2021中考數(shù)學(xué)一輪專題匯編：正方形及四邊形

綜合問題

一、選擇題

i.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.平行四邊形的對(duì)邊相等

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.正方形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

2.如圖，四邊形45CD是邊長(zhǎng)為5的正方形，E是DC上一點(diǎn)，DE=1,將O4QE

繞著點(diǎn)幺順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與口48尸重合，則￡戶=（）

A.vcnB.V42

C.5也D.2^

3.如圖正方形48CQ中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)E±AB,AF=2AE,FC交BD于點(diǎn)、O,

則NDOC的度數(shù)為（）

B.67.50

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的

點(diǎn)E處，折痕為GH,若BEDEC=2口1,則線段CH的長(zhǎng)是（）

A.3A4C.5D.6

5.（2020.溫州）如圖，在RtZXABC中，ZACB=9Q°,以其三邊為邊向外作正方

形，過點(diǎn)。作CRLPG于點(diǎn)R,再過點(diǎn)。作PQLCR分別交邊DE,BH于點(diǎn)P,Q.若

QH=2PE,PQ=15,則CR的長(zhǎng)為

A.14B.15C.D.675

6.如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線,E為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFDAD,

與AC、DC分別交于點(diǎn)G、F,H為CG的中點(diǎn)，連接DE、EH、DH、FH.下列

結(jié)論：

AE2

①EG=DF；□□AEH+DADH=180°；DDEHFaDDHC；口若==不貝113s

At）J△HDH

=13SADHC，其中結(jié)論正確的有（）

41不A2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)

I)

7.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖X3—1—10所示的正方形（用陰影表

示），點(diǎn)在軸上，點(diǎn)、E［、E,、、E、、E.在軸上.若正方形

/yq112C2,343x1111

的邊長(zhǎng)為1,Z51C1<9=60°,51ci〃52c2〃83c3，則點(diǎn)/到x軸的距離是（）

8.（2020?東營(yíng)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B

重合），對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線，分別交

AC、BD于點(diǎn)E、F,交AD、BC于點(diǎn)M、N,下列結(jié)論：①△APE^^AME；

②PM+PN=AC；③PE?PF?尸。2；?APOF^ABNF；⑤點(diǎn)O在M、N兩點(diǎn)

的連線上.其中正確的是（=）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

APB

二、填空題

9.將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置

（如圖）,使得點(diǎn)D落在對(duì)角線CF上,EF與AD相交于點(diǎn)H,則HD=.（結(jié)

果保留根號(hào)）

10.如圖，四邊形ZCD尸是正方形，NCE4和NZ8F都是直角且￡,A,8三點(diǎn)

共線，AB=4,則陰影部分的面積是.

U.如圖，E,尸是正方形48C。的對(duì)角線ZC上的兩點(diǎn)，AC=8,AE=CF=2,則

四邊形BEDF的周長(zhǎng)是_______.

12.口ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且ACDBD,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：

，使得口ABCD為正方形.

13.如圖，正方形ABCO的頂點(diǎn)C,A分別在x軸，y軸上，BC是菱形BDCE

的對(duì)角線，若口口=60。，BC=2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是

14.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,N,P,G分別在邊AB,BC,CD,DA上，

g

點(diǎn)M,F,Q都在對(duì)角線BD上,且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形,則寸

＞正方形AEFG

的值等于.

15.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2娘，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是0C

的中點(diǎn),連接BE,過點(diǎn)A作AMDBE于點(diǎn)M,交BD于點(diǎn)F,則FM的長(zhǎng)為

16.如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)不定的正方形ABCD,它的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A,C分別在

邊長(zhǎng)為1的正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B,D在正六邊形內(nèi)部(包

括邊界)，則正方形邊長(zhǎng)a的取值范圍是.

三、解答題

17.已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQLBE于點(diǎn)Q,DP

±AQ于點(diǎn)P.

(1)求證：AP=BQ;

(2)在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)線段，使每對(duì)中較長(zhǎng)線

段與較短線段長(zhǎng)度的差等于PQ長(zhǎng).

-----------------KD

E

18.已知正方形ABCD中，BC=3,點(diǎn)E、F分別是CB、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，DF

=BE,連接AE、AF,過點(diǎn)A作AHDED于H點(diǎn).

(1)求證：DADFDDABE；

⑵若BE=1,求tanZAED的值.

19.如圖，在正方形中，E是。C邊上一點(diǎn)(與C不重合)，連接ZE,

將口2。￡沿ZE所在的直線折疊得到口幺莊，延長(zhǎng)所交3c于點(diǎn)G,連接ZG,

作與ZE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)〃，連接顯然ZE是/。4F的平分線，

EA是NQE尸的平分線.仔細(xì)觀察，請(qǐng)逐一找出圖中其他的角平分線(僅限于小于

180。的角的平分線)，并說明理由.

20.已知，在RtO45C中，口4。8=90。，BC=AC,AB=6,。是45的中點(diǎn)，動(dòng)

點(diǎn)E從點(diǎn)。出發(fā)，在48邊上向左或右運(yùn)動(dòng)，以CE為邊向左側(cè)作正方形CEFG,

直線8G,FF相交于點(diǎn)N(點(diǎn)E向左運(yùn)動(dòng)時(shí)如圖□，點(diǎn)￡向右運(yùn)動(dòng)時(shí)如圖口).

(1)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，直線8G與CQ的位置關(guān)系為；

(2)設(shè)。￡=x,NB=y,求了與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；

(3)如圖口，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為時(shí)，求□皮咕的度數(shù).

21.如圖，在RtA4BC中，ZC=90°，幺C=8,8C=6,點(diǎn)尸在Z8上，幺尸=2.點(diǎn)

E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA,PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A.B

勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B

時(shí)停止，點(diǎn)￡也隨之停止.在點(diǎn)￡、廠運(yùn)動(dòng)過程中，以斯為邊作正方形￡以汨，

使它與△48C在線段4B的同側(cè).設(shè)￡、/運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒。>0),正方形EFGH

與△4BC重疊部分的面積為S.

(1)當(dāng)/=1時(shí)，正方形EEG8的邊長(zhǎng)是；當(dāng)/=3時(shí)，正方形EFGH

的邊長(zhǎng)是;

(2)當(dāng)1</W2時(shí)，求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)/為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

2021中考數(shù)學(xué)一輪專題匯編：正方形及四邊形

綜合問題■答案

一'選擇題

1.【答案】B

2.【答案】D［解析］由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

口ADE沿AABF,

：.BF=DE=l,：,FC=6,,：CE=4,.?.?=<f5r=\受=2\,日.故選:D.

3.【答案】A［解析］連接BE，.?￡為48中點(diǎn)，F(xiàn)E1AB,.?.￡/垂直平分48,

：.AF=BF.,：AF=2AE,

：.AF=AB,：.AF=BF=AB,:.口48尸為等邊三角形,AZFBA=60°,BF=BC,：.

ZFCB=ZBFC=15°,,：四邊形ABCD為正方形，

??.ZDBC=45°,根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得N

￡><9C=15o+45o=60°.

4.【答案】B【解析】設(shè)CH=x,'：BE：EC=2D1,BC=9,：.EC=3,由折疊

可知，EH=DH=9-x,在Rt^ECH中，由勾股定理得：（9—x）2=32+x2,解得：

x=4.

5.【答案】A

【解析】本題主要考查了相似三角形和正方形的性質(zhì)，由題意知△CDPs^CBQ,

所以生=￡P(guān),Cg=CD-PE；解得：BC=2CD,所以CQ=2CP,貝I］CP=5,

CBBQCBCB-2PE

CQ=10,由于PQ〃AB,所以NCBA=NBCQ=NDCP,則假"NBCQ=S"/

DCP=S“NCBA=1,不妨設(shè)DP=x，則DC=2x,在RrADCP中，尤2+（2x）2=25,

解得x=^：DC=2后，BC=4萬，所以AB=10,4ABC的斜邊上的高=

4cBe=2x/?x46=4,所以CR=14,所以因此本題選A.

AB10

6.【答案】D【解析】逐項(xiàng)分析如下表:

序號(hào)逐項(xiàng)分析正誤

在正方形Z5CQ中，AB=BC=CD=DA,ZDAB=DB=

DBCD=nCDA=90°,ZACB=UACD=45°,,:EF〃AD,

①???四邊形EEC%、四邊形EFC5是矩形，AZEFC=DADCV

=90°,EF=DC,在Rt^CGE中，ZACD=45°,：.GF=

CF,：.EF-GF=CD-CF,即EG=￡>/

?；AGFC是等腰直角三角形，〃是CG的中點(diǎn)，I.GH=FH,

/HGF=QGFH=45。,：.ZEGH=DDFH=135°,又由□知

②EG=DF,.?.△EGA之ADF^SAS),ZHEF=DFDH,,：q

ZAEH=DAEF+DHEF=90°+DHEF,ZADH=DADC~

HFDH=90°-DFDH,：.ZAEH+DADH=180°

由□可知FH=CH,XDEF=DC,：.AEHF^/\

□q

￡>HC(SSS)

□nnEGHDADFH,：.EH=DH,/EHG=UDHF,：.ZEHGV

+DAHD=DDHF+DAHD=9009BPDEHD=UAHF=90°9

4E2

??.△EX。為等腰直角二角形，???幺^—3,??.設(shè)ZE—2x,AB

=3x,則?！?4(2x)2+(3x)2=^13%,：.EH=DH=^

xy13x="；x,SEDH=\3DHC

1V1

中，設(shè)邊上的高為〃，則＞，則

CO/z=MZ?E=ZS△"n"C=^ZCD-h

13

“2

1X3Smm不13on

—?x3xx—X2,^EDH——q,即3SED〃_13SDHC

2/43Jj曲DH/^DHC

△DHC-X2

7.【答案】Q，0)D解析：過小正方形的一個(gè)頂點(diǎn)?！熳魇］S于點(diǎn)。，過點(diǎn)

人作人尸，尸。于點(diǎn)R

1〃82c2〃83c3，

?.,正方形的邊長(zhǎng)為1,Z51C1O=60°,耳。

AZS3C3E4=60°,/。1。盧1=30。，NE282c2=30°，

111

.,.￡)[￡]=%]。]=],:.D[Ei=B,E,=',

1

.,.cos30°=12fz=-g^,解得：B2c2=R

：.B,E=\,COS30O=^TA

解得：83c3=1.

則2c3=；.

根據(jù)題意得出：

NO3c30=30。，ZC3D3Q=60°,ZA3D3F=30°,

111

??JD30=2X3=6,

FD〕Da-cos30。=；乂V=W.

33332O

則點(diǎn)名到X軸的距離

FQ=D3Q+FD=［+^=^\

8.［答案］B

t解薪】本題考查了垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、

等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是常見問題的綜合，

靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.綜合應(yīng)用垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，逐個(gè)判斷5個(gè)結(jié)論的正確性，得出結(jié)論.

：.ZAPE=ZAME=45°,'：PM±AE,：.ZAEP=ZAEM=9Q°,

,:AE=AE,：./\APE^/\AME(ASA)；

②過點(diǎn)N作NQLZC于點(diǎn)0,則四邊形尸NQE是矩形，...PNuE。，?.?正方形48cD,

AZPAE=ZMAE=45°,"JPMLAE,：.ZPEA=45°,：.ZR4E=ZAPE,PE=NQ,

??.△4PE等腰直角三角形，.?.ZE=PE,同理得:△NQC等腰直角三角形，.?.NQ=C0,

?；AAPE/AAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,：.

PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即尸Af+PN=ZC成立；

③,?正方形ABCD,：.AC±BD,：./EOF是直角，過點(diǎn)P分別作AC.BD的

垂線，分別交NC、AD于點(diǎn)E、R???NPEO和NPR9是直角，.?.四邊形0R9E

是矩形，：.PF=OE,在R/Z\P￡。中，WPE2+OE2=PO2,：.PE^+PFi=PCn,即

PE2+PF2=PO2成立；

④△3NF是等腰直角三角形，點(diǎn)尸不在48的中點(diǎn)時(shí)，^尸。尸不是等腰直角三

角形，所以^尸。尸與△5NF不一定相似，即△POES^BNF不一定成立；

⑤：是等腰直角三角形,叢PMNs叢AMP,：.是等腰直角三角形，

B/T

■:/MPN=90。,：.PM=PN,'：AP=—PM,BP=1-PN,：.AP=BP,.?.點(diǎn)尸是

22

48的中點(diǎn)，又為正方形的對(duì)稱中點(diǎn)，.?.點(diǎn)。在M、N兩點(diǎn)的連線上.綜上，

①②③⑤成立，即正確的結(jié)論有4個(gè)，答案選B.

二、填空題

9.【答案】也-1［解析了.?四邊形488為正方形，

：.CD=\,ZCDA=90°,

???邊長(zhǎng)為1的正方形48co繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形尸ECG的位置，

使得點(diǎn)D落在對(duì)角線C尸上，

，CF=&NCF￡=45。，.?.□?？跒榈妊苯侨切?，.?.Q8=￡)P=CF-CO=Y2-1.

故答案為也-L

10.【答案】8［解析了.?四邊形NCQ尸是正方形，

：.AC=AF,ZCAF=90°,：.ZCAE+ZBAF=90°,

又NCZE+NEG4=90。，

ZECA=ZBAF,則在DZCE和口久8中，

NAEC=，ABF=90%

，ECA=4BAF,

AC=AF，

.?.□ZCEdE￡B(AAS),：.AB=CE=4,

???陰影部分的面積=。8??！?94乂4=8.

11.【答案】8君［解析］如圖，連接AD交ZC于點(diǎn)

???四邊形幺5CQ為正方形，J.BDLAC,OD=OB=OA=OC,

,:AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,即OE=OF,

四邊形BEDF為平行四邊形，且BDLEF,

...四邊形尸為菱形，

：.DE=DF=BE=BF,

-：AC=BD=8,OE=OF=','=2,由勾股定理得:￡>E="OD2+OENRd?+￡=26,

：.四邊形BEDF的周長(zhǎng)=4DE=4x2出=8耳，故答案為:8杈

12.【答案】口及仞二切。（答案不唯一）【解析】□口ABCD的對(duì)角線AC與BD相

交于點(diǎn)O,且ACEJBD,.'RABCD是菱形，當(dāng)口8人口=90。時(shí)，菱形ABCD為正

方形.故可添加條件：口8人口=90。.

13.【答案】（甲+2,7）【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DGC1BC于G，DF，x軸于

F,，.?在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,二ABCD是等邊三角形，

DF=CG=；BC=1,CF=DG=6.*.OF=>j3+2,.\D（^3+2,1）.

14.【答案】:【解析】設(shè)BD=3a，ZCDB=DCBD=45°,且四邊形PQMN為

正方形，.?.DQ=PQ=QM=NM=MB,.?.正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為a,正方形AEFG

131339

的對(duì)角線AF=,BD=]a,???正方形對(duì)角線互相垂直，「.S正方形AEFG=，x2aX]a=ga2,

S8

?正方形MNPQa92一--

,?s9

°正方形AEFG

8a

15.【答案】々【解析】□四邊形ABCD為正方形，.?.AO=BO,ZAOF-DBOE

=90°,VAM1BE,ZAFO=DBFM,AZFAO=DEBO,在DAFO和DBEO中，

{nAOF=DBOE

|AO=BO,/.AAFO^ABEO(^S4),.*.FO=EO,?正方形ABCD的邊

^□FAO=DEBO

長(zhǎng)為2衣,E是OC的中點(diǎn)，.*.FO=EO=1=BF,BO=2,，在放ABOE中,

BE=qi2+22=#,由□FBM=DEBO,ZFMB=DEOB,可得口BFM"BEO,

FMBFFM1x/5

/,EO=BE,n即n丁=1'，，F(xiàn)M=5,

16.【答案】守口與一十【解析】DABCD是正方形，口人：6=。="人（2，口。的

取值范圍與AC的長(zhǎng)度直接相關(guān).如解圖口，當(dāng)A,C兩點(diǎn)恰好是正六邊形一組

對(duì)邊中點(diǎn)時(shí)，。的值最小，□正六邊形的邊長(zhǎng)為1,DAC=艱，DAB=tz=^AC

=可;如解圖口，連接MN,延長(zhǎng)AE,BF交于點(diǎn)G,□正六邊形和正方形ABCD,

□□MNG、DABG>DEFG為正三角形，設(shè)AE=BF=x,貝UAM=BN=1—x,

AG=BG=AB=l+x=a,DGM=MN=2,DBNM=60°,

BCa

UsinOBNM=sin60°=□小（]一x）=q,□娟（2—a）=a,解得，a=

^￡?=3—^.□正方形邊長(zhǎng)a的取值范圍是當(dāng)土與一/

三、解答題

17.【答案】

（1）證明：□四邊形ABCD是正方形,

AAB=AD,ZBAQ+□DAP=90°=□DAB,

VDPXAQ,

AZDAP+DADP=90°,

AZBAQ=DADP.

在ADAP和DABQ中，

f□APD=DAQB=90°

1DADP=DBAQ,（2分）

〔AD=AB

/.ADAP^AABQ（^5）,

.\AP=BQ.（4分）

（2）解:DAQ和AP；（5分）

②DP和AP；（6分）

③AQ和BQ；（7分）

@DP和BQ.（8分）

【解法提示】□由題圖直接得：AQ-AP=PQ；

②：AABQ^ADAP,

，AQ=DP,

.*.DP-AP=AQ-AP=PQ；

③：AABQ^ADAP,

，BQ=AP,

.*.AQ-BQ=AQ-AP=PQ；

④：AABQ^ADAP,

，DP=AQ,BQ=AP,

.,.DP-BQ=AQ-AP=PQ.

18.【答案】

⑴證蔭：在DADF和DABE中，

1AB=AD

]DABE=DADF=90o,

〔EB=FD

△ADF^AABE（S45）.（3分）

（2）解：DAB=3,BE=1,

/.AE=^10,EC=4,

.,.ED=、CD2+EC2=5,（4分）

設(shè)AH=x,EH=y,

在AHE和AHD中，

X2+y2=10

<

、x2+（5—y）2=9'

解得，x=1.8,y=2.6,（6分）

AHx1.89

「?山〃NAED=EH=y=Z613-(8分)

19.【答案】

懈疝過點(diǎn)〃作HNLBM千N,利用正方形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，證明UABG

mLAFG,可推出ZG是N8N尸的平分線，GZ是N8G尸的平分線;證明口/BG四

△GNH,推出"V=CN,得至*/DCH=/NCH,推出CH是NQC”的平分線;再

證/HGN=ZEGH,可知GH是ZEGM的平分線.

解:過點(diǎn)H作HN±BM于N,

則N"VC=90。，

???四邊形4BCD為正方形，

：.AD=AB=BC,ZD=ZDAB=ZB=ZDCB=ZDCM=90°.

①,?將口幺?！暄谹E所在的直線折疊得到口幺莊，

DADE^^AFE,

：.ZD=ZAFE=ZAFG=9Q°,AD=AF,/DAE=/E4E,：.AF=AB.

X'：AG=AG,

RtM5G2Rt』EG(HL),

AZBAG=ZE4G,ZAGB=ZAGF,

??.ZG是N84F的平分線，GN是N8G/的平分線.

②由①知，ZDAE=ZE4E,/BAG=/E4G,

又：ZBAD=90°,

：.ZGAF+ZEAF=^90°=45°,BPZGAH=45°.

'JGHLAG,

：.ZGHA=90°-ZGAH=45°,

...□ZG〃為等腰直角三角形，:.AG=GH.

VZAGB+ZBAG=90°,ZAGB+ZHGN=90°,

：.ZBAG=ZNGH.

XVZB=ZHNG=90°,AG=GH,

O48GdGMf(AAS),

：.BG=NH,AB=GN,：.BC=GN.

：.BC-CG=GN-CG,

：.BG=CN,：.CN=HN.

'：ZHNC=90°,

：./NCH=/NHC='、x9G。=45。,

：./DCH=/DCM-/NCH=45。,

：.ZDCH=ZNCH,

.'.CH是NQCW的平分線.

③ZJGB+/HGN=90。,/AGF+ZEGH=90°,

由①知，ZAGB=ZAGF,

：.ZHGN=ZEGH,

.??GH是NEGAf的平分線.

綜上所述，ZG是N34F的平分線，GZ是N8GE的平分線，C”是NQCW的平

分線，GH是NEGW的平分線.

20.【答案】

⑴BGDCD；

【解法提示】□四邊形EFGC是正方形，DCG=CE,DGCE=nGFE=nFEC=

90°,nnACB=DGCE=90°,DDGCB=HECA,DGC=CE,CB=CA,

□QCAEDnCBG.XnDACB=90o,BC=AC,。是Z5的中點(diǎn)，口口磁值二口口后

=45°,□50)=45°,nnCBG=DBCD,OBGOCD.

(1)UCB=CA,CDDAB,DACB=90°,

DCD=BD=AD=3,DCBA=nA=45°,

^j^DCAEnnCBG,

nnCBG=DA=45°,

□□GBA=□GBC+□CBA=90°.

□□5W+DSA?=90°,HBEN+nCED=90°,

nnBNE=DCED,

nnEBN=ncDE=90°,

□DNBEnDEDC,

BN_BE

UED=