2022-2023學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線與直線垂直，則()A. B.1 C.2 D.42.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則()A.3 B.4 C.5 D.63.已知直線l過點(diǎn)，方向向量為，則原點(diǎn)到距離為()A.1 B. C. D.34.已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.5.在三棱錐中，點(diǎn)M是中點(diǎn)，若，則()A.0 B. C.1 D.26.已知點(diǎn)P在雙曲線的右支上，直線交曲線C于點(diǎn)Q(異于P)，點(diǎn)F為C的左焦點(diǎn)，若為銳角，則b的取值范圍為()A. B. C. D.7.在平行六面體中，，，則直線與直線所成角的余弦值為()A.0 B. C. D.18.橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，以F為圓心，為半徑的圓與E交于點(diǎn)P，且，則E的離心率為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓與橢圓，則()A. B.短軸長(zhǎng)相等 C.焦距相等 D.離心率相等10.如圖，四邊形為正方形，，平面，，點(diǎn)在棱上，且，則()A.當(dāng)時(shí)，平面B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D.當(dāng)時(shí)，平面與平面的夾角為11.2022年11月29日23時(shí)08分，我國(guó)自主研發(fā)的神舟十五號(hào)載人飛船成功對(duì)接于空間站“天和”核心艙前向端口，并實(shí)現(xiàn)首次太空會(huì)師．我國(guó)航天員在實(shí)驗(yàn)艙觀測(cè)到一顆彗星劃過美麗的地球，彗星沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于這條拋物線的焦點(diǎn)．當(dāng)此彗星離地球4千萬(wàn)公里時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，則彗星與地球的最短距離可能為(單位：千萬(wàn)公里)()A. B. C.1 D.312.大自然的美麗，總是按照美的密碼進(jìn)行，而數(shù)學(xué)是美麗的鏡子，斐波那契數(shù)列，就用量化展示了一些自然界的奧妙．譬如松果、風(fēng)梨的排列、向日葵花圈數(shù)、蜂巢、黃金矩形、黃金分割等都與斐波那契數(shù)列有關(guān)．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列可以用遞推的方法來(lái)定義：，則()A.B.C.D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫出雙曲線的一條漸近線方程__________．14.正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為__________．15.在平面上給定相異的兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P與A，B在同一平面上，滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓我們稱作阿波羅尼斯圓．在中，，邊中點(diǎn)為，則的最大值為__________．16.平面上一系列點(diǎn)，其中，已知在曲線上，圓與y軸相切，且圓與圓外切，則的坐標(biāo)為__________；記，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為__________．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，的外接圓為圓M．(1)求圓M的方程；(2)求直線被圓M所截得的弦長(zhǎng)．18.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19.已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P軌跡的方程；(2)設(shè)與x軸交于點(diǎn)M，直線與交于點(diǎn)G(異于P)，求四邊形面積的最小值．20.世界上有許多由旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ構(gòu)成的物體，呈現(xiàn)出各種美．譬如紙飛機(jī)、蝴蝶的翅膀等．在中，．將繞著旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示．(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求平面和平面的夾角的余弦值．21.甲、乙兩大超市同時(shí)開業(yè)，第一年的全年銷售額均為1千萬(wàn)元，由于管理經(jīng)營(yíng)方式不同，甲超市前n年的總銷售額為千萬(wàn)元，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多千萬(wàn)元．(1)分別求甲、乙超市第n年銷售額表達(dá)式；(2)若其中一家超市的年銷售額不足另一家超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購(gòu)，判斷哪一超市有可能被收購(gòu)？如果有這種情況，至少會(huì)出現(xiàn)在第幾年？22.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率．(1)求E的方程；(2)過作斜率之積為1的兩條直線與，設(shè)交E于A，B兩點(diǎn)，交E于C，D兩點(diǎn)，的中點(diǎn)分別為M，N．探究：與的面積之比是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2022-2023學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線與直線垂直，則()A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】利用兩直線垂直的條件求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，即.故選：B.2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，解得，所以.故選：D.3.已知直線l過點(diǎn)，方向向量為，則原點(diǎn)到的距離為()A.1 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】求出直線的解析式，即可求出原點(diǎn)到的距離.【詳解】由題意，在直線中，方向向量為，∴直線l的斜率存在，設(shè)，則直線l的斜率為：，∴，∵直線l過點(diǎn)，∴，解得：，∴，即，∴原點(diǎn)到的距離為：，故選：B.4.已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內(nèi)切，從而可求出結(jié)果.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為，圓可化為，圓心為，半徑為，又與有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，因此，即，解得，故選：C5.在三棱錐中，點(diǎn)M是中點(diǎn)，若，則()A.0 B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】表達(dá)出和，得出，，的值，即可求出的值.【詳解】由題意，在三棱錐中，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接，，在中，，在中，，∴,∴，，∴，故選：A.6.已知點(diǎn)P在雙曲線的右支上，直線交曲線C于點(diǎn)Q(異于P)，點(diǎn)F為C的左焦點(diǎn)，若為銳角，則b的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義，可求得，根據(jù)已知條件為銳角，可判斷為鈍角，結(jié)合余弦定理即可求得b的取值范圍.【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，且，則，又則，又，所以，而，即，解得，又因?yàn)闉殇J角，且根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，所以為銳角，所以為鈍角，則①，且，又②，由①②兩式解得，所以b的取值范圍為.故選：C7.在平行六面體中，，，則直線與直線所成角余弦值為()A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由向量的運(yùn)算得出，進(jìn)而得出直線與直線所成角的余弦值.【詳解】設(shè)，不妨設(shè)，則，，即，則直線與直線所成角的余弦值為.故選：A8.橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，以F為圓心，為半徑的圓與E交于點(diǎn)P，且，則E的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，右焦點(diǎn)為，中利用余弦定理列方程，由齊次式可求E的離心率.【詳解】由題意，，，由，，右焦點(diǎn)為，連接，有，中，，化簡(jiǎn)得，即，則E的離心率為.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：點(diǎn)P在橢圓上，一是滿足橢圓方程，二是到兩焦點(diǎn)距離之和等于2a，求橢圓離心率，結(jié)合其它條件構(gòu)造齊次式即可得解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓與橢圓，則()A. B.短軸長(zhǎng)相等 C.焦距相等 D.離心率相等【答案】AC【解析】【分析】分別對(duì)兩個(gè)橢圓進(jìn)行分析，得到對(duì)應(yīng)的短軸長(zhǎng)，焦距，離心率等，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在中，有，，，∴短半軸為3，長(zhǎng)半軸為5，焦距為，離心率，在中，有，，，∴長(zhǎng)半軸為，短半軸為，焦距為，，解得：，離心率，∴AC正確，BD錯(cuò)誤.故選：AC.10.如圖，四邊形為正方形，，平面，，點(diǎn)在棱上，且，則()A.當(dāng)時(shí)，平面B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D.當(dāng)時(shí)，平面與平面的夾角為【答案】BC【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷可得合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槠矫?，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，對(duì)于AD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，因此，與平面不平行，A錯(cuò)，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，，所以，平面與平面的夾角不是，D錯(cuò)；對(duì)于BC選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，，所以，，，所以，，，又因?yàn)?，、平面，平面，B對(duì)，點(diǎn)到平面的距離為，C對(duì).故選：BC.11.2022年11月29日23時(shí)08分，我國(guó)自主研發(fā)的神舟十五號(hào)載人飛船成功對(duì)接于空間站“天和”核心艙前向端口，并實(shí)現(xiàn)首次太空會(huì)師．我國(guó)航天員在實(shí)驗(yàn)艙觀測(cè)到一顆彗星劃過美麗的地球，彗星沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于這條拋物線的焦點(diǎn)．當(dāng)此彗星離地球4千萬(wàn)公里時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，則彗星與地球的最短距離可能為(單位：千萬(wàn)公里)()A. B. C.1 D.3【答案】CD【解析】【分析】不妨假設(shè)該拋物線開口向右，可設(shè)該拋物線方程為，彗星離地球4千萬(wàn)公里時(shí)假設(shè)為A點(diǎn)，作軸于，分在的左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行討論，即可求出最短距離【詳解】不妨假設(shè)該拋物線開口向右，如圖所示，可設(shè)該拋物線的方程為，地球即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)彗星的坐標(biāo)為，當(dāng)彗星離地球4千萬(wàn)公里時(shí)，設(shè)彗星此時(shí)處于A點(diǎn)，即，作軸于，則，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，，所以，代入拋物線可得，解得則根據(jù)拋物線的定義可得彗星到地球的距離為，則彗星與地球的最短距離可能為1千萬(wàn)公里，當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，，所以，代入拋物線可得，解得則根據(jù)拋物線的定義可得彗星到地球的距離為，則彗星與地球的最短距離可能為3千萬(wàn)公里，故選：CD12.大自然的美麗，總是按照美的密碼進(jìn)行，而數(shù)學(xué)是美麗的鏡子，斐波那契數(shù)列，就用量化展示了一些自然界的奧妙．譬如松果、風(fēng)梨的排列、向日葵花圈數(shù)、蜂巢、黃金矩形、黃金分割等都與斐波那契數(shù)列有關(guān)．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列可以用遞推的方法來(lái)定義：，則()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】用累加法判斷選項(xiàng)AB，對(duì)于C，只需證明即可,用數(shù)學(xué)歸納法證明;對(duì)于D，得到，即可判斷【詳解】對(duì)于A，由，可得，則，，，將上式累加得，又，則有.故A正確；對(duì)于B，由，可得，，將上式累加得，又，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)時(shí),,滿足規(guī)律,②假設(shè)當(dāng)時(shí)滿足成立當(dāng)時(shí)，則成立，滿足規(guī)律,故，令，則有成立，故C正確;對(duì)于D，由可得，所以，故D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫出雙曲線的一條漸近線方程__________．【答案】(或)【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得，，則雙曲線的漸近線方程為.故答案為：(或)14.正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為__________．【答案】【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，利用法向量求解線面角.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則;；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.故答案為：.15.在平面上給定相異的兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P與A，B在同一平面上，滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓我們稱作阿波羅尼斯圓．在中，，邊中點(diǎn)為，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，可得，利用可得，結(jié)合圖象即可得到與該圓相切時(shí)，最大【詳解】設(shè)，由邊中點(diǎn)為可得，因?yàn)?，所以，整理可得，所以的軌跡是圓心為，半徑為4的圓上(排除軸上的點(diǎn))，則當(dāng)與該圓相切時(shí)，最大，，因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋?6.平面上一系列點(diǎn)，其中，已知在曲線上，圓與y軸相切，且圓與圓外切，則的坐標(biāo)為__________；記，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】由圓與y軸相切得出圓的半徑為，由圓與圓外切，得出，進(jìn)而由遞推公式結(jié)合求解即可.【詳解】因?yàn)閳A與y軸相切，所以圓的半徑為，又圓與圓外切，所以.兩邊平方并整理得，結(jié)合，，得，即，，以此類推因?yàn)椋?，?數(shù)列的前6項(xiàng)和為故答案為：；.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，的外接圓為圓M．(1)求圓M的方程；(2)求直線被圓M所截得的弦長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知可得為正三角形，可求出圓心坐標(biāo)和半徑得求圓M的方程；(2)根據(jù)相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線CD的方程，求圓心到直線距離，利用幾何法求弦長(zhǎng).【小問1詳解】(1)因?yàn)椋?，所以為正三角形，由，得，所以外接圓圓心為，又半徑，所以圓M的方程為【小問2詳解】由題意得，，直線CD的斜率，直線CD方程為即，M到CD的距離為，所以CD被圓M截得的弦長(zhǎng)為.18.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)條件列方程組，求出首項(xiàng)和公比，利用通項(xiàng)公式可得答案；(2)先求出的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可求和.【小問1詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，解得，所?【小問2詳解】由(1)可得，設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，則.19.已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)與x軸交于點(diǎn)M，直線與交于點(diǎn)G(異于P)，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用拋物線的定義求解軌跡方程；(2)設(shè)出直線，聯(lián)立方程，得出，用表示出四邊形的面積，結(jié)合基本不等式求解最值.【小問1詳解】由題意點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，則.如圖，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則易知為的中位線，所以.聯(lián)立，得，，不妨設(shè)，則，四邊形面積為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以四邊形面積的最小值為.20.世界上有許多由旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ構(gòu)成的物體，呈現(xiàn)出各種美．譬如紙飛機(jī)、蝴蝶的翅膀等．在中，．將繞著旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示．(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)做輔助線，先證明線面垂直，利用線面垂直證明線線垂直；(2)根據(jù)三棱錐的體積最大，確定平面的垂直關(guān)系，利用空間向量求解平面的夾角.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，由題意可知，所以；因?yàn)槠矫?，所以平面；因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】由題意可知三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面；在平面內(nèi)作出，且與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接；因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面；根?jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特點(diǎn)可知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以；；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，則；易知平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面和平面的夾角為，則.所以平面和平面的夾角的余弦值為.21.甲、乙兩大超市同時(shí)開業(yè)，第一年的全年銷售額均為1千萬(wàn)元，由于管理經(jīng)營(yíng)方式不同，甲超市前n年的總銷售額為千萬(wàn)元，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多千萬(wàn)元．(1)分別求甲、乙超市第n年銷售額表達(dá)式；(2)若其中一家超市的年銷售額不足另一家超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購(gòu)，判斷哪一超市有可能被收購(gòu)？如果有這種情況，至少會(huì)出現(xiàn)在第幾年？【答案】(1)