3.2函數(shù)的基本性質(zhì)

基礎(chǔ)鞏固

1.（2021秋?高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)中，在（0,+8）上是增函數(shù)的是（）

A.〃尤）=3-尤B./（x）=x2-3x

c?。?-+D-/⑺4-1

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)，二次函數(shù)，及反比例函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/（x）=3-x在（0,+8）上是減函數(shù)，故A不符題意；

對(duì)于B,〃x）=/-3x在（-甩，上單調(diào)遞減，在（|,+"上單調(diào)遞增，故B不符題意；

對(duì)于C,函數(shù)/"）=-七的定義域?yàn)閧X|XN-1},

則〃無）=-占在（。,+8）上是增函數(shù)，故C符合題意；

/\IIfx-l,x>1

對(duì)于D,,x<l，

則函數(shù)/（x）在（1,+8）上單調(diào)遞增，在（-8,1）上單調(diào)遞減，故D不符題意.

故選：C.

2.（2017秋?四川綿陽?高一三臺(tái)縣蘆溪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間（0,+"）上為增函數(shù)的

是（）

A.〃x）=3-xB./（x）=x2-2x

C./（x）=-1D./（x）=2x+l

【答案】D

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)，一次函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性便可判斷出每個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)在（0,+。）上的單調(diào)

性，從而找出正確選項(xiàng).

【詳解】解：A.一次函數(shù)〃x）=3-x在（0,+8）上為減函數(shù)，.?.該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.二次函數(shù)/（x）=x2-2x在（0,1）上為減函數(shù)，（1,+功為增函數(shù)，.?.該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C.反比例函數(shù)〃x）=:在（0,+力）上為減函數(shù)，二該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.一次函數(shù)“X）=2x+l在（0,+“）上為增函數(shù)，該選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題.

3.（2020秋?遼寧大連?高一大連八中校考期中）以下函數(shù)中，在（0,+e）上單調(diào)遞減且是偶函數(shù)的是（）

A.〃x)=2'B./(%)=|x|

C.f(x)=—lx1D./?=--

【答案】C

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知〃刈=2,在（0,+“）上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤;

x>0

由于/(x)=W=當(dāng)xe（O,+s）時(shí)，/⑴單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

-x,x<0

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)〃x）=-2/的定義域?yàn)槌?，且在?,+8）上單調(diào)遞減,

又/1（—x）=—2（—x）=—2x'—f（x）,所以/（x）是偶函數(shù)，故C正確；

因?yàn)椤ㄓ龋?-‘的定義域?yàn)椋?叫。）。（。，+8），又〃-無）=工=-/（乃，所以〃無）=-，是奇函數(shù)，且〃幻=-,

在（0,+8）上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2022春?北京海淀?高二中關(guān)村中學(xué)校考期中）若函數(shù)/（幻=--蛆+10在（-2,-1）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是（）

A.[2,+oo）B.[-2,+oo）

C.（一0°,2]D.（-oo,-4]

【答案】B

【分析】先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式解出即可.

【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸是：X=

2

若函數(shù)/（》）=--g+10在（-2,-1）上是減函數(shù),

只需萬3-1,即〃讓-2即可，

故選：B.

5.(2021秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期中)“函數(shù)/(無)=("2h+3在R上為減函數(shù)”是“ae(O,l)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)在R上為減函數(shù)求出實(shí)數(shù)。的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.

【詳解】若函數(shù)〃x)=("2)x+3在R上為減函數(shù)，則”2<0,解得”2,

又因?yàn)閧@<2}[同0<。<1},

因此，“函數(shù)/(x)=(。-2卜+3在R上為減函數(shù)”是“ae(0,1)”的必要不充分條件.

故選：B.

6.(2021秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=s2+2x+加在(-1,+動(dòng)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍是()

A.(0,1]B.[0,1]C.[1,+⑹D.(-?,1]

【答案】B

【分析】分別=0、m=0兩種情況討論，在旭=0時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在加力0時(shí)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性

可得出關(guān)于實(shí)數(shù)加的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】當(dāng)旭=0時(shí)，函數(shù)/(x)=2x在(-1,+動(dòng)上單調(diào)遞增，合乎題意；

當(dāng)加/0時(shí)，則二次函數(shù)+2x+m圖象的對(duì)稱軸方程為x=-,，

m

m>0

若函數(shù)=+2x+加在(-1,+8)上單調(diào)遞增，貝IpI,解得0〈加W1.

-----S-1

、m

綜上所述，實(shí)數(shù)加的取值范圍是[0川.

故選：B.

-x2-ax-5,x<1

7.(2022秋?廣西桂林?高一?？计谥?已知函數(shù)/(%)=a是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍

一,x>1I

是()

A.[-3,0)B.(-叫-2]

C.(y,0)D.[-3,-2]

【答案】D

【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍即可.

【詳解】函數(shù)/0)是R上的增函數(shù)，則/(x)在(-叫1]上單調(diào)遞增，故-

此時(shí)滿足函數(shù)/⑴在(1,+動(dòng)上也是單調(diào)遞增；

最后，只需在％=1處滿足一產(chǎn)-4—5?Q=>Q2—3,

綜上：。的取值范圍是

故選：D

f2xx<2

8.(2021秋?北京?高一北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥?設(shè)函數(shù)/(x)=2'>,，若〃

IX,X8/

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-°°,1]B.(-<?,2]

C.[2,6]D.[2,+co)

【答案】B

【分析】判斷出的單調(diào)性，由此化簡不等式從而求得。的取值范圍.

【詳解】畫出/(無)的圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知/(x)在R上遞增，

由+1)2/(2。-1)得a+122a—1,解得a?2.

9.(2023春?上海寶山?高三上海交大附中校考期中)函數(shù)/(x)=(l+x)(1的奇偶性為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)

【答案】C

【分析】求出/(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷/(x)為非奇非偶函數(shù).

【詳解】由函數(shù)“x)=(l+x)jF的定義域可得公20,

(l+x)(l-x)20,,

則'八'nT<x41,

xw—1

由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故/(x)為非奇非偶函數(shù).

故選：C.

10.(2022秋?江西撫州?高一臨川一中校聯(lián)考期中)下列四個(gè)函數(shù)中是偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減的是

A.y(x)=pB.f(x)=l-x2

C.=l一2xD.=

[x-2x,x<0

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的定義和單調(diào)性的定義求解.

【詳解】對(duì)于A,/(r)=A『=]=/(》)是偶函數(shù)，當(dāng)xe(-co,0)時(shí)是增函數(shù)；

對(duì)于B,〃f)=l-(一步=1-是偶函數(shù)，當(dāng)xe(-8,0)時(shí)是增函數(shù)；

對(duì)于C,-x)=l+2x*/(x),不是偶函數(shù)；

對(duì)于D,設(shè)x<0,則一x>0,f(—x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=/(.x),

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,/(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=/(x),是偶函數(shù)，

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2-2x,是對(duì)稱軸x=l,開口向上的拋物線，是減函數(shù)；

故選：D.

11.(2022秋?江西贛州?高一統(tǒng)考期中)函數(shù)/(X)="3-，-2且/(2)=2,貝1]/(-2)=()

A.-6B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】令g(x)=/(x)+2,可證明g(x)是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由/(x)="3-2一2,令g(x)=/(x)+2,

X

則g(x)=辦3—,g(—x)=a(—x)3-----=—ax3H—=—g(x),

x—xx

故g(x)是奇函數(shù)，

所以g(-2)=-g(2)=-[/(2)+2]=-(2+2)=-4,

所以/(-2)=g(-2)-2=-6.

故選:A.

12.(2021秋?陜西西安?高一西安中學(xué)?？计谥?函數(shù)V=/(x)在(0,2)上是增函數(shù)，函數(shù)了=〃x+2)是偶

函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A"⑴“圖(佃B.佃"⑴〈喧

【答案】B

【分析】分析可知函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，可得出,電=/出，利用函數(shù)

“X)在(0,2)上的單調(diào)性可得出了匕＞〃1)、f[5)的大小關(guān)系，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)V=/(x+2)是偶函數(shù)，則〃2-x)=/(2+x),

所以，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

因?yàn)槌鐖D，佃U且。《＜】＜1＜2,

即佃＜"1)＜佃.

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)在(0,2)上為增函數(shù)，所以，

故選：B.

2

13.(2022秋?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考期中)已知函數(shù)/")=2-國+“仃，則使得不等式

〃2加)＜〃加+1)成立的實(shí)數(shù)加的取值范圍是(：)

A.團(tuán)B.]一/

1

C.卜8,一；)D(1,+OO)D.—00—U(l,+oo)

3

【答案】c

【分析】利用偶函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合單調(diào)性即可求解.

【詳解】因?yàn)?(1=2-國+房五=/(一力,

所以“X)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

2

又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，片2-%和片工不單調(diào)遞減,

X+11

所以〃%)=2-國+內(nèi)行在x>0時(shí)單調(diào)遞減，

因?yàn)?(2加)</(加+1),

所以滿足何+1|<127nl,即(%+1)2<(2柏

展開可得3療-2m-1>0,解得加eU(l,+℃),

故選：C

14.(2022秋?廣西桂林?高一?？计谥?奇函數(shù)在(0,+。)上的解析式是〃力=無x),則在(-8,0)上

〃x)的函數(shù)解析式是()

A./(x)=-x(l-x)B.〃x)=x(l+x)

C./(X)=-X(1+JC)D./(x)=x(x-l)

【答案】B

【分析】Vxe(-co,0),則-xe(0,+oo),求出/(-x).根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得,

/(x)=-/(-x),即可求得結(jié)果.

【詳解】Vxe(-co,0),則-xe(0,+oo),由已知可得〃-x)=-x(l+x).

因?yàn)?(無)為奇函數(shù)，所以/(-X)=-/(%),

所以/(x)=-/(-x)=x(l+x).

故選：B.

15.（2022秋?湖南衡陽?高一衡陽市一中?？计谥校ǘ噙x題）已知函數(shù)/（工人63瓦在［2,3］上單調(diào)遞減,

則?的取值范圍錯(cuò)誤的是（）

A.0<Q?-B.ci>—C.0<qV—D.0v。<1

322

【答案】BCD

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)有意義的條件求出參數(shù)。的取值范圍即可求解作答.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（可="^在［2,3］上單調(diào)遞減，則/（x）在x=3處取得最小值，此時(shí)1-亦取最小

1—3a,

［a>Q1

因此?2、c，解得0<0",

［1-36/>03

所以。的取值范圍是。<。4；,顯然選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)BCD都是錯(cuò)誤的.

故選：BCD

a”,x<一1

16.（2022秋?廣西桂林?高一桂林市第一中學(xué)校考期中）（多選題）已知函數(shù)/（x）='是R

（^l-2a）x+3a,x>-i

上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值可以是（）

A.4B.3C.-D.-

34

【答案】CD

【分析】利用分段函數(shù)單調(diào)性建立不等關(guān)系，從而求出參數(shù)的取值范圍.

CL*,X<—1

【詳解】由函數(shù)“尤）=八.|是R上的增函數(shù)，

^l-2a）x+3a,x>-1

0<Q<1

0<。<1

1

所以<1-2〃>0=><U<一

2

（T）<Q-2<7）x（-lj+3tz

1

a>—

所以！,

42

故選：CD.

17.（2022秋?黑龍江七臺(tái)河?高一勃利縣高級(jí)中學(xué)?？计谥校ǘ噙x題）已知函數(shù)/（x）=——加x+1在區(qū)間

［3,8］上單調(diào)，則實(shí)數(shù)加的值可以是（）

A.0B.8C.16D.20

【答案】ACD

【分析】求出函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式解出即可.

【詳解】函數(shù)/0)=--加X+1的對(duì)稱軸為％=萬，

若函數(shù)/(%)=%2一加工+1在區(qū)間[3,8]上單調(diào)，則萬(3或萬28,解得加＜6或加216.

故選：ACD.

18.(2023春?湖南長沙?高一長沙市明德中學(xué)?？计谥?(多選題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/Q+；

為奇函數(shù)，且對(duì)于任意xeR,都有“2-則()

C.〃x+2)為偶函數(shù)D./[x-為奇函數(shù)

【答案】BCD

【分析】由題意可得〃2-x)=f(x),結(jié)合+為奇函數(shù)可得〃x+2)=/(x),從而可判斷選項(xiàng)A；由

=得/&]=O，在/(x+l)=—/(x)中，令》=一；可判斷選項(xiàng)B；由〃x+2)=/(x),

/(2-力向(x)可判斷選項(xiàng)C；由=〃x+2)=〃x)可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由為奇函數(shù)，可得/卜+￡|=-/1工+5,即/(x)=-〃i一X),

又因?yàn)?(2-x)m'(X),所以/(2-x)=—/(l-x),即/(x+l)=—/(x),

所以f(x+2)=-/(x+1),所以/(x+2)=/(x),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

由=得/弓卜。，由/(x+l)=-f(x),得

所以/卜￡|=0,故選項(xiàng)B正確；

由“x+2)=/(x),f(2-x閆(x),得〃2-x)=/(x+2),

所以/(x+2)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

由=,/(x+2)=/(x),可得-/(l-x)=-/(-l-x),

所以=

即/〔XT卜一/[r-S'故/、一為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD

19.(2023春?湖南?高一校聯(lián)考期中)(多選題)己知定義在R上的函數(shù)7=/(x)滿足條件/(x+l)=-/(x),

且函數(shù)y=/(x-i)為奇函數(shù)，則下列說法中正確的是()

A.函數(shù)是周期函數(shù)

B.函數(shù)/(x)為R上的偶函數(shù)

C.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱

D.函數(shù)〃x)為R上的單調(diào)函數(shù)

【答案】AC

【分析】由題可得〃x+2)=〃x)即可判斷A；由y=〃x-l)為奇函數(shù)可得〃-x-l)+〃x-l)=0,即可

判斷B；由〃-x)=-〃x-2)、〃苫-2)=〃尤)可得"-工)=-/卜)，即可判斷C；根據(jù)/(x)為R上的奇

函數(shù)，結(jié)合單調(diào)函數(shù)的定義即可判斷D.

【詳解】A選項(xiàng)，由/(x+1)=-/(%),得/(x+2)=—/(x+l)=/(x),即7=2,故A正確;

B選項(xiàng)，因?yàn)閂=/(x-l)為奇函數(shù)，=,

用x-l換x,W/H)=-/(X-2),又〃X-2)=/(X),

所以=即函數(shù)/⑺為R上的奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，因?yàn)椋緸槠婧瘮?shù)，

所以-+=

則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(T0)對(duì)稱，故c正確；

D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)/(X)為R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

函數(shù)/(X)在(-8,0)和(0,+功的單調(diào)性相同，

但函數(shù)/(無)在R上不一定為單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

Jr2-Y4

20.(2020秋?福建龍巖?高一?？计谥?(多選題)關(guān)于函數(shù)/(x)=7xx的性質(zhì)的描述,正確的是()

A.的定義域?yàn)閇7,0)501]B.“X)的值域?yàn)?-1,1)

C./(X)的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱D.7(x)在定義域上是增函數(shù)

【答案】AC

【解析】首先求出函數(shù)的定義域，將函數(shù)解析式化簡〃x)=m，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)復(fù)合

函數(shù)的單調(diào)性法則判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)的值域；

ylY2-Y4%2%420

【詳解】解：因?yàn)閥(x)="X,所以解得-lWx<0或0<x<l,即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

|X|斤0

[-1,0)50刀，故A正確；

/2_4_______

所以/(%)=————=V1-X2xe[-l,0)u(0,l],

|尤|

所以/(-X)=7i=？=/(x),即函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，故C正確；

因?yàn)榱?1--在上單調(diào)遞增，(0,1]上單調(diào)遞減，y=正在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

性可得/(x)在[T，。)上單調(diào)遞增，(0川上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；

因?yàn)?-/40,1),所以/(x)e[0,l),故B錯(cuò)誤;

故選：AC

21.(2022秋?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)校考期中)(多選題)設(shè)函數(shù)“X),g(x)的定義域都為

R,且“X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(x)-g(x)是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】???/(》)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),

/(-X)=-f(x),g(-x)=g(x),

/(-x)?g(-x)=-/(x)?g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，

"(-x)卜g(-x)=|f(x)卜g(x)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤,

/(r)?|g(-x)|=-/(x)?|g(x)|是奇函數(shù)，故C正確.

I/(-X).g(-x)I="(x).g(x)|為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤，

故選：ABD

22.(2023秋?廣東肇慶?高一統(tǒng)考期末)(多選題)下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)的是(

A.kcosxB.y=-x2

C.y=HD.7=4

X

【答案】BD

【分析】直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：N=cosx是偶函數(shù)，但在(0,+“)上不是單調(diào)函數(shù)，A不符；

對(duì)于B：y=是偶函數(shù)，且在(0,+e)上單調(diào)遞減，B符合；

對(duì)于C：>=國是偶函數(shù)，且在(0,+。)上單調(diào)遞增，C不符；

對(duì)于D：y=±=x-2是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，D符合.

故選：BD.

23.(2022秋?江西贛州?高一統(tǒng)考期中)函數(shù)/(x)=巴工在區(qū)間(-叱1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

X-L

為.

【答案】a>2/(2,+s)/(a(a)>2)

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由題意，

法一：

在/(X)~~中,設(shè)存在再,乙￡(—8,1)，且再<看'

x-l

則再一1<0,%2—1〈。再一次2V0，

???函數(shù)在區(qū)間(-*1)上單調(diào)遞減，

-x(a-2)(9-%)

〃xj一/■（X2）=W一絲]ax{x2-axx-2X2+2-axxx2+ax2+2再一2_tz(x2i)+2-x2)

(再T)(%2T)(再T)(%2T)(^-1)(%2-1)

解得：a>2,

故答案為：（2,+8）.

法二:

ax-2—a+2

在〃x)=中,

x-1

???在區(qū)間（-8,1）上單調(diào)遞減,

Ar(x)<0,解得：a>2

故答案為：（2,+8）.

24.（2022秋吶蒙古包頭?高一校考期中）若函數(shù)〃x）=r2+2辦-2在（3,+動(dòng)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

【答案】（-*3]

【分析】由二次函數(shù)的對(duì)稱軸與開口，結(jié)合單調(diào)性求解即可

【詳解】函數(shù)/（X）=+2辦一2的對(duì)稱軸為X=a,

又函數(shù)/（》）=-尤2+2辦-2在（3,+8）上是減函數(shù)，

所以。43,

故答案為：（-8,3].

25.（2022秋?吉林長春?高一東北師大附中?？计谥校┤艉瘮?shù)/。）=[歸：4：5,龍"1在R上單調(diào)遞增，則實(shí)

1—x+2ax,x<1

數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[1,7]

【分析】根據(jù)題意，分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則每一段函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上必須單調(diào)遞增，再結(jié)合分段

函數(shù)在x=l處需滿足的條件，列出不等式組即可得到答案.

【詳解】函數(shù)〃x)="X：4：5,X2：在R上單調(diào)遞增，

［一x+2ax,x<1

當(dāng)時(shí)，/(x)=|x+a|+5單調(diào)遞增，故x+〃20恒成立，解得此時(shí)/(x)=%+。+5；

當(dāng)時(shí)，/(%)=-工2+2辦單調(diào)遞增，故-三二。之1,解得a21,

—2

a>-\

要使/。)在R上單調(diào)遞增，需滿足*21,解得1V0V7,即a的取值范圍是［1,7］.

1+6/+52—1+2a

故答案為：工刀.

26.(2022秋?福建三明?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)〃耳=。/+》-3,若對(duì)任意的再,馬式1,+8),且

x尸zJ.)一/0)<3成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________.

xx-x2

【答案】(-8,0］

【分析】不妨設(shè)士>無2，則不等式可變?yōu)?(再)-3再</(%)-3馬，令g(x)=<(x)-3x,從而可得出函數(shù)g(x)

在［1,+8)上的單調(diào)性，再分。=0和aw0兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】解：不妨設(shè)為>%,

則不等式/(%)一小)<3,

xx-x2

即為，(%)-，(工2)<3%-3%,§P/(x1)-3x1</(X2)-3X2,

令g(x)=f(x)-3x=ax2-2x-3,

則g(xj<g(x2)，

所以函數(shù)g(x)在［1,+OO)上遞減，

當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=-2x-3在［1,+⑹上遞減，符合題意，

當(dāng)QW0時(shí)，

a<0

則11〃，解得。<0,

一s1

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(F,0］.

故答案為：(-8,。］.

27.(2022秋?遼寧?高一沈陽市第十一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù)〃無)=4-4對(duì)

------(x<-2),

Ix

Vx15x2GR(XL*X2),x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2/(xI),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】{?|4<?<5}

【分析】由已知條件得出函數(shù)為增函數(shù)，然后由分段函數(shù)為增函數(shù)求得參數(shù)取值，注意函數(shù)的定義域.

【詳解】xJ(無1)+尤2/(工2)>XJ(尤2)+(xJO(再-尤2)(/(%)-f(x2)>0,

所以若再<%,則〃再)</(%),因此函數(shù)“X)實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，

4一。<0

<，解得4<〃45.

4-2?+6>0

故答案為：缶14<。45}.

28.(2023春?河北保定?高一保定一中?？计谥?已知函數(shù)/(》)=0?+-3+3且/(2023)=16,則/(-2023)

的值為________

【答案】-10

【分析】由函數(shù)/(x)的解析式發(fā)現(xiàn)，它是由一個(gè)奇函數(shù)加一個(gè)常數(shù)的形式，再注意到已知的函數(shù)值和要求

的函數(shù)值，它們的自變量互為相反數(shù)，所以可以直接代入利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】因?yàn)?(工)=0?+加3+3,/(2023)=ax20235+bx20233+3=16,

所以4x20235+6x20233=13,

所以/(-2023)=ax(-2023)5+bx(-2023)3+3

=-(ax20235+6x2023,)+3=-13+3=-10,

故答案為：-10.

29.(2023春?上海?高一上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，

f(x)=2x+2x+b(6為常數(shù))，則〃-1)=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)給定條件，利用"0)=0求出6,再利用奇函數(shù)定義求出/'(-1)作答.

【詳解】R上的奇函數(shù)〃x),當(dāng)xW。時(shí)，f(x)=T+2x+b,則/(0)=l+b=0,解得6=-1,

所以〃T=-〃1)=-(2+2X1+6)=-3.

故答案為：-3

30.(2023秋?寧夏吳忠?高一統(tǒng)考期中)若/(x)="：詭耳是奇函數(shù)，則。=

【答案】3

【分析】先利用奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求得。=3,再代入檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】因?yàn)椤癐%一贏+)

所以(x_l)(3x+a)/0,解得xwl且

則/(x)的定義域?yàn)椴穦"1且

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=(x+])：2x_0)為奇函數(shù)，

所以“X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故-三=-1,貝加=3,

當(dāng)。=3時(shí)，/(X)=(X_I)(3X+3)=3(XT(X+1)，

所以“r)=3(r-十x+l)=-3(X-1；(X+1)=一〃x),滿足題意，

所以。=3.

故答案為：3.

31.(2022秋?浙江溫州?高一校考期中)已知g(x)=/(x)+|x-l|是奇函數(shù)，且=則g(l)=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)已知條件求出g(T)的值，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求得g⑴的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)+|x-l|是奇函數(shù)，且〃-1)=1,

貝>Jg(T)=〃T)+HT|=l+2=3,故g⑴=_g(T)=_3.

故答案為：-3.

32.(2022秋?山西大同?高一大同一中校考期中)已知函數(shù)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，

/(x)=-x2+2x.當(dāng)尤20時(shí)，求函數(shù)/(x)的解析式.

［答案1/(x)=x2+2x

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以"0)=0；

當(dāng)x>0時(shí)，一x<0,貝lj/(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為奇函數(shù)，所以/(-x)=-/(x),貝|/(X)=-/(-X)=X2+2X,

當(dāng)x=0時(shí)，上式也滿足"0)=0,

所以當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)/⑴的解析式為〃x)=/+2x,

故答案為：f(x)=x2+2x.

33.(2022秋?四川成都?高一石室中學(xué)校考期中)己知函數(shù)/(幻=/+一

(1)判斷/(x)在(。川上的單調(diào)性，并用定義加以證明；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=———+-+3,x>l,求g(x)的值域.

x+2x+1x

【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明；

(2)首先將g(x)拆分成內(nèi)外層函數(shù)，/=*,A(/)=f2+1+l,結(jié)合(1)的結(jié)論求出〃⑺的值域，即可

得解.

【詳解】(1)“X)在(0』上的單調(diào)遞減，證明如下：

22

設(shè)0"'I，則。(再)一/(%2)=%；+---X2

占x2

二(石+/)(再一”2)+

=（石一超）西+超-----，

I項(xiàng)X2）

因?yàn)?<再<l2<1,所以再一工2<。，0<+x2<2,0<XjX2<1,

22

--->2,gpxx+x2-----<0,

所以/(%)一/口2)>0,即/(網(wǎng))>/卜2),

所以函數(shù)/（X）在（0,1］上的單調(diào)遞減;

上『+上+1

x22

(2)g(x)=,+—+3X+1)X

x+2x+1x

X+1

Y11

設(shè)"——=1-----,t=1-----在上單調(diào)遞增，當(dāng)Xf+8時(shí)，tT

x+1x+1x+1

所以fej

令〃（f）=〃+?+1,tSI'），

由（1）可知，〃⑺在g,1）上單調(diào)遞減，

乂唱］=g"1）=4,所以浸，

所以g（x）的值域?yàn)椋?,日.

34.（2023春?湖北黃岡?高一黃岡中學(xué)校聯(lián)考期中）求證：函數(shù)〃x）=（。＞1）在區(qū)間（T，+e）上是減函

數(shù).

【答案】證明見解析

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可求證.

【詳解】設(shè)也戶2e（-l,+s）,且玉＜々,

則/(再)-小)=^^x2+a_(1一。)(/一12)

x2+1(Xj+l)(x2+1)

vx1?x2e(-l,+00),且不<12，

+1>0,x2+1>0,-x2<0X?>1,

1—a<0,

二去需K>。,即/(xj-〃z)>。

＞〃X2）,

故函數(shù)y（x）在區(qū)間（-1,+8）是減函數(shù).

2r+1

35.（2023秋?寧夏吳忠?高一統(tǒng)考期中）已知/（x）=--

x-2

（1）根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)/（X）在區(qū)間（2,+CO）上是減函數(shù)

(2)若函數(shù)g(x)="2r+,1無e[3,a](?>3)的最大值與最小值之差為1,求實(shí)數(shù)。的值

x-2

【答案】(1)證明見解析

13

⑵°。

【分析】⑴田戶2€(2,+。)且網(wǎng)</，利用作差法證明/(再)>/(￡)即可;

(2)由(1)求出函數(shù)的最值，再根據(jù)題意即可得解.

【詳解】(1)VX],/e(2,+e)且再ex2,

2X+1_5(X-xj

則/(再)-/(>2)=22

2花"一12-2)(%-2)

因?yàn)閂X1,%e(2,+oo),所以玉-2>0,超-2>0,

又因?yàn)橥?lt;X2，所以龍2-%>°，

因此/'(再)-/(%)>0,/(x1)>/(%),

所以/(X)在(2,+8)是減函數(shù)；

(2)由(1)可知,g(x)是減函數(shù)，

所以x=3時(shí),g(x)取得最大值為g(3)=7,

x=a時(shí)，g(x)取得最小值為g(a)=",

因?yàn)樽畲笾蹬c最小值之差為1,

所以7-"=1,解得。=?

a-24

36.(2022秋?江蘇常州?高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校考期中)已知函數(shù)/■(力=咚」是定義在(-2,2)上的奇

X十4

函數(shù),且/出=3

⑴求6的值；

(2)用單調(diào)性定義證明：函數(shù)/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增；

⑶若〃a+l)+〃l-2a)>0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】6=0

(2)證明見解析

【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)/㈠卜-/⑴求得6,再由/[￡]=靜求得。、6的值;

（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可證明；

（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到再利用（2）中結(jié)論去掉了即可求

【詳解】（1）由題意可知/（r）=-/（x）,.?.手耳=一竽

即-ax+b=-ax-b,

/.b=0,.\f(x)=

又???/

(2)Vxj,x2e(-2,2),且再<%,有

%(x；+4)-無2(x；+4)（毛一占）（占馬—4）

/(x)-/(x)=

12x；+4x；+4.+4）（考+4）（尤；+4乂考,+4）

由于一2<&<X2<2,x2-X[>0,x}x2-4<0,/(x；)-/(x2)<0,即/(&)</(x2),

所以函數(shù)〃x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增.

(3)因?yàn)椤癤)為奇函數(shù)，所以由/(。+1)+〃1-2a)>0,

得〃0+1)>-〃1一2°)="2"1),

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，

—2<Q+1<2

所以<-2<2a—1<2,

Q+1>2Q—1

-3<a<1

131

解得卜]<°<于故一,<a<l,

a<2

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍是\;J

37.（2022秋?江西撫州?高一臨川一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椋?,+8）,且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)

都有，3)=/(x)+“v)且當(dāng)X>1時(shí)J(x)>0J(4)=l.

⑴求7w

⑵求證:“X)為(o,+8)上的增函數(shù)；

(3)解不等式/(x)+/(x-3)Vl.

【答案】(1)-2

(2)證明見解析

⑶(3,4]

【分析】(1)利用賦值法，先令x=?=1求出〃1)；令x=V=4，可求得了(16)；再令x=16/=士，可求得

16

(2)設(shè)國Ax?>0,根據(jù)單調(diào)性定義結(jié)合當(dāng)x>l時(shí),/(x)>0證明即可；

(3)將〃x)+/(x-3)Vl轉(zhuǎn)化為/[x(x-3)]v/(4),再根據(jù)(2)的結(jié)論，列不等式組求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)椋?孫)=/(x)+/(y),/(4)=1,

令》=>=1,則/(1)=/(1)+/(1),解得/(1)=0,

令x=y=4,則〃16)=/(4)+/(4)=2,

令x=16)=[則/⑴=”16)+/住],

16

所以/(2)=/(1)一/(16)=-2.

(2)設(shè)石>%2

因?yàn)楫?dāng)X>1時(shí)J(x)>0,則2]>0,

kX27

令y則〃1)=〃x)+dJ,即(J=一/⑴，

所以/(%)-〃%)=〃網(wǎng))+/[工]=/[&]>0,

\X2J\X2J

根據(jù)單調(diào)性定義J(x)為(0,+司上的增函數(shù).

(3)因?yàn)?(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

又〃x)+/(x_3)=/[x(x_3)]vl=/(4),

x>0

所以，x-3>0解得3<xV4?

x(x-3)<4

即原不等式的解集為(3,4].

38.(2022秋?安徽馬鞍山?高一安徽工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥?定義在(0,+/)的函數(shù)/(X),滿足

f(mn)=f{m)+f[ri)+\,且當(dāng)x>l時(shí)，

⑴求了⑴的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并說明理由；

(3)若/(2)=1,解不等式/(x+3)+/(x)>2.

【答案】⑴/■⑴=一1;

(2)函數(shù)/(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，詳見解析；

⑶{木>1}.

【分析】(1)利用賦值法結(jié)合條件即得；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；

(3)將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為打x(x+3)]>〃4),結(jié)合定義域和單調(diào)性即可得結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)椤ㄇ巍?="")+〃〃)+1,

令…=1,可得/⑴+/?⑴+1,

所以〃1)=T;

(2)函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

任取X1,x26(0,+CO),且再<々，則三>1,/[|>-1,

石\x\J

所以/（%）=/[再,?]=/（玉）+/'[1+1>/（X1）,

\/（X）在（0,+“）上單調(diào)遞增；

（3）,."（2）=1,

.?./（4）=/（2）+/（2）+1=3,

由/（x+3）+〃x）>2,可得/（x+3）+〃x）+l=/[x（x+3）]>3=〃4）,

又；/（x）在（0,+e）上為增函數(shù)，

x+3>0

所以<x>。，

x（x+3）>4

解得x>l,

故不等式+3）+/（尤）>2的解集為何x>1}.

能力提升B組

39.(2022秋?山東青島?高一山東省青島第一中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/(x-l)(xeR)是偶函數(shù)，且函數(shù)，(幻

的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，f(x)^ax-l,則“2022)=()

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】先由題給條件求得函數(shù)/(x)的最小正周期為8,再利用周期、對(duì)稱軸的性質(zhì)即可求得/(2022)的值.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)〃xT)(xeR)是偶函數(shù)，則函數(shù)/*)的對(duì)稱軸為產(chǎn)-1,

則有/(尤)=/(-2-x),又由函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱，

貝I]/'(瓊鼠一/(2—x),貝IJ有/(一2-x)=-/(2-x),則〃尤+4)=-/(無)，

則有/(x+8)=-/(》+4)力x),則函數(shù)/(x)是周期為8的周期函數(shù)，

則/(2022)=/(-2+253x8)=/(-2)=/(0)=-1

故選：A.

40.(2020春?浙江寧波?高二效實(shí)中學(xué)?？计谥?設(shè)函數(shù)/(幻的定義域?yàn)镽,滿足2/(x+l)=/(x),且當(dāng)