線性方程組與矩陣《線性代數(shù)》&人民郵電出版社01目錄/Contents1.11.21.31.4矩陣的概念及運算分塊矩陣線性方程組與矩陣的初等變換初等矩陣與矩陣的逆矩陣目錄/Contents1.1矩陣的概念及運算一、矩陣的定義二、矩陣的線性運算三、矩陣的乘法四、矩陣的轉(zhuǎn)置一、矩陣的定義一、矩陣的定義定義1元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣本書除特別指明外，都是指實矩陣.稱為復(fù)矩陣.一、矩陣的定義01OPTION02OPTION03OPTION一、矩陣的定義一、矩陣的定義一、矩陣的定義定義21.矩陣的加法矩陣的加法滿足如下的運算規(guī)律：二、矩陣的線性運算123定義31.矩陣的加法矩陣的數(shù)乘運算滿足如下的運算規(guī)律：矩陣的加法和矩陣的數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.2.矩陣的數(shù)乘123456定義42.矩陣的數(shù)乘例1解三、矩陣的乘法定義5三、矩陣的乘法例2解三、矩陣的乘法注意：例3解三、矩陣的乘法54321三、矩陣的乘法證明三、矩陣的乘法例4三、矩陣的乘法三、矩陣的乘法例5四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義61234四、矩陣的轉(zhuǎn)置例6四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義7AB四、矩陣的轉(zhuǎn)置例7證明目錄/Contents1.11.21.31.4矩陣的概念及運算分塊矩陣線性方程組與矩陣的初等變換初等矩陣與矩陣的逆矩陣目錄/Contents1.2分塊矩陣一、分塊矩陣的概念二、分塊矩陣的運算一、分塊矩陣的概念一、分塊矩陣的概念矩陣的按列分塊一、分塊矩陣的概念按列分塊按列分塊一、分塊矩陣的概念二、矩陣的線性運算二、矩陣的線性運算例1解二、矩陣的線性運算二、矩陣的線性運算二、矩陣的線性運算例2解二、矩陣的線性運算二、矩陣的線性運算例3二、矩陣的線性運算例4證明目錄/Contents1.11.21.31.4矩陣的概念及運算分塊矩陣線性方程組與矩陣的初等變換初等矩陣與矩陣的逆矩陣目錄/Contents1.3線性方程組與矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、求解線性方程組求解線性方程組例1解線性方程組對應(yīng)的增廣矩陣一、矩陣的初等變換交換方程組的第一個方程和第二個方程對應(yīng)的增廣矩陣正好是交換第一行和第二行1把方程組的第一個方程乘以-2加到第二個方程和第三個方程上對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第一行的每個元素乘以

-2分別加到第二行、第三行對應(yīng)位置的元素上2一、矩陣的初等變換第二個方程乘以-1加到第三個方程上，第三個方程乘以-1對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第二行的每個元素乘以-1加到第三行對應(yīng)位置的元素上，第三行每個元素乘以-13第三個方程乘以2

加到第二個方程上，第二個方程乘以

4對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第三行的每個元素乘以2加到第二行對應(yīng)位置的元素上，第二行每個元素乘以行階梯形矩陣一、矩陣的初等變換第三個方程乘以-1加到第一個方程上，第二個方程乘以1加到第一個方程上對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第三行的每個元素乘以-1，第二行的每個元素乘以

1，都加到第一行對應(yīng)位置的元素上5

最后一個方程組有唯一解，它和原方程組是同解方程組，所以原方程組有唯一解：

,,,行最簡形矩陣一、矩陣的初等變換上面解方程組的過程中，我們主要用到了下列三種方程之間的變換：（1）交換兩個方程；（2）一個方程乘上一個非零數(shù)；（3）一個方程乘上一個非零數(shù)加到另一個方程上.而從此例看到，對方程組實施上面三種變換，等價于對方程組的增廣矩陣的行實施了類似地三種變換，即交換兩行、某一行乘以一個非零數(shù)（即某一行的每個元素都乘以同一個數(shù)）、某一行的倍加到另一行上（即某一行的每個元素都乘以數(shù)，再加到另一行的對應(yīng)元素上）.一、矩陣的初等變換由此可見，對矩陣實施這些變換是十分必要的，為此，我們引入如下定義：將矩陣的某一行的倍數(shù)加到另一行，用

表示將矩陣第

行的

倍加到第

行.稱為矩陣的初等行變換定義1下面三種矩陣的變換：一、矩陣的初等變換321交換矩陣的某兩行，我們用表示交換矩陣的第、兩行；矩陣的某一行乘以非零數(shù)，用

表示矩陣的第

行元素乘以非零數(shù)

；將上面定義中的“行”換成“列”（記號由“r”換成“c”，就得到了矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換是；變換的逆變換是.顯然，三種初等行（列）變換都是可逆的（簡單的說，就是變換可以還原的），它們的逆變換分別為：一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換例201OPTION02OPTION03OPTION04OPTION試用矩陣的初等行變換將矩陣

先化為行階梯形矩陣，再進(jìn)一步化為行最簡形矩陣.例3解行階梯形矩陣一、矩陣的初等變換行最簡形矩陣

對于行最簡形矩陣再實施初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣.

例如，將上面的行最簡形矩陣再實施初等列變換最后一個矩陣

稱為矩陣

的標(biāo)準(zhǔn)形，寫成分塊矩陣的形式，則有一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換01OPTION02OPTION03OPTION04OPTION一、矩陣的初等變換123二、求解線性方程組04OPTION以首元為系數(shù)的未知量作為固定未知量，留在等號的左邊，其余的未知量作為自由未知量，移到等號右邊，并令自由未知量為任意常數(shù)，從而求得線性方程組的解.寫出線性方程組的增廣矩陣

；01OPTION02OPTION對

實施初等行變換，化為行最簡形矩陣

；03OPTION寫出以

為增廣矩陣的線性方程組；二、求解線性方程組解方程組例4解對該線性方程組的增廣矩陣實施初等行變換，二、求解線性方程組從而原方程組等價于令

，移項，得原方程組的解為：，其中

為任意常數(shù)二、求解線性方程組二、求解線性方程組例5解二、求解線性方程組01OPTION02OPTION03OPTION二、求解線性方程組證明二、求解線性方程組二、求解線性方程組二、求解線性方程組例6解二、求解線性方程組解方程組例7解二、求解線性方程組目錄/Contents1.11.21.31.4矩陣的概念及運算分塊矩陣線性方程組與矩陣的初等變換初等矩陣與矩陣的逆矩陣目錄/Contents1.4初等矩陣與矩陣的逆矩陣一、方陣的逆矩陣二、初等矩陣二、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用一、方陣的逆矩陣定義1一、方陣的逆矩陣1234一、方陣的逆矩陣?yán)?一、方陣的逆矩陣?yán)?定義2對

階單位矩陣

實施一次初等變換得到的矩陣稱為

階初等矩陣.由于初等變換有三種,對

階單位矩陣

實施一次初等變換得到的初等矩陣也有三類：交換單位陣

的第

行和第

行，或交換

的第

列和第

列，得到的初等矩陣記為

.

即（1）二、初等矩陣（2）（3）將單位陣

的第

行乘以

加到第

行（或?qū)挝魂?/p>

的第

列乘以

加到第

列）得到的矩陣記為

.即用非零的數(shù)

乘單位陣

的第

行或第

列得到的初等矩陣記為

.

即二、初等矩陣初等矩陣都是可逆的，并且初等矩陣的逆矩陣仍為同一類型的初等矩陣，

即：命題1，，二、初等矩陣命題2設(shè)

是一個

矩陣，對

施行一次初等行變換，相當(dāng)于在

的左邊乘以相應(yīng)的

階初等矩陣；對

施行一次初等列變換，相當(dāng)于在

的右邊乘以相應(yīng)的

階初等矩陣.二、初等矩陣二、初等矩陣?yán)?解二、初等矩陣?yán)?解三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用定理1123證明三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用首先構(gòu)造分塊矩陣

；01OPTION02OPTION對矩陣

實施初等行變換，將

化為行最簡形矩陣；03OPTION

如果

不能行等價于

，則矩陣

不可逆；若

能行等價于

，則

可逆，且

就行等價于

.判別矩陣是否可逆，并在可逆時求的具體步驟為：三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用例4解（1）判斷下列矩陣是否可逆？若可逆則求其逆矩陣.三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用解（2）例4判斷下列矩陣是否可逆？若可逆則求其逆矩陣.三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用所以矩陣可逆,并且三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用首先構(gòu)造分塊矩陣

；01OPTION02OPTION對矩陣

實施初等行變換，將

化為行最簡形矩陣；具體步驟為：03OPTION

若

能行等價于

，則

可逆，且

就變成了

.三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用解所以（1）解下列矩陣方程：例5（1）（2）（3）三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用(2)對于方程

，可以先用初等行變換求解方程

，再轉(zhuǎn)置求出

.所以

，從而.三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用三、初等矩陣與逆矩陣的應(yīng)用(3)定理2謝謝觀看《線性代數(shù)》&人民郵電出版社方陣的行列式《線性代數(shù)》&人民郵電出版社02目錄/Contents2.12.22.32.4行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開矩陣求逆公式與克萊默法則目錄/Contents2.1行列式的定義一、排列二、n階行列式三、幾類特殊的n

階行列式的值一、排列定義1定義2一、排列定義3一、排列定義4定義5一、排列定理1一、排列定理2二、n

階行列式二、n

階行列式01OPTION02OPTION03OPTION二、n

階行列式二、n

階行列式二、n

階行列式例1解二、n

階行列式例1證明三、幾類特殊的n

階行列式的值例2證明三、幾類特殊的n

階行列式的值例3證明三、幾類特殊的n

階行列式的值三、幾類特殊的n

階行列式的值例4證明目錄/Contents2.12.22.32.4行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開矩陣求逆公式與克萊默法則目錄/Contents2.2行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)二、行列式的計算舉例三、方陣可逆的充要條件設(shè)，稱為

的轉(zhuǎn)置行列式.性

質(zhì)1行列式

與它的轉(zhuǎn)置行列式

相等.互換行列式的兩行（或兩列），行列式變號.，性

質(zhì)2記為或.定義1一、行列式的性質(zhì)推論1若行列式中有兩行（或兩列）對應(yīng)元素相等，則行列式等于零.證明把行列式

中有相同元素的兩行（或兩列）互換，則有

，因此.若行列式的某一行（或列）有公因子

，則公因子

可以提到行列式記號外面；或者說，用

乘行列式的某一行（或某一列），等于用

乘以該行列式.記作

（或

）.性

質(zhì)3例1一、行列式的性質(zhì)推論2若行列式的某一行（或某一列）元素全為零，則行列式的值為零.推論3若行列式某兩行（或兩列）元素對應(yīng)成比例，則行列式為零.定理1設(shè)

是

階方陣，則等式

成立.一、行列式的性質(zhì)行列式的拆分定理性

質(zhì)4一、行列式的性質(zhì)例2一、行列式的性質(zhì)第

行（或第

列）乘以數(shù)

加到第

行（或第

列）上記作

（或

）.

行列式某一行（或某一列）的

倍加到另一行（或另一列）的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變.即性

質(zhì)5一、行列式的性質(zhì)例3計算行列式解二、行列式的計算舉例二、行列式的計算舉例解例4二、行列式的計算舉例解例5二、行列式的計算舉例證明例6二、行列式的計算舉例二、行列式的計算舉例解例7二、行列式的計算舉例定理2三、方陣可逆的充要條件證明三、方陣可逆的充要條件例8解三、方陣可逆的充要條件三、方陣可逆的充要條件例9解三、方陣可逆的充要條件三、方陣可逆的充要條件定理3證明三、方陣可逆的充要條件三、方陣可逆的充要條件推論4證明三、方陣可逆的充要條件例10證明目錄/Contents2.12.22.32.4行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開矩陣求逆公式與克萊默法則目錄/Contents2.3行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式按行（列）展開，元素

的余子式記為元素

的代數(shù)余子式

一、余子式與代數(shù)余子式則

的

元素的余子式和代數(shù)余子式分別為,

的

元素的余子式和代數(shù)余子式分別為,例如，設(shè)矩陣一、余子式與代數(shù)余子式則有和分別稱為

按第

行展開的展開式及按第

列展開的展開式.定理設(shè)行列式二、行列式按行（列）展開二、行列式按行（列）展開證明二、行列式按行（列）展開二、行列式按行（列）展開例1解計算行列式（每個行列式均按第二行展開）二、行列式按行（列）展開若將所給行列式直接按第三行展開，則有二、行列式按行（列）展開二、行列式按行（列）展開例2解二、行列式按行（列）展開例3證明二、行列式按行（列）展開或推

論

設(shè)

是行列式

中元素

的代數(shù)余子式，則證明因為

，所以只要證明第一個公式即可.將

按第

行展開，有二、行列式按行（列）展開即二、行列式按行（列）展開關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：或其中

是克羅內(nèi)克（Kronecker）符號.二、行列式按行（列）展開目錄/Contents2.12.22.32.4行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開矩陣求逆公式與克萊默法則目錄/Contents2.4矩陣求逆公式與克萊默法則一、伴隨矩陣與矩陣的求逆公式二、克萊默法則一、伴隨矩陣與矩陣的求逆公式定義一、伴隨矩陣與矩陣的求逆公式定理1例1一、伴隨矩陣與矩陣的求逆公式例2解二、克萊默法則二、克萊默法則證明二、克萊默法則二、克萊默法則例3解二、克萊默法則定理3定理4定理5定理6例4二、克萊默法則解謝謝觀看《線性代數(shù)》&人民郵電出版社向量空間與線性方程組解的結(jié)構(gòu)《線性代數(shù)》&人民郵電出版社03目錄/Contents3.13.23.33.4向量組的線性相關(guān)性向量組的秩與矩陣的秩線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.5向量空間向量組及其線性組合目錄/Contents3.1向量組及其線性組合一、向量的概念及運算二、向量組及其線性組合三、向量組的等價一、向量的概念及運算定義1一、向量的概念及運算這兩種運算稱為向量的線性運算一、向量的概念及運算一、向量的概念及運算例1二、向量組及其線性組合定義

2二、向量組及其線性組合例2二、向量組及其線性組合二、向量組及其線性組合定義

3定義

4二、向量組及其線性組合二、向量組及其線性組合例3二、向量組及其線性組合證明定理1二、向量組及其線性組合二、向量組及其線性組合例4解二、向量組及其線性組合解例5三、向量組的等價定義

5三、向量組的等價三、向量組的等價定理2三、向量組的等價證明1212三、向量組的等價證明例6三、向量組的等價三、向量組的等價證明例7三、向量組的等價目錄/Contents3.13.23.33.4向量組及其線性組合向量組的秩與矩陣的秩線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.5向量空間向量組的線性相關(guān)性目錄/Contents3.2向量組及其線性組合一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論設(shè)有

個

維向量構(gòu)成的向量組

，如果存在一組不全為零的數(shù)

，使得則稱向量組

線性相關(guān)；若當(dāng)且僅當(dāng)

時，才有例1對于向量組，存在一組不全為零的數(shù)

，使得

定

義

則稱向量組

線性無關(guān).所以向量組

線性相關(guān).一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)對任意一組數(shù)

，有顯然，當(dāng)且僅當(dāng)

時，才有

，所以向量組

線性無關(guān).而對于向量組,一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)特別地，當(dāng)向量組只含有一個向量

時，若

，則只有

時才有

，所以

線性無關(guān)；01OPTION若

，則對任意非零常數(shù)

，都有

，所以

線性相關(guān).02OPTION一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)向量組

是任一含有零向量的

維向量組，于是對任意非零常數(shù)

，都有證

明所以向量組

線性相關(guān).例2證明：任一含有零向量的向量組必定線性相關(guān).一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)有向量組

，判斷向量組

的線性相關(guān)性.解按照向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義，我們只需驗證使得等式成立的一組數(shù)是不全為零還是全為零.將等式改寫為：即例

3一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)于是，問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組是有非零解,還是只有零解.由于如果只有零解，則

線性無關(guān)，若有非零解，則

線性相關(guān).方程組有非零解，線性相關(guān).所以一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)例4已知向量組線性無關(guān)，，試證明：向量組也線性無關(guān).證明設(shè)

，將代入并整理得：由線性無關(guān)知上式成立當(dāng)且僅當(dāng)

，由于，所以只有零解

，因此也線性無關(guān).一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)定理1個維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組有非零解；線性無關(guān)的充分必要條件是上述齊次線性方程組只有零解一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論定理1證明二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論例5二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論證明二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論證明證明二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論證明例6二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論例7證明二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論定理3證明二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論二、向量組線性相關(guān)性的一些重要結(jié)論目錄/Contents3.13.23.33.4向量組及其線性組合向量組的線性相關(guān)性線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.5向量空間向量組的秩與矩陣的秩目錄/Contents3.3向量組的秩與矩陣的秩一、向量組秩的概念二、矩陣秩的概念三、矩陣秩的求法四、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定義1

設(shè)

是一個

維向量組（它可以包含無限多個向量），滿足條件：(1)向量組

線性無關(guān)；(2)對于

中任意的向量

，向量組

線性相關(guān)，則稱向量組

為向量組

的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組.如果在

中取出

個向量一、向量組秩的概念由極大無關(guān)組的定義可知，向量組

中任一向量都可由它的極大無關(guān)組線性表示.向量組

中所含向量的個數(shù)有可能是無限多個，但是它的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)不會作為向量組

的部分組，一定可由向量組

線性表示，因而向量組

與它自身的極大無關(guān)組總是用向量組的極大無關(guān)組來代替向量組，會給我們的討論帶來極反之，極大無關(guān)組等價的.超過向量的維數(shù)，從而一定是有限的.大的方便.一、向量組秩的概念例1維單位坐標(biāo)向量組線性無關(guān)，所以該向量組的極大無關(guān)組就是它本身.一、向量組秩的概念例2設(shè)向量組,所以向量組

線性相關(guān).向量

與

的分量不對應(yīng)成比例，所以

線性無關(guān).另外，由于

,向量組

是向量組的極大無關(guān)組.一、向量組秩的概念向量組的每一個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)總是相等的.定義2向量組

的任意一個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩，記為

.類似的討論可知，向量組

，向量組

都可作為向量組

的極大無關(guān)組.也就是說，一個向量組的極大無關(guān)組并不是唯一的.向量組與其任意一個極大無關(guān)組是相互等價的，由向量組等價的傳遞性可知，向量組的任意兩個極大無關(guān)組相互等價.于是，我們引入如下定義：一、向量組秩的概念例如，例1中的向量組的秩

，例2中的向量組的秩.如果一個向量組只含有零向量，則它沒有極大無關(guān)組，此時我們規(guī)定它的秩為零.定理1等價的向量組有相同的秩.證明因為每個向量組都與它的極大無關(guān)組等價，根據(jù)向量組等價的傳遞性，任意兩個等價的向量組的極大無關(guān)組也等價，因而有相同的秩.一、向量組秩的概念例3證明：一個向量組線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的個數(shù).

如果一個向量組本身線性無關(guān)，證明則這個向量組的極大無關(guān)組就是它自身，于是它的秩等于如果一個向量組的秩等于它所含向量的個數(shù)，它所含向量的個數(shù)；則這個向量組顯然是線性無關(guān)的.一、向量組秩的概念一、向量組秩的概念證明例4在

矩陣

中，任取

行與

列（

），位于這些行列交叉處的

個元素，不改變它們在

中所處的位置次序而得的階行列式，稱為矩陣的階子式。

矩陣

中的

階子式共有

個.定義3二、矩陣秩的概念設(shè)在矩陣

中有一個不等于0的

階子式

，且所有

階子式（如果存在的話）全等于0，那么

稱為矩陣

的最高階非零子式，定義4并規(guī)定：零矩陣的秩等于0.數(shù)

稱為矩陣

的秩，記作

.二、矩陣秩的概念

對于

階矩陣

，因為

的

階子式只有一個

，若矩陣

中所有

階子式全為0，因此，可逆矩陣又稱為滿秩矩陣，不可逆矩陣又稱為降秩矩陣.由行列式按行（列）展開的性質(zhì)可知，若

的所有

階子式全等于零，則所有高于

階的子式也全為0，因此，

階非零子式

被稱為最高階非零子式，而矩陣

的秩

就是非零子式的最高階數(shù).由此可得，若矩陣

中有某個

階子式不為0，則

；則.從而可逆矩陣的秩等于它的階數(shù)，而不可逆矩陣的秩小于它當(dāng)

時，.所以，當(dāng)

時，

，的階數(shù).二、矩陣秩的概念例5證明證明：矩陣

的秩與它的轉(zhuǎn)置矩陣

的秩相等.由于矩陣

的子式都是矩陣

的子式的轉(zhuǎn)置，根據(jù)行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等這一性質(zhì)，得到.二、矩陣秩的概念的秩矩陣

沒有4階子式，它的所有3階子式為：求矩陣，而

中有一個非零的二階子式

，例6解所以

的秩.二、矩陣秩的概念例7解的秩求矩陣矩陣

是一個行階梯形矩陣，非零行的行數(shù)為3，于是.從而

的所有4階子式全為0.中存在一個3階非零子式而二、矩陣秩的概念三、矩陣秩的求法證明三、矩陣秩的求法三、矩陣秩的求法三、矩陣秩的求法三、矩陣秩的求法三、矩陣秩的求法解例8四、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系證明四、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系四、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系四、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系四、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系例9解四、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系目錄/Contents3.13.23.33.4向量組及其線性組合向量組的線性相關(guān)性向量組的秩與矩陣的秩線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.5向量空間目錄/Contents3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、線性方程組有解的判定定理二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)三、矩陣秩的求法一、線性方程組有解的判定定理非齊次線性方程組的導(dǎo)出組一、線性方程組有解的判定定理證明一、線性方程組有解的判定定理定理3一、線性方程組有解的判定定理證明一、線性方程組有解的判定定理證明二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)證明證明二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)證明二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)解二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)12三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)證明證明三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)證明三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)證明三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)目錄/Contents3.13.23.33.4向量組及其線性組合向量組的線性相關(guān)性向量組的秩與矩陣的秩線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.5向量空間目錄/Contents3.5向量空間一、向量空間及其子空間二、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)三、基變換與坐標(biāo)變換一、向量空間及其子空間例1一、向量空間及其子空間例2一、向量空間及其子空間例3一、向量空間及其子空間例5例401OPTION02OPTION一、向量空間及其子空間性質(zhì)3二、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)12例7二、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)二、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)證明命題1二、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)二、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)解例8三、基變換與坐標(biāo)變換解例9三、基變換與坐標(biāo)變換三、基變換與坐標(biāo)變換從坐標(biāo)到坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式從坐標(biāo)到坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式三、基變換與坐標(biāo)變換解例10謝謝觀看《線性代數(shù)》&人民郵電出版社相似矩陣及二次型《線性代數(shù)》&人民郵電出版社04目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6方陣的特征值與特征向量相似矩陣實對稱矩陣的相似對角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣向量的內(nèi)積、長度及正交性目錄/Contents4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性一、向量的內(nèi)積、長度二、正交向量組三、施密特正交化過程四、正交矩陣一、向量的內(nèi)積、長度一、向量的內(nèi)積、長度證明一、向量的內(nèi)積、長度二、正交向量組定理1二、正交向量組二、正交向量組解二、正交向量組三、施密特正交化過程三、施密特正交化過程解三、施密特正交化過程解例3四、正交矩陣證明123四、正交矩陣四、正交矩陣證明例4目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性相似矩陣實對稱矩陣的相似對角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣方陣的特征值與特征向量目錄/Contents4.2方陣的特征值與特征向量一、方陣的特征值與特征向量的

概念及其求法二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)定義設(shè)

是

階矩陣,如果數(shù)

和

維非零列向量

使關(guān)系式那么數(shù)

稱為矩陣

的特征值，非零向量

稱為

的對應(yīng)于特征值

的特征向量.例如，矩陣，，則有所以數(shù)3是矩陣

的特征值，

是

的對應(yīng)于特征值3的特征向量.成立，一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法

可見，

是

個未知數(shù)

個方程的齊次線性方程組

的非零解.假設(shè)矩陣

有特征值

，對應(yīng)于特征值

的特征向量為

，則有.一個任意給定的

階矩陣

會有多少個特征值？對應(yīng)的特征向量又該如何求呢？而方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零，即將

改寫成一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法記

則

是

的

次多項式，稱為矩陣

的特征多項式.

從而公式

可以寫成

，這是以

為未知數(shù)的一元

次方程，稱為

的特征方程，而

的特征值就是特征方程的根.我們知道，一元

次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有

個根(重根按重數(shù)計算).因此，

階矩陣

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有

個特征值，通過解矩陣

的特征方程就可以得到這

個特征值.一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法那么

便是

的對應(yīng)于特征值

的特征向量.若

為復(fù)數(shù)，則

可取復(fù)向量.）例1求矩陣的特征值和特征向量.可求得非零解

，設(shè)

為矩陣

的一個特征值，則由方程

（若

為實數(shù)，則

可取實向量；一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法解矩陣

的特征多項式為所以

的全部特征值為,,由此例可知，對角矩陣的全部特征值就是它的對角線上的元素.一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法當(dāng)

時，解方程

，得基礎(chǔ)解系于是

是對應(yīng)于特征值

的全部特征向量.由當(dāng)

時，解方程

，得基礎(chǔ)解系由于是

是對應(yīng)于特征值

的全部特征向量.一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法當(dāng)

時，解方程

，得基礎(chǔ)解系于是

是對應(yīng)于特征值

的全部特征向量.由一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法例2求矩陣的特征值和特征向量的特征多項式為所以

的全部特征值為解一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法當(dāng)

時，解方程

，得基礎(chǔ)解系對應(yīng)于

的全部特征向量為

（常數(shù)

）.由當(dāng)

時，解方程

，得基礎(chǔ)解系由對應(yīng)于

的全部特征向量為

（常數(shù)

）.一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法例3解一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法設(shè)

階矩陣

的特征值為

，則(i)(ii)由此可見，

階方陣

可逆的充分必要條件是

的特征值全不為零.性質(zhì)1二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)若

是方陣

的特征值，

為對應(yīng)于特征值

的特征向量，則性質(zhì)2若矩陣

的多項式是

，

則方

陣

的特征值是

（其中

是關(guān)于

的多項式），對應(yīng)于特征值

的特征向量是

.04OPTION

是方陣

的特征值（

為非負(fù)整數(shù)），對應(yīng)于特征值

的特征向量是

；01OPTION

是方陣

的特征值（

為任意常數(shù)），對應(yīng)于特征值

的特征向量是

；02OPTION當(dāng)

可逆時,

是方陣

的特征值，對應(yīng)于特征值

的特征向量是

；03OPTION二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)證所以

是方陣

的特征值，對應(yīng)于特征值

的特征向量是

.因

是方陣

的特征值，

為對應(yīng)于特征值

的特征向量，故有

.于是所以

是方陣

的特征值，對應(yīng)于特征值

的特征向量是

.(i)(ii)二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)(iii)當(dāng)

可逆時，特征值均不為零，于是所以

是方陣

的特征值，對應(yīng)于特征值

的特征向量是.由(i)可知，所以方陣

的特征值是

，對應(yīng)于特征值

的特征向量是

.(iii)二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè)3階矩陣的特征值為

，求

的特征值.因

的特征值全不為0，知

可逆，故.這里，

雖不是矩陣多項式，但也具有矩陣多項式的特性，從而可利用性質(zhì)2(iv)來由

得

的特征值為例4解而

，記計算

的特征值.二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)如果

與

是方陣

的同一特征值

所對應(yīng)的特征向量，則(、

不同時為零)也是特征值

所對應(yīng)的特征向量.由，得所以

(、

不同時為零)也是特征值

所對應(yīng)的特征向量.性質(zhì)3證明二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè)

是方陣

的

個互不相同的特征值，

是依次與之對應(yīng)的特征向量，則

線性無關(guān).設(shè)

和

是矩陣

的兩個不同的特征值，

和

是分別對應(yīng)于

和

的線性無關(guān)的特征向量，則線性無關(guān).性質(zhì)4性質(zhì)5二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)證明目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性方陣的特征值與特征向量實對稱矩陣的相似對角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣相似矩陣目錄/Contents4.3相似矩陣一、方陣相似的定義與性質(zhì)二、方陣的相似對角化一、方陣相似的定義與性質(zhì)定理1一、方陣相似的定義與性質(zhì)證明一、方陣相似的定義與性質(zhì)一、方陣相似的定義與性質(zhì)把矩陣

列分塊為由

，得

，即于是有可見

為

的特征值，而

的列向量

就是

對應(yīng)于特征值

的特征向量.二、方陣的相似對角化

反之，如果

階矩陣

恰好有

個特征向量，則這

個特征向量即可構(gòu)成矩陣,

由上面的討論即有：

推論定理2并且這

個特征向量必定是線性無關(guān)的，從而

可逆，因此有

.使得

.

階矩陣

與對角陣相似(即

能對角化)的充分必要條件是

有

個線性無關(guān)的特征向量.

如果

階矩陣

的

個特征值互不相等，

則

與對角陣相似.二、方陣的相似對角化例1解設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量，求

與

應(yīng)滿足的條件.因為矩陣

是3階矩陣，又有三個線性無關(guān)的特征向量，所以

可以相似對角化.由二、方陣的相似對角化故對應(yīng)重根

應(yīng)有2個對應(yīng)單根

，可求得線性無關(guān)的特征向量恰好有1個，

由

可知，要使系數(shù)矩陣

的秩

，必須

.得到

的特征值為線性無關(guān)的特征向量，亦即系數(shù)矩陣的秩.有2個線性無關(guān)的解，即方程

二、方陣的相似對角化目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性方陣的特征值與特征向量相似矩陣二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣實對稱矩陣的相似對角化目錄/Contents4.4實對稱矩陣的相似對角化一、實對稱矩陣的特征值和

特征向量的性質(zhì)二、實對稱矩陣的相似對角化一、實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1一、實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)一、實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)二、實對稱矩陣的相似對角化二、實對稱矩陣的相似對角化二、實對稱矩陣的相似對角化例1解二、實對稱矩陣的相似對角化二、實對稱矩陣的相似對角化例2解二、實對稱矩陣的相似對角化二、實對稱矩陣的相似對角化二、實對稱矩陣的相似對角化目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性方陣的特征值與特征向量相似矩陣實對稱矩陣的相似對角化正定二次型與正定矩陣二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形目錄/Contents4.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例1解二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性方陣的特征值與特征向量相似矩陣實對稱矩陣的相似對角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣目錄/Contents4.6正定二次型與正定矩陣一、慣性定理二、正定二次型與正定陣一、慣性定理定理1二、正定二次型與正定陣二、正定二次型與正定陣二、正定二次型與正定陣二、正定二次型與正定陣?yán)?解二、正定二次型與正定陣?yán)?證明謝謝觀看《線性代數(shù)》&人民郵電出版社線性空間與線性變換《線性代數(shù)》&人民郵電出版社05目錄/Contents5.15.25.3維數(shù)、基與坐標(biāo)線性變換線性空間的定義與性質(zhì)目錄/Contents5.1線性空間的定義與性質(zhì)一、線性空間的定義二、線性空間的性質(zhì)三、線性空間的子空間對于任意兩個元素

，稱為

與

的數(shù)量乘積，如果這兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律(設(shè)

):定義1稱為

與

的和，在

中總有唯一確定的一個元素

與之對應(yīng)，記作

.一元素

，在

中總有唯一確定的一個元素

與之對應(yīng)，記作

設(shè)

是一個非空集合，

為實數(shù)域.對于

中任一數(shù)

與

中任一、線性空間的定義(v)(vi)(vii)(viii)(i)加法交換律：(ii)加法結(jié)合律：(iii)在

中存在零元素

0；對于任何

，都有是

；(iv)負(fù)元素：對于任何

，都有是

的負(fù)元素

，使一、線性空間的定義

線性空間有時也被稱為向量空間，例1次數(shù)不超過

的多項式的全體，記作

，這是因為：通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算顯然滿足線性運算規(guī)律，線性空間中的元素不論其本來的性質(zhì)如何，統(tǒng)稱為向量.線性空間中滿足上述八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運算，統(tǒng)稱為線性運算.即對于通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法構(gòu)成線性空間.故只要驗證

對運算封閉.

那么，

就稱為實數(shù)域

上的線性空間.一、線性空間的定義

對

中任意兩個多項式

，

，及任意的實數(shù)

，有

所以

是一個線性空間.一、線性空間的定義一、線性空間的定義例2例3是實數(shù)域上的矩陣全體所成的集合.設(shè)加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間.顯然

是非空的，

對通常的矩陣這是因為：通常的矩陣加法和數(shù)乘運算顯然滿足線性運算規(guī)律，并且

對通常的矩陣加法和數(shù)乘運算封閉.一、線性空間的定義也是實數(shù)域上的線性空間.特別地，當(dāng)