系，則$[vec{a}vecvec{c}]<0$。運(yùn)算律2加法分配律。對(duì)于任意向量$vec{a},vec,vec{c},vecm64e44m$，有$[vec{a}+vec,vec{c},vec4gsmqaa]=[vec{a}vec{c}vecog6sou4]+[vecvec{c}veccww4moq]$?；旌戏e運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)要點(diǎn)三應(yīng)用1計(jì)算四面體的體積。若$vec{A},vec{B},vec{C},vec{D}$為四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位置向量，則四面體的體積$V=frac{1}{6}[vec{AB},vec{AC},vec{AD}]$。要點(diǎn)一要點(diǎn)二應(yīng)用2判斷點(diǎn)是否在三角形內(nèi)部。若點(diǎn)$P$的位置向量為$vec{p}$，三角形$ABC$的三個(gè)頂點(diǎn)位置向量為$vec{A},vec{B},vec{C}$，則點(diǎn)$P$在三角形$ABC$內(nèi)部的充要條件是$[vec