2022-2023學(xué)年上海重點大學(xué)附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知向量蒼=（2=）,4=（一3,2），且五JLa則;I的值是（）

A.-3B.—C.3D.號

2.一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是弧度（）

A.2B.3C.4D.5

3.若如圖所對應(yīng)的是某個函數(shù)的一部分圖象，則此函數(shù)解析

式為()

A.y=?sin(3x-π)+?

B.y=?sin(3x-g)+?

C.y=^sin(3x+≡)+^

D.y=?sin(3x++?

4.我們在享受經(jīng)濟增長帶來的喜悅時，也無法忽視垃圾增長引發(fā)的煩惱.某區(qū)至2022年底生

活垃圾堆積量達100萬噸，估計今后平均每年增加8萬噸.在實施性活垃圾管理例/之后，清

運公司處理垃圾的效能得到明顯改觀，預(yù)估2023年能處理垃圾5萬噸，今后每年還需提高10%

的處理能力，則該區(qū)生活垃圾堆積量達到最大的年份是（）

A.2026年B,2027年C.2028年D,2029年

二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.函數(shù)f（x）=cos2x—SiMx的最小正周期為.

6.若2/7成等比數(shù)列，則X=.

7.若五=（1,-1）,b=（4,3），則（方花＞=.

8.己知向量蒼、8滿足IkI=1,∣K∣=2.?b-2a?=3＜則。B=.

9.已知復(fù)平面上有點4和點B,向量函與向量用所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-1-2?與4-3則點

B的坐標為.

10.已知α,be.R,且2+山，b+i（i是虛數(shù)單位）是實系數(shù)一■元二次方程/+pχ+q=0的

兩個根，那么p+q的值為.

11.若數(shù)列｛αn｝滿足,a1=2,an+1=3an+2(n≥l,n∈/V),則數(shù)列｛αrι｝的前n項和Sn

12.已知∕c∈N,ft≥1,則笈雪2∕c=.

13.已知數(shù)列5｝是公比為q的無窮等比數(shù)列，且九^∞(α1+α2+?■■+αn)=?.則2%+q=

14.若復(fù)數(shù)zi、Z2滿足IZIl=IZ2∣=1,且∣Z1+Z2∣=1,則|三不|的值為____

ZLZ2

15.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+???+(2n+l)=(n+l)(2n+l)(n∈N*)時，從H=

/^∣Jn=k+1時，等式左邊需要增加的項是.

16.“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運動聯(lián)系在一

起，天衣無縫，讓人們再次領(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力.順

次連接圖中各頂點可近似得到正六邊4BCDEF.若正六邊形的邊長為1,點P是其內(nèi)部一點(包

含邊界)，則正?衣的取值范圍為.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知3=(1,1),B=(2,m).

(1)若蒼〃a求實數(shù)ni的值；

(2)若方與石夾角為銳角，求實數(shù)Tn的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

設(shè)復(fù)數(shù)z=α-i,其中i為虛數(shù)單位，a€R.

(1)若z(l+i)是純虛數(shù)，求實數(shù)ɑ的值;

(2)若α=2,求復(fù)數(shù)七+i的模.

19.(本小題12.0分)

??ABCtP,角A,B,C對應(yīng)的邊分別是α,b,c,且αsinB=—√~5bcos4?

(1)求角A的大小；

(2)若b=4,△ABC的面積S=2，？，求AABC的周長.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)y=/(x)=sin2x+?∕-3sinxcosx-?.

(1)求函數(shù)y=/(x)的嚴格單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,多的值域；

⑶已知函數(shù)九(X)=/(x若不等式COSX-■∕ι(x)-m>0在［0,勺上恒成立，求實數(shù)m的取

值范圍.

21.(本小題12.0分)

30.設(shè)數(shù)列｛arι｝的前n項和是右,且滿足SJI=10-9αn.

(1)求知的值；

(2)求證：數(shù)列｛a71｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛ajl｝的通項公式；

(3)若數(shù)列｛%｝的通項公式是％=焉(其中常數(shù)k是整數(shù))，對于任意n6N,n≥1都有%>

即成立，求整數(shù)％的最小值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：向量Z=(2,4),B=(-3,2),且21.3，

a-b=-6+2λ=0>

解得;I=3,

故選：C.

直接利用向量的數(shù)量積和向量垂直的充要條件的應(yīng)用求出;I的值.

本題考查的知識要點：向量的坐標運算，向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件的應(yīng)用，主要考查

學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

f/÷2r=4

【解析】解：設(shè)扇形半徑九弧長，，則，)=2，

解得r=1,/=2,

所以圓心角為'=2.

r

故選:A.

結(jié)合扇形面積公式及弧長公式可求r,然后結(jié)合扇形圓心角公式可求.

本題主要考查了扇形面積公式及弧長公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：設(shè)函數(shù)為y=4sin(<υx+a)+k,

由函數(shù)圖像可知A=手=?,4=審=?,

函數(shù)周期為7=萬冶=等所以3=竽=3,

所以y=?sin(??+尹)+?，

當x=g+∕=h"?=弼，函數(shù)取得最大值q,即函數(shù)過(果C),

所以=?sin(?X]+租)+

解得3X]+9=2kττ+/,(k∈Z)即0=2kτr—兀，(fc∈Z),∕c=O時，φ=—ττ,

所以y=?sin(??-π)+?-

故選：A.

設(shè)出函數(shù)表達式，根據(jù)其圖像，依次求出4,k,ω,計算可得函數(shù)圖像過點G，O,代入函數(shù)表

達式可得0=-兀，進而得到答案.

本題主要考查由y=4sin(3x+w)的部分圖象確定其解析式，考查運算求解能力，屬于中檔題.

4.【答案】C

n1

【解析】解：從2023年起第n年處理生活垃圾的量為即=5×1.l~,n€N*,顯然On單調(diào)遞增，

而5X1.14=7.3205,5×1.1s=8.05255,生活垃圾堆積量平均每年增加8萬噸，

則從第6年起處理生活垃圾的量超過每年增加的量，

故該區(qū)生活垃圾堆積量達到最大的年份是2023+5=2028.

故選：C.

從2023年起第n年處理生活垃圾的量為αn=5XLIn-1,n∈jv?,而生活垃圾堆積量平均每年增

加8萬噸，通過數(shù)據(jù)比較可得結(jié)果.

本題主要考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，考查運算求解能力，屬于中檔題.

5.【答案】π

【解析】解：丫f(X)=cos2x—sin2x=cos2x,

—2π

?T=—=πf

二函數(shù)∕^(X)=Cos2X-Sin2%的最小正周期為兀，

故答案為：π.

利用三角函數(shù)的倍角公式先化簡，再利用三角函數(shù)周期公式求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)周期的計算，考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】±2

【解析】解：由等比中項定義可得：

X2=yj~^2.2√-2=4,

解得X=±2,經(jīng)驗證符合題意.

故答案為：±2.

直接由等比中項概念可得χ2=/22/2,即可求解.

本題考查等比中項的概念，屬簡單題.

7.【答案】arccos

【解析】解:因為向量H=(L-I),1=(4,3),

所以COS色石)=氤y=1×4-3×1<2

2222

y∣l+(-l)×J4+3~ιδ~?

因為0,E)∈[0,π]，所以位,3〉=arccos—.

故答案為：arccos

利用向量的夾角公式直接求解.

本題主要考查向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】一)

4

【解析】解：因為|1-2引=3，

所以(另一2a)2=fe2-4α?h+4α2=4-4α??÷4=9,

解得方?K=—?.

1

故答案為:4-

根據(jù)G-2a)2=b-4a-b+4a2=9求解即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】(3,-3)

【解析】解：?.?OB=OA+AB>

：.亍不對應(yīng)的復(fù)數(shù)為—1—2i+4—i=3—3i,

故點B的坐標為(3,-3),

故答案為：(3,-3).

由向量的運算知麗=E+而，從而可得相對應(yīng)的復(fù)數(shù)為一l-2i+4-i=3-3i,從而求得.

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】1

【解析】解：分別將2+αi,b+i代入方程得：(2+αi)2+p(2+αi)+q=0①

(b+i)2+p(b+j)+<7=0②對①②整理得：

2p+q-a2+4=0

(p+4)Q=0

pb+q+爐-I=0'

{p+2&=0

解得：P=-4,q=5.

本題也可以用“韋達定理”求解：

2+ai+b+i=—p③，(2+αi)(h+i)=q④對③④整理得：

2+b=-pp=-l

α+1=0^?b=2

2b-a=qIp=-4,

{Qb+2=0Iq=5

???p+q=1

故答案為：1：

把根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等列出方程組，可解出結(jié)果.

本題方法較多，考查復(fù)數(shù)實系數(shù)方程虛根成對，韋達定理，復(fù)數(shù)相等的條件，是中檔題.

IL【答案】"嚴

【解析】解：???&l+ι=3αn+2,

λa

n+l+1=3(Qn+1)?

??.數(shù)列｛的l+1｝是以3為公比的等比數(shù)列，其中首項的÷1=3,

n1n

.?.αn+l=3×3"=3,

n

αn=3—1，

nn+1

c,/?i1O21.?n?3×(l-3)3-3-2π

l1zn

???Sn=a1+α?+@3"---Fɑn=(3+34------F3)-n=-二一九二----------------

故答案為：”尹

根據(jù)數(shù)列的遞推式an+ι=3即+2構(gòu)造新數(shù)列，使所構(gòu)造的新數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得αn,再

根據(jù)分組求和法可得

本題考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，分組求和法的應(yīng)用，屬中檔

題.

12.【答案】IOlOO

【解析】解：羽"2k=2+4+6+…+200="型斐幽=IOIO0.

故答案為:10100.

利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.

本題考查等差數(shù)列的求和公式的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1

,l

【解析】W：??n→∞(α1+a2+???+αn)=?=?,

2a1=l-<∕,BP2a1+q=L

故答案為：L

由無窮遞縮等比數(shù)列極限的求法直接構(gòu)造等式，整理即可得到結(jié)果.

本題考查無窮遞縮等比數(shù)列的極限，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】?

【解析】解：復(fù)數(shù)與、Z2滿足IZll=?z2?=1，IZI+z2∣=1，

???可設(shè)Zi=1,Z2=%+yi,X,y∈R?

?|1+x+yi∣=1,可得：J(1+χ)2+y2=1，即(l+χ)2+y2=ι

又/+y2=l,聯(lián)立解得％=y=+∏.

J2J—2

1,>Λ1.

--?Z2=-2±-1-

3.√^3.

--Z1-Z2=-+-1.

.I1I--1

ZLZ2J(獷+(±苧)23.

故答案為：￡3.

復(fù)數(shù)Zi、N2滿足IZIl=?z2?=1，IZl+z21=1,可設(shè)Zl=1,z2=%+yi,%,y∈R.可得|1+%÷yi∣=

1,7(1+x)2÷y2=1,BP(1+%)2+y2=l.Xx2+y2=1,聯(lián)立解得％,y,進而得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的模的計算公式、復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(2k+2)+(2k+3)

【解析】解：???用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+???+(2n+l)=(n+l)(2n+1)時，

當n=1左邊所得的項是1+2+3；

假設(shè)n=Zc時，命題成立，左端為l+2+3+???+(2k+l);

貝IJ當？1=k+1時，左端為1+2+3+…+(2k+1)+(2fc+2)+[2(fc+1)+1],

.?.從“k-k+1”需增添的項是(2k+2)+(2k+3).

故答案為：(2k+2)+(2k+3).

由數(shù)學(xué)歸納法可知n=k時，左端為l+2+3+???+(2k+l),到n=k+l時，左端1+2+3+

???+(2fc+3),從而可得答案.

本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查理解與觀察能力，考查推理證明的能力，屬于中檔題.

16.【答案】[0,3]

【解析】解:如圖：由正六邊形的性質(zhì)可知,NB4C=?BCA=30°,

故AC=2×1×cos30o=√~3.

所以NCAF=120°-30°=90°,所以P點的位置在直線AF的右側(cè)

的六邊形內(nèi)(包括邊界)或落在線段AF上，

又Q?前表示的是I前t∣與而在左上的投影的乘積，故當P落在

線段AF上時，而在正上的投影最小為0,當P落在線段DC上時，

存在而上的投影最大為IACI=O)

故0≤而?而≤尼2=3,

故答案為：[0,3].

根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可知，麗?前表示的是I而I與存在而上的投影的乘積，顯然NB4C=30。,

所以NcaF=120°-30°=90°,所以P點的位置在直線AF的右側(cè)的六邊形內(nèi)(包括邊界)或落在線

段AF上，則由此易求得結(jié)論.

本題考查平面向量數(shù)量積的幾何意義和運算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)若蒼〃石，則Ix?n=2x1,解得m=2?

(2)若五與了夾角為銳角，設(shè)該夾角為。，則COS位花〉=cosθ=-7?7>0，

回I勿

故只需有?6=l×2+l×m>0,解得M>—2,

且有與E不同向共線，即mH2,

所以實數(shù)Tn的取值范圍為{m∣m>一2且TH≠2}.

【解析】(1)根據(jù)向量共線的性質(zhì)，列式計算即可；

(2)設(shè)夾角為仇則COS位花〉=cosO=磊>0,得到五方>0,計算可得m的范圍，注意五與加不

∣α∣?∣b∣

同向共線.

本題主要考查平面向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)%,Z(I+O=(α-0(1÷i)=(α+1)+(α-l)i是純虛數(shù),

Γα÷1=O

tα—1≠O解得Q=-1;

/C、HClThlZ,.2-i,.(2T)(1T)+,l.l-3i,l.11l.

(2)右α=2,則|+ι=-+l=(i+;(iτ)=-+=2~2'

復(fù)數(shù)1?+?的模為J(y+(-/)2=苧.

【解析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)

題.

(1)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為O且虛部不為0,列式求解a值；

(2)把α=2代入白+i,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.

19.【答案】解：⑴在AABC中，由正弦定理號=芻=三=2R得:

''SinASinBSinC

a=2RsinAfb=2RsiτιB代入式子αsi;IB=-y∕~^bcosA?

化簡得，SinAsinB=-yΓ~3sinBcosAy

VsinB≠0,

??.SinA=-V-3cos?,即tcm4=—V-3,

A∈(0,π),?4=(.

(2)VS=?bcsinA=?×4csin^γ=√-3c=2V-3,

?c=2,

由余弦定理得=b2÷C2-2bccosA=42+22—2×4×2×(―?)=28,

?a=2√-7

?α÷e÷c=2?Γ~7÷4+2=6÷2√-7，

??.△4BC的周長為6+2c.

【解析】(1)利用正弦定理化邊為角即可求解；

(2)根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求解.

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)/(%)=sin2x+y∣~3sinxcosx—?=1~c^2x-∣-??sin2x—?=sin(2x—??

令2?ττ-]≤2%—牌2?ττ+],kEZ,

得∕στ—聿≤%≤∕σr+*k∈Z,

故嚴格單調(diào)遞增區(qū)間為阿-≡Λτr+≡]Λ∈Z.

(2)當％∈[0,等時，2x-∣∈[-∣,?],

所以/(%)=sin(2x-∈[-?,1],

故值域為[―

⑶由題意得?n<Cosx—sin(2x-])=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2{cosx+?)2一

、?9

設(shè)g(x)=2(cosx+-)2-

當Xe[0,芻時，則COSX∈[0,1]>則g(χ)mm=里)=2×(?)2-1=-1,

所以rn<-l,即實數(shù)m的取值范圍是(-8,-1).

【解析】(1)首先化簡/^(x)