統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)研討統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)研討1李老師給我的主題是：“統(tǒng)計(jì)與概率教材教法研究”李老師給我的主題是：2同步備課參考課堂新坐標(biāo)高中地理湘教版必修1課件章末歸納提升23同步備課參考課堂新坐標(biāo)高中地理湘教版必修1課件章末歸納提升24同步備課參考課堂新坐標(biāo)高中地理湘教版必修1課件章末歸納提升25啟示2：引發(fā)思考：認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)圖要認(rèn)識(shí)什么？分析統(tǒng)計(jì)圖要分析什么？畫圖要畫什么？（一）認(rèn)圖方法：1、看橫軸、縱軸各表示什么？2、看各數(shù)量各是多少？（二）分析方法：1、數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？2、數(shù)據(jù)怎樣變化？3、可以推測(cè)哪些情況？（三）畫圖重點(diǎn)：（老師示范）1、描點(diǎn)；2、標(biāo)數(shù)；3、連線。啟示2：引發(fā)思考：認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)圖要認(rèn)識(shí)什么？分析統(tǒng)計(jì)圖要分析什么6啟示3：統(tǒng)計(jì)圖沒有優(yōu)劣之分，各有優(yōu)點(diǎn)。條形統(tǒng)計(jì)圖便于橫向比較。折線統(tǒng)計(jì)圖便于縱向比較。啟示3：統(tǒng)計(jì)圖沒有優(yōu)劣之分，各有優(yōu)點(diǎn)。7啟示4：與統(tǒng)計(jì)無關(guān)的活動(dòng)不必展開。如：為什么參觀科技館的人數(shù)越來越多？越來越熱愛科學(xué)了?？萍拣^越來越發(fā)達(dá)?？萍拣^里的種類越來越多。管理改進(jìn)了。可能免費(fèi)了。……以上回答跟的知識(shí)無關(guān)。啟示4：與統(tǒng)計(jì)無關(guān)的活動(dòng)不必展開。8啟示5：對(duì)學(xué)生不正確或不嚴(yán)密的回答老師要給予引導(dǎo)。如：這個(gè)圖形是封閉圖形。讓學(xué)生說折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)時(shí)：有學(xué)生說，畫折線統(tǒng)計(jì)圖比較簡(jiǎn)便。還有學(xué)生說，折線統(tǒng)計(jì)圖統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)比較方便。對(duì)這些不正確或不嚴(yán)密的回答，教師要表態(tài)。啟示5：對(duì)學(xué)生不正確或不嚴(yán)密的回答老師要給予引導(dǎo)。9啟示6：要把課本靜態(tài)的圖片變成動(dòng)態(tài)的過程。如本課折線統(tǒng)計(jì)圖的出現(xiàn)，應(yīng)由教師示范出現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)圖還可以這樣畫。啟示6：要把課本靜態(tài)的圖片變成動(dòng)態(tài)的過程。10二、關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)的幾點(diǎn)思考。思考1：什么是隨機(jī)現(xiàn)象？案例：一次公開教學(xué)，為了引出用分?jǐn)?shù)表示可能性，老師創(chuàng)設(shè)情境：“王老師收到一封表揚(yáng)信，表揚(yáng)我們班一位女同學(xué)幫助低年級(jí)小朋友，你們猜猜她是誰。”教師的設(shè)想是引導(dǎo)學(xué)生用“不可能”、“可能”與“可能性”來回答，引出：不可能是男生；全班20個(gè)女生都有可能；每人的可能性都是1/20。不料第一個(gè)學(xué)生的回答就讓教師尷尬：“不用猜，我知道她是××。”……為什么會(huì)這樣呢？細(xì)細(xì)分析起來，我們認(rèn)為老師創(chuàng)設(shè)的情境有問題。二、關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)的幾點(diǎn)思考。思考1：什么是隨機(jī)現(xiàn)象11我們先來看確定現(xiàn)象和不確定現(xiàn)象。確定現(xiàn)象：結(jié)果是確定的。用“一定”、“不可能”來表述。如：太陽一定從東邊升起。太陽不可能從西邊升起。不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）：結(jié)果是不確定的。用“可能”、“可能性大小”來表述。如：拋硬幣可能正面朝上，也可能反面朝上，正面和反面朝上的可能性都是1/2。那么，反過來，用“一定”、“不可能”表述的都是確定現(xiàn)象嗎？用“可能”表述的都是隨機(jī)現(xiàn)象嗎？我認(rèn)為，答案是否定的。如：今天我一定完成作業(yè)。（這不是確定現(xiàn)象）南渡江的源頭可能在瓊中縣。（源頭是確定的，只是我們不清楚而已，事件本身不是隨機(jī)想象。

我們先來看確定現(xiàn)象和不確定現(xiàn)象。確定現(xiàn)象：結(jié)果是確定的。用“12以上課例中，一位女同學(xué)做好事的事件也一樣，事件已經(jīng)發(fā)生了，是確定現(xiàn)象，只是我們不知道她是誰而已，事件本身不是隨機(jī)現(xiàn)象。事件本身沒有多種結(jié)果。那么，怎么樣的事件是隨機(jī)現(xiàn)象呢？1、可以重復(fù)；2、多種結(jié)果；3、結(jié)果不確定，但呈現(xiàn)一定的規(guī)律。如：拋硬幣、摸球、拋骰子、轉(zhuǎn)盤等。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象，我們還需要進(jìn)一步明確：是預(yù)測(cè)而不是造句。(今天我一定要完成作業(yè)。）（今天老師可能要表揚(yáng)我。）是預(yù)測(cè)將來而不是判斷過去。事件本身應(yīng)有隨機(jī)性（多種結(jié)果）。（做好事的女同學(xué)可能是誰。）（小明可能是左撇子。）應(yīng)該是預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)將來的事件。以上課例中，一位女同學(xué)做好事的事件也一樣，事件已經(jīng)發(fā)生了，是13思考2：平均數(shù)、中位數(shù)用哪一個(gè)統(tǒng)計(jì)量表示一組數(shù)據(jù)的情況比較好？課本上常常有這樣的問題：同步備課參考課堂新坐標(biāo)高中地理湘教版必修1課件章末歸納提升214平均數(shù)：77中位數(shù)：84有兩個(gè)極端的數(shù)據(jù)50、43，所以要中位數(shù)。那么：為什么有極端數(shù)據(jù)時(shí)，要用中位數(shù)呢？中位數(shù)更接近大多數(shù)數(shù)據(jù)。如果只考慮接近大多數(shù)數(shù)據(jù)的話，那為什么不去掉極端數(shù)據(jù)之后，再求平均數(shù)呢？例如：在有極端數(shù)據(jù)時(shí)用中位數(shù)，在沒有極端數(shù)字時(shí)用平均數(shù)。平均數(shù)：77中位數(shù)更接近大多數(shù)數(shù)據(jù)。在有極端數(shù)據(jù)時(shí)用中位數(shù)，15同步備課參考課堂新坐標(biāo)高中地理湘教版必修1課件章末歸納提升216一組數(shù)據(jù)：1，2，7，8，9。用什么統(tǒng)計(jì)量表示這組數(shù)據(jù)的整體情況合適呢？中位數(shù)是：7平均數(shù)是：5.4去掉極端數(shù)據(jù)1、2后，求平均數(shù)是88更接近多大多數(shù)數(shù)據(jù)。怎么解決這個(gè)問題呢？一組數(shù)據(jù)：1，2，7，8，9。用什么統(tǒng)計(jì)量表示這組數(shù)據(jù)的整體17一組數(shù)據(jù)3、5、6、7、8，用什么統(tǒng)計(jì)量來表示它的整體情況合適呢？中位數(shù)是6。平均數(shù)是5.8。按規(guī)定，應(yīng)用平均數(shù)5.8，因?yàn)闆]有極端數(shù)據(jù)。但觀察這組數(shù)據(jù)，好象用6更合適，既接近各數(shù)，又處在中間。如何解決這個(gè)問題呢？一組數(shù)據(jù)3、5、6、7、8，用什么統(tǒng)計(jì)量來表示它的整體情況合18其實(shí)，以上討論（包括教材），在用“中位數(shù)”和“平均數(shù)”時(shí)，忽略了一個(gè)問題，就是“中位數(shù)”和“平均數(shù)”的用途。它們的用途是有區(qū)別的。表示總體水平時(shí)，用“平均數(shù)”。（兩組數(shù)據(jù)的比較）表示某個(gè)數(shù)據(jù)的位置時(shí)，用“中位數(shù)”。（組內(nèi)各元素的比較）表示頻率時(shí)，用“眾數(shù)”。同步備課參考課堂新坐標(biāo)高中地理湘教版必修1課件章末歸納提升219張奠宙（國際歐亞科學(xué)院的院士成員）說：數(shù)據(jù)（平均數(shù)和中位數(shù)）“沒有好壞，只有適合”。例如，小組1分鐘跳繩比賽，次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：

234，133，128，92，113，116，182，125，92

1.計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)。

2.你認(rèn)為哪個(gè)數(shù)據(jù)更好地表示這組同學(xué)的跳繩水平？

兩種都好，看你的用處。例如取決于問“總體水平”，還是“中上水平”。張奠宙（國際歐亞科學(xué)院的院士成員）說：20我們看一段采訪：唐彩斌：對(duì)于一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)相比，哪一個(gè)數(shù)更具有代表性？王權(quán)（浙江大學(xué)教授）：這個(gè)要看具體的情況而定。一般說來，平均數(shù)比中位數(shù)、眾數(shù)更有可靠性和代表性，但它易受極大或極小兩極端數(shù)值的影響。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有特大或特小兩極端數(shù)值時(shí)；或者一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)不確切時(shí)；或者資料屬于等級(jí)性質(zhì)時(shí)，用中位數(shù)比較合適。當(dāng)需要快速而粗略地找出一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)，可以用眾數(shù)。不能簡(jiǎn)單地給這三種數(shù)按代表性來排序，選用哪個(gè)數(shù)還是要看實(shí)際情況和需求。……從統(tǒng)計(jì)學(xué)上來說，選擇中位數(shù)和平均數(shù)也并非只考慮數(shù)據(jù)的分布是否對(duì)稱或者偏斜以及有否極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)，而是要看實(shí)際用途。我們看一段采訪：21（上海市靜安區(qū)教育學(xué)院曹培英）教師甲：我的學(xué)生會(huì)求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，但要區(qū)分什么情況下用平均數(shù)或中位數(shù)、眾數(shù)合適，連我自己都說不清楚。教師乙：我試了多種方式，啟發(fā)學(xué)生比較。如，課件出示：六（1）班同學(xué)體重情況如下表。體重/kg30333639424548人數(shù)245121043（1）在上面這組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)和眾數(shù)各是多少？（2）不用計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)之間的大小關(guān)系嗎？（小組討論）（3）用什么統(tǒng)計(jì)量表示他們體重的一般水平比較合適？前兩個(gè)問題學(xué)生都能回答，沒有疑義，第三個(gè)問題的討論“一片混亂”。教學(xué)過程中我?guī)状胃淖償?shù)據(jù)，讓學(xué)生看到平均數(shù)與中位數(shù)可能相差很大，眾數(shù)可能不存在，到最后也只是什么情況下用或不用眾數(shù)的看法比較一致。這是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的問題嗎？（上海市靜安區(qū)教育學(xué)院曹培英）22可見，在使用“平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)”時(shí)，還要考慮用途?？梢姡谑褂谩捌骄鶖?shù)、中位數(shù)和眾數(shù)”時(shí)，還要考慮用途。23思考3：概率計(jì)算與分析關(guān)注的是已發(fā)生的事件還是末發(fā)生的事件？“概率論起源的故事”。思考3：概率計(jì)算與分析關(guān)注的是已發(fā)生的事件還是末發(fā)生的事件？24十七世紀(jì)中葉，法國貴族德·梅勒在一次和賭友擲骰子中，各押賭注32個(gè)金幣．雙方約定，梅勒如果先擲出三次6點(diǎn)，或者賭友先擲三次4點(diǎn)，就贏了對(duì)方．賭博進(jìn)行了一段時(shí)間，梅勒已經(jīng)兩次擲出6點(diǎn)，賭友已經(jīng)一次擲出4點(diǎn)，這時(shí)候梅勒接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓，賭博只好中斷了．請(qǐng)問：兩個(gè)人應(yīng)該怎樣分這64個(gè)金幣才算合理呢？

賭友說，他要再碰上兩次4點(diǎn)，或梅勒要再碰上一次6點(diǎn)就算贏，所以他有權(quán)分得梅勒的一半，即梅勒分64個(gè)金幣的2/3，自己分64個(gè)金幣的1/3．梅勒爭(zhēng)辯說，不對(duì)，即使下一次賭友擲出了4點(diǎn)，他還可以得到1/2，即32個(gè)金幣；再加上下一次他還有一半希望得到16個(gè)金幣，所以他應(yīng)該分得64個(gè)金幣的3/4，賭友只能分得64個(gè)金幣的1/4．兩人到底誰說得對(duì)呢？

于是就寫信向當(dāng)時(shí)法國的最具權(quán)威的數(shù)學(xué)家帕斯卡請(qǐng)教，正是這封信使概率論向前邁出了第一步．帕斯卡是17世紀(jì)有名的“神童”數(shù)學(xué)家．可是，梅勒提出的“分賭注”的問題，卻把他難住了．他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點(diǎn)眉目，于是寫信給他的好友費(fèi)馬，兩人討論結(jié)果，取得了一致的意見：梅勒的分法是對(duì)的，他應(yīng)得64個(gè)金幣的3/4，賭友應(yīng)得64金幣的1/4．這時(shí)有位荷蘭的數(shù)學(xué)家惠更斯在巴黎聽到這件新聞；也參加了他們的討論．討論結(jié)果，惠更斯把它寫成一本書叫做《論賭博中的計(jì)算》（1657年），這就是概率論最早的一部著作．于是，一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)分支——概率論登上了歷史舞臺(tái)．把故事簡(jiǎn)化：十七世紀(jì)中葉，法國貴族德·梅勒在一次和賭友擲骰子中，各押賭注25張奠宙說，帕斯卡分配賭金的故事，可以在小學(xué)高年級(jí)出現(xiàn)，這是經(jīng)典。2002年，中央電視臺(tái)10頻道和觀眾互動(dòng)節(jié)目中有這樣的題目：“甲乙兩人出賭資5個(gè)金幣，形成10個(gè)金幣的賭資。規(guī)定最先贏得5局的人獲勝?，F(xiàn)在進(jìn)行了7局，甲贏4局，乙贏3局，因故不得不終止。問這些賭資該如何分配?！眴栯娨暸_(tái)演播廳的聽眾，三位都說按照七分之四和七分之三分配。但是，按照概率論的思考是，兩人在每一局的獲勝機(jī)會(huì)都一樣，即二分之一?，F(xiàn)在規(guī)定再賽一局——第8局。甲的形勢(shì)是：若甲贏第8局，則得到全部10個(gè)金幣，但贏的概率是二分之一，所以，期望值是5個(gè)金幣。若甲輸，那么甲乙打平，甲得一半5個(gè)金幣。但輸?shù)舻母怕室彩嵌种弧Ｋ缘玫?.5個(gè)金幣。合起來，甲總得7.5個(gè)金幣。分析乙的形勢(shì)，則只有在自己贏得第8局的情況下，才能獲得一半的賭資，這樣的概率只有二分之一，所以乙的期望值是2.5個(gè)金幣。這是1654年法國數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)馬通信中的思考。

張奠宙說，帕斯卡分配賭金的故事，可以在小學(xué)高年級(jí)出現(xiàn)，這是經(jīng)26更早些時(shí)候，法國有兩個(gè)大數(shù)學(xué)家，一個(gè)叫做巴斯卡爾，一個(gè)叫做費(fèi)馬。

巴斯卡爾認(rèn)識(shí)兩個(gè)賭徒，這兩個(gè)賭徒向他提出了一個(gè)問題。他們說，他倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)錢應(yīng)該怎么分？是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因?yàn)樽钤缯f的是滿5局，而誰也沒達(dá)到，所以就一人分一半呢？這兩種分法都不對(duì)。正確的答案是：贏了4局的拿這個(gè)錢的3／4,贏了3局的拿這個(gè)錢的1／4。為什么呢？假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。若是A贏滿了5局，錢應(yīng)該全歸他；A如果輸了，即A、B各贏4局，這個(gè)錢應(yīng)該對(duì)半分?，F(xiàn)在，A贏、輸?shù)目赡苄远际?／2,所以，他拿的錢應(yīng)該是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4,當(dāng)然，B就應(yīng)該得1／4。通過這次討論，開始形成了概率論當(dāng)中一個(gè)重要的概念—————數(shù)學(xué)期望。更早些時(shí)候，法國有兩個(gè)大數(shù)學(xué)家，一個(gè)叫做巴斯卡爾，一個(gè)叫做費(fèi)27用最簡(jiǎn)單的方法分析兩個(gè)賭徒獲勝的概率規(guī)則：先勝5局者贏。已經(jīng)賭了7局，甲勝了4局，乙勝了3局。第8局第9局甲勝乙勝甲勝乙勝乙贏占1/4乙勝甲勝甲贏占3/4可見，概率關(guān)注的是未來發(fā)現(xiàn)事件的可能性，而不是已經(jīng)發(fā)生的事件。當(dāng)然，我們可以從已發(fā)生的事件，推斷未發(fā)生的事件。但著眼點(diǎn)是未來，不是過去。這一點(diǎn)大家要清楚。用最簡(jiǎn)單的方法分析兩個(gè)賭徒獲勝的概率規(guī)則：先勝5局者贏。已經(jīng)28思考4：一個(gè)經(jīng)典案例給我們什么啟示？國際歐亞科學(xué)院院士張奠宙寫了一篇文章《一個(gè)數(shù)學(xué)故事引出一個(gè)經(jīng)典案例》對(duì)北京華應(yīng)龍老師的一堂課“游戲公平”做了評(píng)析，稱這堂課為經(jīng)典案例，可見，評(píng)價(jià)是非常高的。那么，這堂課是怎樣的一堂課呢？它經(jīng)典在哪里呢？我們先來看看這堂課。思考4：一個(gè)經(jīng)典案例給我們什么啟示？國際歐亞科學(xué)院院士張奠宙29同步備課參考課堂新坐標(biāo)高中地理湘教版必修1課件章末歸納提升230“游戲公平”教學(xué)實(shí)錄?！坝螒蚬健苯虒W(xué)實(shí)錄。31啟示1：體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的過程。體現(xiàn)了概率和統(tǒng)計(jì)的融合。問題——試驗(yàn)——數(shù)據(jù)——推斷父子爭(zhēng)籃球票——問題拋瓶蓋決定球票歸屬——試驗(yàn)正面朝上多還是反面朝上多——收集數(shù)據(jù)怎樣做才公平——推斷以上步驟體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的過程。啟示1：體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的過程。體現(xiàn)了概率和統(tǒng)計(jì)的融合。32啟示2：體現(xiàn)了“大數(shù)定律”。概率論的一個(gè)基本思想是“大數(shù)定律”。大數(shù)定律是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值。簡(jiǎn)單來講，就是試驗(yàn)的次數(shù)要足夠大才顯示出規(guī)律。本課試驗(yàn)分6個(gè)大組，每個(gè)大組又分4個(gè)小組，教師先收集每個(gè)小組的數(shù)據(jù)，再收集每個(gè)大組的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)，最后，收集全班的數(shù)據(jù)（全計(jì)）。從小組到大組到全班，數(shù)據(jù)反映的規(guī)律越來越明顯。這個(gè)過程體現(xiàn)了“大數(shù)定律”。體現(xiàn)了概率論的基本思想。啟示2：體現(xiàn)了“大數(shù)定律”。33啟示3、體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的另一個(gè)基本思想：統(tǒng)計(jì)規(guī)律未必蘊(yùn)含因果關(guān)系。統(tǒng)計(jì)不是演繹推理。概率是有規(guī)律的，但不是絕對(duì)的。統(tǒng)計(jì)也一樣，未必蘊(yùn)含因果關(guān)系，不是演繹推理，而是一種趨勢(shì)。當(dāng)學(xué)生探索出瓶蓋反面朝上的可能性比較大后，一句“媽媽拋了一次瓶蓋，卻是正面朝上?！边@是為什么呢？一句簡(jiǎn)單的話，又激起學(xué)生新的思考。為什么這樣呢？不是說反面朝上的可能性大嗎？經(jīng)過一番討論之后，學(xué)生認(rèn)識(shí)了“統(tǒng)計(jì)和概率”中的推測(cè)不是因果關(guān)系，不是演繹推理，只是一種趨勢(shì)。這正是“統(tǒng)計(jì)與概率”區(qū)別于其他科學(xué)的地方。啟示3、體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的另一個(gè)基本思想：統(tǒng)計(jì)規(guī)律未必蘊(yùn)含因果關(guān)系34啟示4：體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)觀念的培養(yǎng)。整個(gè)教學(xué)過程教師不是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概率的運(yùn)算，而是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，體會(huì)概率的規(guī)律和隨機(jī)性，最后點(diǎn)題也不是突出概率的計(jì)算，而是突出概率的特征，一句“一切皆有可能”把對(duì)概率的認(rèn)識(shí)推向了高潮。整個(gè)教學(xué)過程都突出了對(duì)學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念的培養(yǎng)。啟示