一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、選擇題1．已知函數(shù)的圖象在點處的切線過點，則()A.-1 B.-2 C.1 D.2答案：C解析：由題意得，，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.因為函數(shù)的圖象在點處的切線過點，所以，解得，故選C.2．函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：D解析：3．函數(shù)的圖象在處的切線方程是，則()A.B.1C.2D.0答案：C解析：由題意可知，將代入切線方程，得，所以.4．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且對于任意實數(shù)x都有,,則不等式的解集為()A. B.C. D.答案：C解析：令,①則,,,即,,②由①②知,,,又,,即,,不等式,即不等式的解集為,故選：C.5．設(shè)函數(shù)，a，b均為正整數(shù)，若的極小值點為2，則的極大值點為().A.1 B.3 C.1或3 D.不確定答案：B解析：對求導(dǎo)得，令，得，則該方程必有一根為2，代入，有，解得，則.因為2是的極小值點，且，所以為方程的較小根，從而，故.又a為正整數(shù)，所以.故的極大值點為3.6．已知函數(shù)，在區(qū)間上任取三個數(shù)，均存在以為邊長的三角形，則k的取值范圍是()A.B.C.D.答案：D解析：7．已知偶函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為()A. B.C. D.答案：B解析：8．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，且的取值范圍為()A． B． C． D．答案：C解析：二、多項選擇題9．函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列說法中正確的有()A.的最小正周期T為B.向右平移個單位后得到的新函數(shù)是偶函數(shù)C.若方程在上共有4個根,則這4個根的和為D.圖象上的動點M到直線的距離最小時,M的橫坐標(biāo)為.答案：ACD解析：因為經(jīng)過點,所以,又在的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi),所以,①,又因為經(jīng)過點,所以,,又是在時最小的解,所以,②.聯(lián)立①②,可得,解得,代入①,可得,又,所以,則.故的最小正周期,則A正確;向右平移個單位后得到的新函數(shù)是,則為奇函數(shù),故B錯誤;設(shè)在上的4個根從大到小依次為,,,令,則,根據(jù)的對稱性,可得,則由的周期性可得,所以,故C正確;作與直線平行的直線,使其與有公共點,則在運動的過程中,只有當(dāng)直線與,相切時,直線與直線l存在最小距離,也是點M到直線的最小距離,令,則,解得,或,又,所以或或（舍去）,又,令,,,則由,可得到直線l的距離大于到直線l的距離,所以M到直線的距離最小時,M的橫坐標(biāo)為,故D正確.故選：ACD.10．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)B.是函數(shù)的極小值點C.函數(shù)至多有兩個零點D.時，不等式恒成立答案：ABC解析：因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.因為，所以，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則是函數(shù)的極小值點，則選項A，B均正確.當(dāng)時，函數(shù)至多有兩個零點，當(dāng)時，函數(shù)有一個零點，當(dāng)時，函數(shù)無零點，所以選項C正確.，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，又，所以，故選項D錯誤.故選ABC.11．已知函數(shù),則()A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.是偶函數(shù)C.的最小值為1 D.方程無解答案：BC解析：因為,所以,所以為偶函數(shù),B正確;令,當(dāng)時,函數(shù)與均為減函數(shù),所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,A錯誤;由偶函數(shù)對稱性可知,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,C正確;令,所以,由零點存在定理可知方程有解,D錯誤.三、填空題12．曲線在處的切線與直線平行，則_______.答案：解析：，，故，，則.13．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是________.答案：解析：，則，函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，只需在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，又，則，所以在區(qū)間上有解，所以，，令，，則，令，則在區(qū)間恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.14．若定義在R上的函數(shù)滿足，，則不等式的解集為__________________.答案：解析：構(gòu)造函數(shù)，則，函數(shù)滿足，，故在R上單調(diào)遞增.又，，不等式，即，由在R上單調(diào)遞增，可知.四、解答題15．已知函數(shù),.（1）討論的單調(diào)性;（2）若,證明：答案：（1）,在單調(diào)遞增;,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增（2）解析：（1）的定義域若,,在單調(diào)遞增;若,,,單調(diào)遞減,,,單調(diào)遞增綜上：,在單調(diào)遞增;,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增（2）,,設(shè),在單調(diào)遞減,,16．設(shè)函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)求在區(qū)間的最大值和最小值.答案：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）在區(qū)間上的最大值為，最小值為解析：（1）函數(shù)的定義域為，又.令，解得或；令，解得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）由（1）可得：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，又，，而，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為：.即在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.答案：（1）（2）解析：（1）因為，所以，當(dāng)時，，，故，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由（1）得，因為，所以由，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.18．已知函數(shù).（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，，則.答案：（1）；（2）證明見解析解析：（1）由題意知函數(shù)的定義域為.

由，

可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以.

又，所以，解得，

所以a的取值范圍為.（2）解法一：不妨設(shè)，則由（1）知，.

令，

則.

令，

則，

所以當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

即在上.

又，所以，即.

由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，即.解法二（同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)化解等式）不妨設(shè)，則由（1）知，.

由，得，

即.

因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以成立.

構(gòu)造函數(shù)，，

則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，，

所以，

又，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，即.19．已知函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),).(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)若,方程有兩個不同的實數(shù)根,求證：.答案：(1)(2)見解析解析：(1)當(dāng)時,,則,因此,故曲線在點處的切線方程為.(2)由題意知方程有兩個不同的實數(shù)根.對于函數(shù),令,解得,令,解得,則函數(shù)在區(qū)間上單