模式識別試題答案最終版

在初中幾何解題教學(xué)中，模式識別是一種很有效的策

略，即在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，所積累的知識和經(jīng)驗經(jīng)

過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的經(jīng)典結(jié)構(gòu)

與重要類型一一模式.當(dāng)遇到一個新問題時，我們聯(lián)想起

已經(jīng)解決的問題，便可以在記憶中提取相應(yīng)的方法對新問

題加以解決。

基本圖形

例1在正方形4BCD中，點尸分別在邊刀C,CD上，連接交

于點〃若尸你可以得到哪些結(jié)論？你是怎樣得到的？

例1在正方形45CZ）中，點E,尸分別在邊6C,CZ）上，連接ZE,5尸交

于點"若你可以得到哪些結(jié)論？你是怎樣得到的？

①△ABEWABCF

②AE=BF

(f)AE±BF

④S的ECFH

BE

變式1將部分結(jié)論與題設(shè)交換，你可以得到哪些命題？是真命題

嗎？如何證明？

(1)AABE^ABCF(5)AE=BF?AE^BF⑥S^KZECFH

(5)BE=CF

①T②③④⑤

②T①③④⑤

③T①②④⑤

④T①②③⑤

4E=BFi△ABE=ABCF(HL)—AE1.BF),

AEJ_BF4-4AE=BF

AE上BFTAABE^ABCF(AAS)-^AE=BF

【分析】：若AE=BF，貝ljAE±BF；若AE±BF，貝ljAE=BF.

形內(nèi)變式

變式2在正方形ZAC。中，點N,產(chǎn)，“分別在邊6C,上，連接

MN,BF交于點、G.

(1).如圖，若肋V_LAF,則廠嗎？你是怎樣得到的？

(2).如圖，若的V=5F,則MN_LB尸嗎？你是怎樣得到的？

變式2在正方形N5CD中，點N,F,M分別在邊BC,CD,AD±.,連接

MN,BF交于點、G.

(1).如圖，若初V，刀尸，則尸嗎？你是怎樣得到的？

(2).如圖，若施V=6尸，則嗎？你是怎樣得到的？

將MN向左平移，使得點、M

與Z重合，點N落在點E處.

MN//AE,MN=AE

應(yīng)用

MN1BFlMN=BFAE±BF^AE=BF

變式3在正方形力6C。中，點P,N,Q,M分別在邊力8BC,CD,AD

上，連接跖V,P。交于點K你能提出什么問題？如何解決？

變式3在正方形ABCD中，點P,N,Q,M分別在邊X5,BC,CD,AD

上，連接MN,P。交于點K你能提出什么問題？如何解決？

將P。向下平移，使得點尸與

8重合，點。落在點尸處.

PQ//BF,PQ=BF

應(yīng)用

MN工PQIMN=P?4MN±BFlMN=BF

變式3在正方形ABCD中，點P,N,Q,M分別在HLAB,BC,CD,AD

上，連接MN,PQ交于點G.你能提出什么問題？如何解決？

將P0向下平移，使得點尸與5重合，點

。落在點尸處.將MV向左平移，使得點

M與/重合，點N落在點E處.

PQ//BF,PQ=BF

MN//AE,MN=AE

應(yīng)用

MNLPQIMN=P@4AE±BFIAE=BF

【分析】：通過變式逐漸得到這樣的結(jié)論:在這個特定

的結(jié)構(gòu)中,MN與PQ若垂直則相等.都是通過平行化歸構(gòu)

造全等三角形來得到的。

AE±BF^AE=BFMN±BFlMN=BFMNLPQiMN=PQ

1.端點分別在正方形兩組對邊上且互相垂直的兩條線段相等.

2.端點分別在正方形兩組對邊上且相等的兩條線段互相垂直.

形外變式

變式4在正方形/BCD中，如果點G,E分別在4D,5C的延長線上，點

尸在CD上的延長線交GE于點M.上述結(jié)論是否裔在？如何說明？

變式4在正方形/BCD中，如果點G,E分別在AD,BC的延長線上，點

尸在CZ）上,8尸的延長線交GE于點M.上述結(jié)論是否春在？如何說明？

變式5在正方形4BCD中，如果點G,E分別在。的延長線上，點

“，尸分別在Z4,DC的延長線上，連接"尸并延長交GE于點M.上述結(jié)論

是否存在？如何說明？

H

變式5在正方形4BCD中，如果點GE分別在4?,6c的延長線上，點

私尸分別在4B,DC的延長線上，連接并延長交GE于點M.上述結(jié)論

是否存在？如何說明？

將GE向左平移，使得點E與C重合，

G落在點N處.將///向上平移，使得點

a與3重合，點尸落在點p處.

---------------------

GE//CN,GE=CN

HF//BP,HF=BP

應(yīng)用

GE±HF1GE=HFCNA.BP—CN=BP

【分析】：變式4與變式5是在正方形的形外變式.

得到的結(jié)論與前面的變式一樣，在這個特定的結(jié)構(gòu)中,GE

與HF（BF）若垂直則相等.這也是一個“變化中的不變性”:

線段的位置在變,但是特殊的位置關(guān)系（互相垂直）沒有變,

特殊的數(shù)量關(guān)系（相等）沒有變，證明的方法沒有變:都是通

過平行化歸構(gòu)造全等三角形來得到的。

模型應(yīng)用

例1將正方形紙片N5CD沿的V折疊，使點刀落在邊幺刀上，對應(yīng)點為

“，點。落在點。處.若力￡=6,40'=2,折痕肋V的長為.

例1將正方形紙片4BCD沿"N折疊，使點。落在邊48上，對應(yīng)點為

7)',點C落在點。處.若ZB=6,NZF=2,折痕MV的長為.

DD」MN—DD'=MN

-?DD'=^AD'2+AD2=yj62+22=2710

例2在正方形ZBCZ)中，點P在直線6c上，點G在直線ZD上(P,G不

與正方形的頂點重合，且在CI)的同側(cè))，W=PG,刀產(chǎn)_LPG于點交直

線45于點下,將線段PG繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,連接EF.

(1).當(dāng)點P與點G分別在線段BC與線段上時，請說明線段DP與EF有

什么關(guān)系？

(2).當(dāng)點P與點G分別在線段4c與線段4D的延長線上時，請猜想四邊形

P￡D是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.

例2在正方形46co中，點尸在直線上，點G在直線力。上(P,G不

與正方形的頂點重合，且在。的同?),PD=PG,。尸J_PG于點、H,交直

線46于點廠,將線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸E,連接EF.

(1).當(dāng)點P與點G分別在線段與線段上時，請說明線段。尸與E尸有

CM=DF

—PG=DFfPE=DF

DF±PG

八”PE//DF

NGPE=90。

一口PDEF

-?DP//EF,DP=EF

例2在正方形⑷5CZ)中，點尸在直線6。上，點G在直線，。上(P,G不

與正方形的頂點重合，且在CO的同側(cè))，PZ)=PG。尸_LPG于點交直

線AB于點F,將線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,連接EF.

(2).當(dāng)點P與點G分別在線和BC與線段的延長線上時，請猜想四邊形

尸EFD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.

DF-LPG-^AM±DN―AM=DN—FD=GP

―FD=PD=PE

DF.LPG^GPE=900->PE//DF一口PDEF

PD=PE口PDEF-?菱形PZ)E/

FD//AM,FD=AM

GP//DX,GP=DX

例3⑴.已知，點GE分別在矩形/BCD的四條邊上，且EF_LGH若

AB=m,BC=n,求GMG”的值.

(2).在四邊形N5CD中，點E,尸分別在5C,CD上，SLAE±BF,若乙BCE>=90。,

AB=BC=10,AD=CD=5,求AE:BF的值.

例3(1).已知，點GF,H,E分別在矩形/3CD的四條邊上，^EF±GH.若

AB=m,BC=n,求GH:GH的值.

將FE向左平移，使得點E與4重合,

點尸落在點M處.將GH向下平移，

使得點G與B重合，點H落在點N處.

FE//AM,FE=AM

GH//B