河北唐山市2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.拋物線/=4%上有兩個(gè)點(diǎn)4,3,焦點(diǎn)已知IAFI+I彼|=5,則線段A3的中點(diǎn)到V軸的距離是()

3

A.lB.-

2

5

C.2D.-

2

221

2.已知點(diǎn)耳,心是橢圓T+2=1(?！?〉°)的左、右焦點(diǎn)，A是。的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為I的直

線上，耳耳為等腰三角形，且/月乙產(chǎn)=150°,則C的離心率為()

1

A.B.-

63

1D3+6

C.一

2'6

3.方程2)2+jd+(y+2)2=10化簡(jiǎn)的結(jié)果是0

22

A-y；

A.—+—=1B.±+±=l

25162521

2222

C.±+^=lD.匕+土=1

2542521

4.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(3,CT2),若PC<4)=0.78,則P(2<J<3)=()

A.0.2B.0.24

C.0.28D.0.32

5.若函數(shù)/(x)=gd—(e+l)x+elnx+a恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

B.f-oo,e+^-

jfle\+co

D--"

6.若直線y=—%+機(jī)與曲線>只有一個(gè)公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是()

A.—2<m<2B.-2V5<ZW<2A/5

C.—2<m<2或加=5D.一2百<m<2A/5或加=5

22

7.已知橢圓C:j+與=1(?！?〉0)的右焦點(diǎn)為工，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，河為了軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線崢與橢圓C

ab

的一個(gè)交點(diǎn)，且|。4|=|。8|=2|。河|,則橢圓C的離心率為()

旦

V

8.已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2),若直線/過點(diǎn)P(3,l)且與線段A3相交，則直線/的斜率左的取值范圍是()

A.k>-^k<-2B.-2<k<-

22

C.kN—2D.k<-

2

9.設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程%爐+4%+%=0(%。°)在復(fù)數(shù)集。內(nèi)的根為為、巧，則由

2

a2(x-xl)(x-x2)=a2x-a2(^+x2)x+a2xix2=0,可得再+%=-2，%Z=，類比上述方法：設(shè)實(shí)系數(shù)一元

三次方程d+2/+3%+4=0在復(fù)數(shù)集c內(nèi)的根為XpX2,X3,則+君+后的值為

A.-2B.0

C.2D.4

10.雙曲線——9=2的漸近線的斜率是()

A.lB.±l

1

C.-lD.—

2

11.若直線y=%+一與曲線y=3—，4x—d有公共點(diǎn),則8的取值范圍是()

A.[-2A/2+1,2A/2+1]B.(3,272+1]

c.[3,2V2+1]D.[-2V2+1,3]

12.已知空間向量。=（1,2,—1）,0=（3,—2,—1）,則（）

A.|G|=^5B.allb

C.a_L/>D.（o+/>）?/>=10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

JT

13.在梯形ABC。中，ZABC=-,AD//BC,5。=24￡）=2帥=2.將梯形488繞">所在的直線旋轉(zhuǎn)一

2

周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為.

14.已知直線小辦+2y-3=0與4：3x+（l—a）y+4=0,±/2,則實(shí)數(shù)a的值為

15.已知直線/：y=4-x與曲線。：丁=J二巨，在曲線C上隨機(jī)取一點(diǎn)則點(diǎn)M到直線/的距離不大于④的

概率為.

16.tan75°—tanl5"-石tan75°tan15°=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，｛2｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且q=4=1,。6=3由，再從條

件①：%=5（%-4）；②：4=4（4—4）；③：Sg=683這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下列問題：

（1）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)g=g,數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為I,,求證：Tn<2

18.（12分）如圖，直四棱柱A3CD-4與GR中，底面ABC。是邊長為1的正方形，點(diǎn)E在棱8月上.

(1)求證：AG1DE；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作已知，使得。4,平面E&G，并給出證明.

條件①：E為8用的中點(diǎn)；條件②：BR//平面EA?；條件③：DBJBD].

(3)在(2)的條件下，求平面E41G與平面D4G夾角的余弦值.

19.(12分)如圖所示的四棱錐P—ABCD的底面ABC。是一個(gè)等腰梯形，AD/ABC,且A￡>=2AB=25C=4,P0

是△PAD的中線，點(diǎn)E是棱P￡)的中點(diǎn)

(1)證明：CE〃平面

(2)若平面平面ABC。，且？A=PD,PO=AO,求平面與平面PCD夾角余弦值

(3)在(2)條件下，求點(diǎn)。到平面上4B的距離

20.(12分)已知橢圓C：L+匕=1,點(diǎn)監(jiān)N在。上，4(2,1),且NMAN=90°

63

(1)求出直線MN所過定點(diǎn)R的坐標(biāo)；(不需要證明)

(2)過4點(diǎn)作的垂線，垂足為D,是否存在點(diǎn)。，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說

明理由.

y2

21.(12分)已知橢圓二+=13?>0)的右焦點(diǎn)為6(3,0),離心率為e.

ab2

(1)若e=12,求橢圓的方程;

2

(2)設(shè)直線>=丘與橢圓相交于A,5兩點(diǎn)，M,N分別為線段AF2,5凡的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)。在以MN為直徑的

圓上，且走<絲也，求左的取值范圍.

22

22.(10分)已知拋物線E：V=2°犬(°>0)過點(diǎn)。(1,2),尸為其焦點(diǎn)，過F且不垂直于x軸的直線/交拋物線E

于A,5兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足的垂心為原點(diǎn)O.

(1)求拋物線E的方程；

s

（2）求證：動(dòng)點(diǎn)P在定直線機(jī)上，并求世幽的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即可求出線段A5中點(diǎn)的橫坐標(biāo),

即得到答案.

【詳解】由已知可得拋物線/=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,

設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（%,%）和（9,%），

由拋物線的定義得|人尸|+忸刊=%+%+2=5,即x+%2=3,

線段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為土土三=』，

22

3

故線段AB的中點(diǎn)到了軸的距離是一.

2

故選：B.

2、D

c]

【解析】設(shè)由區(qū)|=2c,先求出點(diǎn)+得（i+@c+a="，化簡(jiǎn)即得解

【詳解】由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)怩區(qū)|=2c,則|0閭=°,

?.?△尸6月為等腰三角形，且/4心尸=150。，

尸閭=|￡司=2c.

過P作PE垂直x軸于點(diǎn)￡,則NP7JE=3O°,

：.\F2E\=y/3c,\PE\=c,即點(diǎn)尸（（1+石卜,c）.

點(diǎn)P在過點(diǎn)A且斜率為-的直線上，

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：(1)公式法(求出橢圓的。，c代入離心率的公式即得解)；(2)方

程法(通過已知找到關(guān)于離心率的方程解方程即得解).

3、D

【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長軸長求解.

【詳解】方程J尤2+⑶一2y+J尤2+⑶+2)2=I。,

表示平面內(nèi)到定點(diǎn)6(0,-2)、7^(0,2)的距離的和是常數(shù)10(10>4)的點(diǎn)的軌跡,

...它的軌跡是以耳、鳥為焦點(diǎn)，長軸2a=10,焦距2c=4的橢圓；

?-a=5,c=2,b=<25-4=y/21>

22

橢圓的方程是匕+上=1,即為化簡(jiǎn)的結(jié)果

2521

故選：D

4、C

【解析】依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性即可求得P(2<J<3)

【詳解】由隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布NR,。?)，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線％=3

由P?<4)=0.78,可得PC>4)=P(^<2)=1-0.78=0.22

則P(2<J<4)=1—2x0.22=0.56,

故P(2<J<3)=；P(2<J<4)=g*0.56=0.28

故選：c

5、D

【解析】分析可知，直線>與函數(shù)g(x)=g%2一(e+l)x+elnx的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的

單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】令/(無)=0,可得=-(e+l)x+elnx,構(gòu)造函數(shù)g(x)=-(e+l)x+elnx,其中x>0,

由題意可知，直線丫=-。與函數(shù)g(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),

且《)二/白+1)+￡=(")(1),由g，q)=。，可得尤=i或％=e,列表如下:

X(0,1)1(l'e)e(e,+co)

g'(x)+0—0+

g(x)增極大值減極小值增

所以，g(x)極大值=g6=—(-e,g(x)極小值=g(e)=-；e2,

作出直線y=R與函數(shù)g(x)的圖象如下圖所示:

—1111

由圖可知，當(dāng)——e9<-a<----e時(shí)，即當(dāng)一+e<〃<—e9時(shí),

2222

直線產(chǎn)一。與函數(shù)g(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)“九)有3個(gè)零點(diǎn).

故選：D.

6、D

【解析】根據(jù)曲線方程的特征，發(fā)現(xiàn)曲線表示在％軸上方的圖象，畫出圖形，根據(jù)圖形上直線的三個(gè)特殊位置，當(dāng)已

知直線位于直線4位置時(shí)，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由題意可知根

的判別式等于o即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的力的值；當(dāng)已知直線位于直線4及直線4的位置時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的加的值，寫

出滿足題意得，”的范圍，綜上，得到所有滿足題意得加的取值范圍

【詳解】根據(jù)曲線y得到52.0,解得：一2&■瓢26；y.O,

V44

畫出曲線的圖象，為橢圓在X軸上邊的一部分，如圖所示：

當(dāng)直線y=—%+根在直線4的位置時(shí)，直線與橢圓相切，故只有一個(gè)交點(diǎn)，

把直線丁=一%+用代入橢圓方程得：5x2-8jwc+4m2-20=0,得到?=（）,

即64m②-20（4療-20）=?；?jiǎn)得：病=25,解得機(jī)=5或7"=-5（舍去），

則m=5時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)直線y=—%+加在直線4位置時(shí)，直線與曲線剛好有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)m=2百，

當(dāng)直線y=—%+根在直線/3位置時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)機(jī)=-26，

則當(dāng)-26,m<20時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

綜上，滿足題意得加的范圍是-26,/<2行或機(jī)=5

故選：D

7、D

【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為耳，由橢圓的對(duì)稱性可知|。4|=|。6|=|。制，則N4A8=90。，所以

,“LLOM1..........................

tanZAf；f；即可得到周,|鉆|,但月|的關(guān)系，利用橢圓的定義進(jìn)而求得離心率.

【詳解】設(shè)橢圓。的左焦點(diǎn)為耳，連接4月，

因?yàn)閨。4|=|06|=|0周，所以N4AE=90°,如圖所示，

設(shè)=則"z:〃：2c=1:2:君，

2am+n3

故選：D.

8、B

【解析】直接利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式和直線的斜率的關(guān)系求出結(jié)果

【詳解】解：直線/過點(diǎn)P(3,l)且斜率為左，與連接兩點(diǎn)A(2,3),5(-3,-2)的線段有公共點(diǎn),

由圖，可知如=；^=-2，kBP=|,

，―33~r3Z

當(dāng)—24人(工時(shí)，直線/與線段A3有交點(diǎn)

2

9、A

【解析】用類比推理得到

322

x+2X+3X+4=(X-X1)(X-X2)(X-X3)=三—(石+x2+x3)x+(x1x2+x1x3+々演)x—XW演，再用待定系數(shù)法

得到X1+4+項(xiàng)，X/2+%也+工2%，再根據(jù)X；+君+X；=(玉+九2+九3)2-2(%馬+王龍3+%2七)求解.

【詳解】X3+2X2+3X+4

=(%-%|)(^-%2)(%-%3)

32

=X—(芯+%2+A^)X+(玉々+芯為+X2X.i)X—XxX2X2),

由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得:

X]+x2+x3=-2,xYx2+x；x3+x2x3=3,

X；+X]+X；

=4-6=-2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理以及待定系數(shù)法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.

10、B

2

【解析】由雙曲線爐-/=2的漸近線方程為：x-/=0,化簡(jiǎn)即可得到答案.

2

【詳解】雙曲線必—丁=2的漸近線方程為：%_/=0,即y=±x,

???漸近線的斜率是±1.

故選：B

11、D

【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，求出6的取值范圍

【詳解】將曲線的方程y=3二？化簡(jiǎn)為(x-2)2+(y_3)2=4(lV”3,0<x<4)

即表示以A(2,3)為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：

當(dāng)直線y=x+人經(jīng)過(0,3)時(shí)〃最大，即6=0+6=3,

當(dāng)直線與下半圓相切時(shí)〃最小,

|2-3+&|

由圓心到直線y=x+A距離等于半徑2,可得:

解得。=1+20(舍去)，或b=1-2也

結(jié)合圖象可得1-203

故選：D.

12、C

【解析】A利用向量模長的坐標(biāo)表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實(shí)數(shù)彳使口="，即可判斷；C向量數(shù)量

積的坐標(biāo)表示求a?即可判斷；D利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求(a+?力即可.

【詳解】因?yàn)閨a|=Jl+(_2)2+(_l)2=指,所以A不正確：

因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)彳使a=2b，所以B不正確；

因?yàn)?lx3+2x(—2)+(—1)x(—1)=0,故；11，所以C正確；

因?yàn)閍+0=(4,0,—2),所以(a+Z?)*=4x3+0x(—2)+(—2)x(—1)=14,所以D不正確

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13-,—##—n

33

【解析】畫出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可

【詳解】梯形A5CZ＞：

由題意可知空間幾何體的直觀圖如圖:

旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1,高為2的圓柱，挖去一個(gè)相同底面高為1的圓錐，

1

幾何體的體積為：^-xl2x2--x^-xl2xl=—

故答案為：y

14、-2

【解析】由4可得3a+2(l—a)=0,從而可求出實(shí)數(shù)。的值

【詳解】因?yàn)橹本€4:分+2y—3=0與4：3x+(l_fl)y+4=0,且I±Z2,

所以3a+2(l—a)=0,解得a=—2,

故答案：-2

【解析】畫出示意圖，根據(jù)圖形分析可知點(diǎn)M在陰影部分所對(duì)的劣弧上，由幾何概型可求出.

【詳解】作出示意圖

曲線c：y=J4—V是圓心為原點(diǎn),半徑為2的一個(gè)半圓.

|0+0-4|C人

圓心。到直線/：y=4一%距離=

VI2+12

而點(diǎn)。到直線人5:%+丁=2的距離為行，

故若點(diǎn)M到直線x+y=4的距離不大于72，

則點(diǎn)M在陰影部分所對(duì)的劣弧上，

19

由幾何概型的概率計(jì)算公式知，所求概率為的=1.

2乃2

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計(jì)算，屬于中檔題.

16、73

【解析】先由題得到tan75、tanl50=百+^tan750tanl5。，再整體代入化簡(jiǎn)即得解.

【詳解】因?yàn)閠an(75°-15°)=tan75Tanl5。

'71+tan75tan15

所以tan75°—tan15°=6+后tan75°tan15°，

則tan75°—tan15°tan75°tan15°=正+石tan75°tan15°-tan75°tan15°=A/5

故答案為百

【點(diǎn)睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2〃T

17>(1)an=n,瓦=

(2)證明見解析

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為乙等比數(shù)列｛2｝的公比為q,g>0,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前

”項(xiàng)和公式，列出方程組求解即可得答案；

2(11)

(2)求出c“=1一-=2------------,利用裂項(xiàng)相消求和法求出前”項(xiàng)和為7；,即可證明

磯〃+\nn+1)

【小問1詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為心^>0,

選①：%=5(。4—%)，又。1=4=1，4=3%,可得l+5d=3q,l+4d=5d,解得d=Lq=2,貝!)?！?1+〃-1=%

bn=2"T；

4

選②：b5=4(Z?4-Z?3),又〃1=岳=1,由=3①，可得l+5d=3q,q=4(/-/)，解得一口，q=2,則如=1+〃T

=n9bn=2〃T;

選③：=6S3,又ai=bi=l,〃6=3岳，可得l+5d=3q,8+28d=6(3+3d),解得d=Lq=2,貝！|a〃=l+”-1=〃，

bn=2〃T；

小問2詳解】

證明：由⑴知，3班詈

n(n+l)\nn+1

所以4=21l_g+g—；+L

18、(1)證明見解析;

(2)答案見解析；(3)巫

10

【解析】(1)連結(jié)3。，BR,由直四棱柱的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得5用，4G，再由正方形的性質(zhì)及線面垂直

的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.

(2)選條件①③，設(shè)4GcgA=O,連結(jié)OE,BDt,由中位線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得。與，OE、

4G1DB｛,再由線面垂直的判定證明結(jié)論；選條件②③，設(shè)AGcB]Di=o,連結(jié)OE,由線面平行的性質(zhì)及平

行推論可得。用，OE,由線面垂直的性質(zhì)有4G，。用，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；

(3)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求平面璃G、平面D&G的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求平面E&G與平面

DAG夾角的余弦值?

【小問i詳解】

連結(jié)BD,BR,由直四棱柱ABCD-A4C。知：BB]±平面A四G，，又AGu平面A31G2，

所以5片，AG，又4片。12為正方形，即4G，耳。1，又4。仆3耳=與，

.?.AG，平面D[DBB[,又DEU平面。。3用，

:.AGIDE.

【小問2詳解】

選條件①③，可使。4，平面3G?證明如下：

設(shè)AGC用2=0,連結(jié)0E,BD],又E,。分別是8月，42的中點(diǎn)，

：.OE/IBD\.

又DBi_LBD],所以。耳，OE.

由（1）知：4。1，平面2。3與，DBiU平面RDBB],則4G，。片.

又AGCOE=O,即。耳，平面E41G?

選條件②③，可使。用，平面E&G.證明如下：

設(shè)AGC耳。1=0,連結(jié)0E.

因?yàn)锽DJI平面E41c1,BDXu平面DlDBBi,平面DlDBBln平面用￡=OE,

所以BDJ/OE,又DBJBDi，則。用LOE.

由（1）知：4。]，平面2。34，DB[u平面DQBB],則AG，。耳.

又AGcOE=O,即。耳，平面E41G.

【小問3詳解】

由（2）可知，四邊形。1。3耳為正方形，所以DR=BD=應(yīng).

因?yàn)?。A,DC,。，兩兩垂直,

如圖，以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-盯Z,則￡＞（0,0,0）,a(1,0,3),4(1,1,0),q(0,1,72),

所以AG=（-1,1,0），%=（1,0,3）.

由（1）知：平面璃G的一個(gè)法向量為。用=（1,1,0）.

"?AG=-%+y=0

設(shè)平面D4G的法向量為〃={x,y,z},貝卜令％=&,則

n-DAX=x+V2z=0

\n-DB]_V2_VlO

設(shè)平面E41G與平面的夾角為氏則COS。=|cos^,

\n[\DB^2x7?10

所以平面E4G與平面D&G夾角的余弦值為典.

19、(1)證明見解析;

(2)-；

7

⑶M

7

【解析】(1)連接。C、OE,平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得OE//平面上鉆、CO//平面上4B,再根

據(jù)面面平行的判定可得平面OCEII平面PAB,利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論；

UUUI

(2)取8C的中點(diǎn)為連接QW,證明出POL平面ABC。，OM^BC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM、OD、OP

的方向分別為x軸、V軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面PC。所成銳

二面角的余弦值.

(3)利用等體積法，“"求。到平面上鉆的距離

【小問1詳解】

連接OC、OE,由。、E分別是棱A。、的中點(diǎn)，則OE〃叢，

平面/MB,R4u平面A4B,則OE//平面八"

又AD//BC,AD=2AB=2BC=4,

...AO//6C且AO=3C,四邊形ABCO是平行四邊形，則CO//AB,

CO2平面上4B,AB1平面P4B,則CO//平面上48

又COcOE=0,可得平面OCE//平面又CEu平面OCE

?*.CE//平面八"

【小問2詳解】

由B4=P￡>知：POLAD,

又平面PAD_L平面ABC。，平面PAD平面ABCD=AD,尸Ou平面PAD,

...P0,平面ABCD

取BC的中點(diǎn)為“，連接OM、OB,

由BC//OD且6C=工AD=OD,故四邊形O5C￡>為平行四邊形，

2

故。fi=CD=A3=2=BC=OC,則△OBC為等邊三角形，故OMLBC,

uum

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM>OD、OP的方向分別為X軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

易知PO=AO=2,OM=#),

所以4（0,—2,0）、網(wǎng)3―1,0）、C（瘋1,0卜￡）（020）、尸（0,0,2）,

AP=(0,2,2),AB=(后1,0),CD=(-73,1,0),DP=(0,-2,2)

/、m-AP=2y+2z=0

設(shè)平面A4B的法向量為m=(x,y,z),貝！|{'，令z=6，得加=（1,-6衛(wèi)）

m-AB=V3x+y=0

nCD=-y/3x1+%=0

設(shè)平面PC。的法向量為7=(%,%,zj,貝！]{令X]=l,得〃=(1,6,6)

n-DP=-2%+2Z]=0

,m-n]

設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為氏貝！Jcos6=cos<m,n>\=-n—=一

11剜"7

即平面PAB與平面PC。所成銳二面角的余弦值為-

7

【小問3詳解】

由（2）知：POL平面A6CD,則PO是三棱錐P—A3。的高且PO=2,

四邊形O6CD為平行四邊形，又BC=OD=2,即O5C￡>為菱形，

ABD1OC,而OC//AB,則3r)_LAB,且3。=26,

：.SABD=^AB-BD=2^,故

NJJ

又匕＞-ABO=%-.，由上易知：△上4^為等腰三角形且巳4=尸5=2虛,43=2,

3VpABD

：.SPAB=/7,則D到平面PAB的距離=土叵.

（2）存在，|。@=逑

【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理列出

方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）結(jié)合第一問的定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形斜邊

中線得到存在點(diǎn)。，使得為定值，求出結(jié)果.

【小問1詳解】

設(shè)點(diǎn)M（%,K）,N（%,%），

若直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：y=kx+m,

代入橢圓方程消去y并整理得：（1+2/）光2+4kmx+2m2_6=0,

—4km2m2-6

可得%+%2=—：―KT，%%=

1+2產(chǎn)1+2/

因?yàn)閃/W,所以AM.4V=0，BP(jq-2)(x2-2)+(^-1)(y2-1)=0,

根據(jù)必=2+m,%=在+m＞代入整理可得:

(k~+1)x/2+(km—k—2)(石+々)+(m—1)+4=0,

所以（左2+l）j：2.1+（歷及一1_2）1一4km

+(/及一if+4=0,

1+2V

整理化簡(jiǎn)得：（2左+3加+1）（2左+機(jī)—1）=0,

因?yàn)?（2,1）不在直線上，所以2人+機(jī)-1f0,

故2%+3m+1=0（左/1）,

于是肱V的方程為y=左1x-g

2」

所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn)P3，-3

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得N（%,-%）,

由AM-AN=0得：（%—2）（%—2）+（%—1）（—乂一1）二。，

得（七一2『+l—y；=0,結(jié)合a+?=1可得：3片一8再+4=0,

解得：士=；或蒞=2（舍）.

此時(shí)直線MN過點(diǎn)區(qū)||,-

【小問2詳解】

由（D可知|AR，/：；+[1+口=孚

因?yàn)锳DL肱V,取4?中點(diǎn)Q,貝!l|DQ|=

【點(diǎn)睛】直線過定點(diǎn)問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時(shí)，設(shè)出直線為

y=kx+b,聯(lián)立后用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，結(jié)合題干條件得到等量關(guān)系，求出左）的關(guān)系，進(jìn)而得到定

點(diǎn)坐標(biāo).

21、（1）+-^-=1；（2）（—00,—~~~]

【解析】（1）根據(jù)右焦點(diǎn)為F2（3,0）,以及￡=走，求得用兒C即可.

a2

y=kx

⑵聯(lián)立/2，根據(jù)M,N分別為線段AFi,BFi中點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)。在以MN為直徑的圓上，易得OM,ON,

—7+^=1

、片b-

則四邊形OMF2N為矩形，從而A尸2,5尸2,然后由月A?月5=0,結(jié)合韋達(dá)定理求解.

【詳解】（1）由題意得c=3,工=苴，

a2

所以〃=2y（3.

又因?yàn)椤?="+。2,

所以b2=3.

22

所以橢圓的方程為三+二=1.

123

y=kx

（2）由＜X2y-，得（"+層左2）x2—a262=0.

2

—r+T=l

、礦b"

設(shè)A（X1,Ji）,3（X2,J2）＞

a2b2

所以Xl+x=0,X1X2=一一----r-,

2b2+a2k2

依題意易知，OM±ON,四邊形0MF2N為矩形，

所以A尸2,3尸2.

_

因?yàn)?/p>