第八章多元函數(shù)微分學(xué)小結(jié)1.第八章多元函數(shù)微分學(xué)小結(jié)1.一基本要求1理解二元函數(shù)的概念，會求定義域.2了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念.3理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的求法.4掌握多元復(fù)合函數(shù)的微分法.5了解全微分形式的不變性.6掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法.2.一基本要求1理解二元函數(shù)的概念，會求定義域.2.7會求曲線的切線及法平面，曲面的切平面及法線.8了解方向?qū)?shù)的概念和計算公式.9了解梯度的概念和計算方法以及梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系.10掌握多元函數(shù)無條件極值和條件極值的求法及最大（小）值的求法.3.7會求曲線的切線及法平面，曲面的切平面及法線.3.二要點提示（一）函數(shù)的概念設(shè)是一個點集，如果對于每一點變量z按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱z是點P的函數(shù)，記為注意

1.從一元函數(shù)推廣2.多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別1.點函數(shù)的定義：4.二要點提示（一）函數(shù)的概念設(shè)是一個點集當時，當時，為n元函數(shù).為三元函數(shù)；……當時，為二元函數(shù)；當時，為一元函數(shù)；5.當時，當

2.多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成，可用一個式子所表示的函數(shù)，稱為多元初等函數(shù).一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.

6.2.多元初等函數(shù)：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連1．偏導(dǎo)數(shù)（二）偏導(dǎo)數(shù)與全微分（1）定義：偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的偏增量與自變量增量之比的極限.7.1．偏導(dǎo)數(shù)（二）偏導(dǎo)數(shù)與全微分（1）定義：偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的偏增（2）計算偏導(dǎo)數(shù)

求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實際上是一元函數(shù)的微分法問題，對一個變量求導(dǎo)，暫時將其余變量看作常數(shù).8.（2）計算偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實際上是一元函數(shù)的2．全微分全微分公式：全微分定義：的線性部分？9.2．全微分全微分公式：全微分定義：的線性部分？9.可導(dǎo)連續(xù)一元函數(shù)：可導(dǎo)函數(shù)可微多元函數(shù)連續(xù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在（三）多元函數(shù)連續(xù)﹑偏導(dǎo)存在與可微之間的關(guān)系多元函數(shù)：函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微10.可導(dǎo)連續(xù)一元函數(shù)：可導(dǎo)函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可偏導(dǎo)11.多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函（四）多元函數(shù)微分法（1）鏈式法則鏈式法則的實質(zhì)是函數(shù)必須對中間變量求導(dǎo)。依據(jù)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，可按照“連線相乘，分線相加”的原則來進行.1．多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法12.（四）多元函數(shù)微分法（1）鏈式法則1．多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法12則是x,y的復(fù)合函數(shù).設(shè)13.則是x稱為全導(dǎo)數(shù).求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于弄清函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu),它可用“樹形圖”來表示.14.稱為全導(dǎo)數(shù).求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于弄清14.注意：

15.注意：15.2．隱函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則方法2隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：方法1對方程兩端求(偏)導(dǎo)數(shù)，然后解出所求(偏)導(dǎo)數(shù).16.2．隱函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)（五）微分法在幾何上的應(yīng)用則曲線在點處切向量為是曲線上一點，其相應(yīng)的參數(shù)為（1）設(shè)空間曲線：1．空間曲線的切線及法平面17.（五）微分法在幾何上的應(yīng)用則曲線在點處切向量為是曲曲線在點處的切線方程為曲線在點處的法平面方程為18.曲線在點處的切線方程為曲線在點處的法平面

若曲線的方程表示為則在點處切向量為19.若曲線的方程表示為則在點處切向量為19.2．曲面的切平面及法線為曲面上一點,則曲面在點處的法向量為（1）設(shè)曲面方程為（隱函數(shù)形式）20.2．曲面的切平面及法線為曲面上一點,則曲面在點處的切平面方程為法線方程為21.切平面方程為法線方程為21.（2）若曲面方程為（顯函數(shù)形式）曲面上點的法向量為則可寫為隱函數(shù)形式22.（2）若曲面方程為（顯函數(shù)形式）曲面上點的法向量為則（六）方向?qū)?shù)與梯度2．計算公式：若可微，則其中為軸正向到方向的轉(zhuǎn)角方向?qū)?shù)的定義23.（六）方向?qū)?shù)與梯度2．計算公式：若注意:方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在

若可微,則其中為方向的方向角.24.注意:方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在若3.梯度：設(shè)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點，向量稱為在點的梯度.

梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.25.3.梯度：設(shè)（七）函數(shù)的極值﹑最大值和最小值這時稱為駐點。若在點處有極值，則駐點不一定是極值點1．極值的必要條件：26.（七）函數(shù)的極值﹑最大值和最小值這時稱為駐點是極小值；2．充分條件：設(shè)在駐點的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記(2)當時，不是極值；(1)當時，是極值;(3)當時，不能確定.

是極大值；27.是極小值；2．充分條件：設(shè)3．條件極值：求拉格朗日函數(shù)

求條件極值的方法：的極值.如函數(shù)下的極值稱為條件極值.在條件(2)用拉格朗日乘數(shù)法：(1)將條件代入函數(shù),轉(zhuǎn)化為無條件極值問題；28.3．條件極值：求拉格朗日函數(shù)求條件極值的方法：的極值.如4．函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和最小值的方法:

1.求出該函數(shù)在內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值;2.求出在的邊界上可能的最大值﹑最小值;3.比較大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.29.4．函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定駐點是否是最值點.唯一駐點，最大（小）值必存在.30.在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)唯一駐點，最大（?。┲当兀ㄒ唬┣笃珜?dǎo)數(shù)和全微分:1.求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分.典型例題31.（一）求偏導(dǎo)數(shù)和全微分:1.解32.解32.可導(dǎo),求解33.可導(dǎo),求解33.34.34.35.35.5.設(shè)的二階偏導(dǎo)連續(xù)，求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解令由隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有故36.5.設(shè)的二階偏導(dǎo)連續(xù)，求由方程所確定的隱函數(shù)而是由方程6.設(shè)所確定的函數(shù)，其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明解1函數(shù)y對x求導(dǎo)：？37.而是由方程6.設(shè)所確定的隱函數(shù)由確定解出即得.38.隱函數(shù)由解2由確定，隱函數(shù)求兩邊求全微分：從式解出代入式,得出6.39.解2由確定，隱函數(shù)即曲線，法平面方程：切線方程：其切向量為解方程組確定隱函數(shù)在點處的切線方程及法平面方程.7.求曲線（二）微分學(xué)的應(yīng)用40.即曲線所圍成的四面體的體積為常數(shù).8.證明：曲面解曲面在它上面任意一點處法向量為于是，曲面在它上面任意一點切平面方程為：即的切平面與坐標面處的41.所圍成的四面體的體積為常數(shù).8.證明：曲面解曲面在它上面任易知，該切平面在軸上的截距分別為：則切平面與坐標面所圍成的四面體的體積為切平面方程為：42.易知，該切平面在軸上的截距分別為：則切平面與坐標面所圍成的四9.求在點處沿從點到點解向量的方向即是l的方向.于是,

與l同向的單位向量的方向的方向?qū)?shù).43.9.求在點處沿從點到點解向量的方向即是l的方向.于是,44.44.

10.求在點解由已知,有而函數(shù)在