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本次課講授第五章的4.4-5.2。下次課講授5.3-6.2，下次上課時交作業(yè)：P45—P46

重點：常用分布與正態(tài)統(tǒng)計量難點：同上第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念1本次課講授第五章的4.4-5第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律例題1(2001，數(shù)三）第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律例題1(2001，數(shù)三）3第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理補充：依概率收斂定義3第十二講：正態(tài)分布大數(shù)定律與中心極限定理補充：依概率收斂定4設(shè)獨立隨機變量并且方差是一致有上界的，即存在某則對于任何正數(shù)

，恒有

一、切比雪夫大數(shù)定律：分別有數(shù)學(xué)期望及方差

D(X1),一常數(shù)K，使得證第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律4設(shè)獨立隨機變量并且方差是一致有上界的，即存在某則對于任5第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律5第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律6推論：存在:設(shè)獨立隨機變量服從同一分布,期望及方差則對于任何正數(shù)

，有第十二講：正態(tài)分布與大數(shù)定律6推論：存在:設(shè)獨立隨機變量服從同一分布,期望及方差則對7在獨立試驗序列中,設(shè)事件A的概率P(A)=

p，定理3(伯努利定理）按概率收斂于事件A的概率p.即對于任何正數(shù)則事件A在n

次獨立試驗中發(fā)生的頻率fn(A),當(dāng)試驗次數(shù)

,有證設(shè)隨機變量Xi表示事件A在第i次試驗中發(fā)生的次數(shù)(i=1,2,…,n,…),則這些隨機變量相互獨立，服從相同的0-1分布，且有數(shù)學(xué)期望與方差：由切比雪夫定理的推論即得而就是事件A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)m，由此可知第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念7在獨立試驗序列中,設(shè)事件A的概率P(A)=p，定理8二、中心極限定理1.背景：大數(shù)定理告訴我們，隨機變量個數(shù)很大時，獨立隨機變量之和收斂于其均值的和。此時，獨立隨機變量之和的標(biāo)準(zhǔn)變量的概率分布應(yīng)是什么狀態(tài)？中心極限定理告訴我們，變量個數(shù)很大時，和的標(biāo)準(zhǔn)變量的分布依概率收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，也就是說，和的分布服從正態(tài)分布。設(shè)隨機變量之和為:且數(shù)學(xué)期望和方差都存在：設(shè)隨機變量相互獨立,則則和的標(biāo)準(zhǔn)變量為：2.中心極限定理變量的設(shè)定第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念8二、中心極限定理1.背景：大數(shù)定理告訴我們，隨機變量個數(shù)很第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念10

在中心極限定理中，我們重點關(guān)注列維-林德伯格定理和拉普拉斯中心定理4.列維定理服從相同的分布，并且有數(shù)學(xué)期望和方差：則當(dāng)時，(z為任意實數(shù))設(shè)獨立隨機變量它們和的標(biāo)準(zhǔn)變量的極限是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念10在中心極限定理中，我們重點關(guān)注列維-林德伯格定理和11棣莫弗—拉普拉斯定理設(shè)在獨立實驗序列中,事件A

在第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念11棣莫弗—拉普拉斯定理設(shè)在獨立實驗序列中,事件A在第十12其中z

是任何實數(shù)，第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念12其中z是任何實數(shù)，第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念13第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念13第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念14例題12-2-1第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念14例題12-2-1第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念15第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念15第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念16例題12-2-2【數(shù)學(xué)四，3分】第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念16例題12-2-2【數(shù)學(xué)四，3分】第十二講：極限定律與數(shù)理173.樣本值（觀測值）對總體X中抽取n個體，得到的n個數(shù)據(jù)稱為樣本的一個樣本觀測值.三、總體與樣本1.總體：所研究對象的全體。

總體的指標(biāo)是一個隨機變量，總體就是指某個隨機變量X

可能取值的全體.記作X.相應(yīng)地，個體是組成總體的每個單元（或元素）.樣本容量樣本中所包含的個體的數(shù)量n.若從總體X中抽取n個個體則稱為X的一個樣本.2.樣本：總體中的部分個體.第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念173.樣本值（觀測值）對總體X中抽取n個體，得到的n18簡單隨機樣本簡單隨機抽樣得到的樣本

（1）（2）具有下述特點:

簡單隨機抽樣（1）抽樣的隨機性

總體中的每一個個體都有同等的機會被抽到.（2）抽樣的獨立性各次抽樣的結(jié)果互不影響.4.簡單樣本：例如從一批含有n個燈泡的產(chǎn)品中，不放回地取20個測定其壽命.就是一簡單隨機樣本第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念18簡單隨機樣本簡單隨機抽樣得到的樣本（1）（2）19隨機抽樣可以近似看作是簡單隨機抽樣.[注]當(dāng)總體容量N很大，而樣本容量n很小時非簡單教材涉及的抽樣與樣本均是簡單隨機樣本。

對于簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn

，其聯(lián)合概率分布可以由總體X的分布完全確定。若總體X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為：又若X具有概率密度f(x)，則X1，X2，…，Xn的聯(lián)合概率密度為若X的分布律為

第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念19隨機抽樣可以近似看作是簡單隨機抽樣.[注]當(dāng)總體容量N20則X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為

6.數(shù)據(jù)的整理與頻率直方圖：采集的數(shù)據(jù)需經(jīng)過組織和整理才具有價值，一般方法如下：第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念20則X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為6.數(shù)據(jù)的整理與頻21第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念21第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念22四、樣本函數(shù)與統(tǒng)計量1.樣本函數(shù)與統(tǒng)計量定義：2.常用的統(tǒng)計量和觀測值：樣本的（平）均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、原點距、中心矩均是樣本變量的函數(shù)，即統(tǒng)計量第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念22四、樣本函數(shù)與統(tǒng)計量1.樣本函數(shù)與統(tǒng)計量定義：2.常用的23第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念23第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念24其觀測值為：

第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念24其觀測值為：第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念25計算樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩.例12-4-1

設(shè)抽樣得到樣本觀測值如下：19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3.解樣本均值樣本方差樣本二階中心矩為使計算簡化，可把所得數(shù)據(jù)整理如下：當(dāng)樣本容量n

較大時，相同的樣本觀測值往往會重復(fù)出現(xiàn)，頻數(shù)觀測值第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念25計算樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩.例12-4-26

例12-4-2

設(shè)抽樣得到100個觀測值如下表：81219262114頻數(shù)543210觀測值計算樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩。解第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念26例12-4-2設(shè)抽樣得到100個觀測值如下表：27其概率密度:定理1正態(tài)分布

N

(0,1)，則隨機變量服從自由度為k的分布.設(shè)隨機變量記為相互獨立，并且都服從標(biāo)準(zhǔn)1.分布:五、數(shù)理統(tǒng)計中的常用分布第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念27其概率密度:定理1正態(tài)分布N(0,1)，則隨機28（1）可加性：若隨機變量X與Y獨立，且

則

1.分布的性質(zhì):（2）可查性：第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念28（1）可加性：若隨機變量X與Y獨立，且則1.29查表得例如：k=10，α=0.05時查表附表三

2.t分布（“學(xué)生”分布）定理2設(shè)隨機變量X與Y獨立，則隨機變量其概率密度:服從自由度為

k的

t

分布，記作。第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念29查表得例如：k=10，α=0.05時查表附表三30第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念30第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念31當(dāng)k=10，α=0.05時，可查得例如

3.F分布定理3設(shè)隨機變量X與Y獨立，則隨機變量其概率密度:服從自由度為的F分布，并記作為第二自由度。其中為第一自由度；第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念31當(dāng)k=10，α=0.05時，可查得例如3.32α第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念32α第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念33當(dāng)=10，=15，α=0.05時，例如查表

第十二講：極限定律與數(shù)理統(tǒng)計基本概念33當(dāng)=10，=15，α=0.05時，例如34第十二講：極限定律與數(shù)