教學(xué)設(shè)計

課程基本信息學(xué)科高中數(shù)學(xué)年級高一年級學(xué)期春季課題9.2.3總體集中趨勢的估計教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，進(jìn)一步體會樣本估計總體的統(tǒng)計思想和統(tǒng)計方法。2.在教學(xué)中，充分結(jié)合具體案例，讓學(xué)生在實(shí)際問題中，學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征刻畫的方法。教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：1.理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)。2.計算頻率分布直方圖中的三大統(tǒng)計量。教學(xué)難點(diǎn)：1.對于不同數(shù)據(jù)類型正確選擇描述總體集中趨勢的統(tǒng)計量。2.在頻率直方圖中進(jìn)行三大統(tǒng)計量的計算。3.對數(shù)據(jù)陷阱的理解教學(xué)過程3.1實(shí)際案例，溫故知新前面研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律.但有的時候，可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征.問題1：在初中，我們已對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)有一定的學(xué)習(xí)，請大家瀏覽三個實(shí)例，并將三個統(tǒng)計指標(biāo)正確的填入其中.a.某服裝專業(yè)學(xué)生需設(shè)計一款均碼的女裝，應(yīng)該關(guān)心女性人群服裝尺碼的.b.商場銷售部門給營業(yè)員制定銷售指標(biāo)，需至少有一半人能完成任務(wù)，需要參考以往營業(yè)員銷售額的.c.跳水比賽中，選手更關(guān)心成績的.預(yù)答：a.眾數(shù)b.中位數(shù)c.平均數(shù)問題2：請大家思考一下：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，這三個指標(biāo)他們有什么共同點(diǎn)呢？預(yù)答：它們從不同角度刻畫了總體的“中心位置”，平均數(shù)從數(shù)值中心的角度進(jìn)行總體集中趨勢的估計，而中位數(shù)、眾數(shù)則是從位置中心的角度進(jìn)行的.【設(shè)計意圖】以現(xiàn)實(shí)案例作為引入，幫助學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中回顧平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個統(tǒng)計指標(biāo)的知識，并且引導(dǎo)學(xué)生思考他們之間的共同點(diǎn)，從而引出它們都是刻畫整體集中趨勢的統(tǒng)計指標(biāo).3.2數(shù)值數(shù)據(jù)，兩者選一下面基于例4、例5探究平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這三個統(tǒng)計量，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并能更好的利用他們進(jìn)行總體集中趨勢的估計.問題3：以9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)作為研究對象，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).追問：數(shù)據(jù)太多不好處理，能否用軟件進(jìn)行處理，你都知道哪些統(tǒng)計軟件？預(yù)答：統(tǒng)計軟件有R軟件和Excel軟件.數(shù)據(jù)量大，手算幾乎不可能，需要借助軟件進(jìn)行.通過R軟件，讀取讀取數(shù)據(jù).追問：觀察矩陣內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)，這是什么類型的樣本數(shù)據(jù)？預(yù)答：很明顯的這是數(shù)值型數(shù)據(jù).追問：用R如何實(shí)現(xiàn)均值和排序？平均數(shù)和中位數(shù)分別為多少？預(yù)答：根據(jù)R可以得到樣本的均值為y=y1+y2+?+y100100=8.79;由于樣本有100個數(shù)據(jù)，因此中位數(shù)應(yīng)該是第50位和第追問：請思考，假設(shè)某個小區(qū)有2000戶，你能估計該小區(qū)的月用水總量嗎？預(yù)答：能的.由于此數(shù)據(jù)是從全市居民中簡單隨機(jī)抽取的，因此可以用此樣本數(shù)據(jù)的平均值來估計總體月用水量的平均值，因此小區(qū)的月用水總量估計為8.79×2000.問題4：用統(tǒng)計軟件計算100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù).但在錄入數(shù)據(jù)時，不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)進(jìn)行比較.哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？預(yù)答：通過R軟件實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)替換，并且求解新數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)與原來的進(jìn)行對比.我們會發(fā)現(xiàn)均值從8.79變?yōu)?.483，而中位數(shù)依舊為6.8.由于平均數(shù)的計算需要設(shè)計每個樣本數(shù)據(jù)，因此任何一個數(shù)據(jù)的變化都會改變平均數(shù).而中位數(shù)的定義，看到中位數(shù)只包含中間位置幾個數(shù)的信息，因此只有改變中間位置的一個或兩個值的時候才會引起中位數(shù)的改變.問題5：日常小測試，數(shù)學(xué)老師想要知道同學(xué)們的平均分，為了避免平均數(shù)繁瑣的計算，老師會用中位數(shù)作為平均數(shù)的一個近似估計，請問這樣做合不合理呢？追問：平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？預(yù)答：他們之間的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)決定.對于對稱分布，平均數(shù)和中位數(shù)是重合的，他們此時是相等的.當(dāng)分布是右偏的，分布呈右拖尾，即它在峰值右側(cè)的時間更長.因此右偏分布的平均數(shù)幾乎總是大于中位數(shù).同理，當(dāng)分布是左偏的，左偏分布的平均數(shù)幾乎總是小于中位數(shù).只有當(dāng)分布是對稱的時候，用中位數(shù)估計平均數(shù)比較合理.【設(shè)計意圖】通過例4的樣本數(shù)據(jù)定性數(shù)據(jù)是數(shù)值型數(shù)據(jù)，可以用中位數(shù)、平均數(shù)刻畫總體的集中趨勢，并且用R語言實(shí)現(xiàn)了快速計算.通過替換樣本中的數(shù)據(jù)，探究中位數(shù)與平均數(shù)的特點(diǎn).再通過問題5的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生思考中位數(shù)與平均數(shù)之間大小的關(guān)系.此問題穿中還強(qiáng)調(diào)了樣本估計總體的統(tǒng)計思想.3.3分類數(shù)據(jù)，首選眾數(shù)問題6：某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服數(shù)據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表9.2-5所示.如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)中，哪個量比較合適？9.2-5預(yù)答：校服規(guī)格代表幾種不同類型，是分類型數(shù)據(jù).對于分類型數(shù)據(jù)，往往中位數(shù)和平均數(shù)沒有實(shí)際意義.一般采用眾數(shù)來刻畫總體集中趨勢.追問：能否利用該數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格呢？預(yù)答：因?yàn)槿珖砀叽嬖诓町?，此樣本不能很好的代表總體，故不合理.師：學(xué)完這個三個描述總體集中趨勢的統(tǒng)計量，我們將其進(jìn)行一下整理和比較，分析他們的特點(diǎn)和缺點(diǎn).對于不同類型的數(shù)據(jù)，我們在選擇描述總體集中趨勢的統(tǒng)計量時，也有不同的傾向.對于數(shù)值型數(shù)據(jù)，我們更傾向于選擇平均數(shù)或中位數(shù)進(jìn)行描述，而對于分類型數(shù)據(jù)，我們會優(yōu)先選擇眾數(shù)作為統(tǒng)計量.3.4模糊數(shù)據(jù)，計算方法問題7：有些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù).例如，我們在報紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖.這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以圖9.2-1中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計方法嗎？師：在直方圖中有個重要的假設(shè)，即數(shù)據(jù)是均勻分布的.預(yù)答：在頻率分布直方圖中，月均用水在[4.2,7.2)內(nèi)的居民最多，將區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計值.又樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和,平均數(shù)可以用每個小矩形底部中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.根據(jù)中位數(shù)的意義，中位數(shù)左邊和右邊的面積應(yīng)該相等.由于第一個矩形面積為0.231小于0.5，而第一、第二個矩形面積之和為0.552大于0.5.因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，由面積加和為0.5解得x約為6.71，與原始數(shù)據(jù)6.8【設(shè)計意圖】通過教學(xué)，教會學(xué)生處理直方圖下的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的計算.3.5學(xué)會辨析，避開陷阱問題8：a.假如企業(yè)老板告訴你，企業(yè)員工的年平均收入是20萬，你會不會立馬答應(yīng)入職呢？b.一個投資項目，去年投資回報率為3%，今年投資回報率是6%，比去年多了3個百分點(diǎn)，你會投資嗎？c.根據(jù)調(diào)查，A地霧霾程度全國第二，而B第空氣質(zhì)量全國第二，請問哪個地區(qū)的人均壽命更長？預(yù)答：對于a，很有可能大部分員工2萬一年，而老板200萬一年.這就是濫用平均數(shù)的陷阱.對于b，今年投資回報率是去年的200%，聽起來比原來的描述誘人很多，這就是有技巧地描述數(shù)據(jù)的陷阱.對于c，按照數(shù)據(jù)邏輯會認(rèn)為A地人均壽命應(yīng)該低于B地，而事實(shí)上，A地因?yàn)獒t(yī)療資源等資源加持，A地人均壽命遠(yuǎn)高于B地.這便是隨意解讀統(tǒng)計數(shù)據(jù)的陷阱.3.6課堂小結(jié)，提升思想這節(jié)課學(xué)習(xí)了三個從不同角度估計總體