四川省宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試

題理

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題所給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號填在答題卡的指定位置.)

1.己知。為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)(a+i)(l-2。為純虛數(shù)，則?=

11

A.一一B.2C.-D.-2

22

2.已知集■合A={x|-2VxV4},B={x|y=lg(x-2)},則AC([RB)=

A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,-2)-D.(-2,2]

3.“X>1”是“l(fā)og2(x+l)>l”的

A.充要條件B?.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.若｛殳｝是等差數(shù)列,且以+&+&=45,4+段+改=39,則&+a+的=

A.39B.20C.19.5D.33

5.函數(shù)y=“'(a>0且a0l)與函數(shù)y=(a—l)f-2x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是

6.如圖，網(wǎng)格線上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，其正視圖,

側(cè)視圖均為等邊三角形，則該幾何體的體積為

八86八、

A-------(1+71)B.4石(2+九)

3

C?-^—(2+7i)D.46(1+乃)

7.已知向量。=(2,tan6),/?=(1,-1),且。b,則tan(￡-6)=

A.2B.-3C.3D.一一

3

8.已知命題n..丄4命題~是“八二的必要不充分條件，則下列命

P：sinx+->4q.x-3x>0x>4

sinx

題正確的是

C

A。pAq&pV(-,q)-(-p)Aq(加八(十

9.將函數(shù)y=.f(X)圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)擴(kuò)大到，原來的2倍,再把所得

TT

的圖像沿X軸向右平移一個單位,這樣所得的曲線與y=3sinx的圖像相同，則函數(shù)

2

y=/(x)的表達(dá)式是

A./(x)=-3sinxB./(x)=3cos2xC./(x)=3sinf^-^j

D./（尤）=3sin

10.已知43是圓心為2，半徑為小的圓上兩點(diǎn)，且一￡§=、長，則工:2皆等于

A.--4-B.-5C-.2D.57-

■7/*>一)

3x-y<6

x-y+2>0

14.滿足約束條件(八，若目標(biāo)函數(shù)2=依+勿(。>0,〃>0)的最大值為12,

x>0

y>0

23

則的最小值為

ab

A.—B.25C.—D.5

63

r22

12.己知雙曲線=-2v=l(a>0/>0)的左、右兩個焦點(diǎn)分別為百、工，A8為其左右頂

ab"

點(diǎn)，以線段與、鳥為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M,且NMAB=3O,

則雙曲線的離心率為

A.叵B.畫C.叵D.典

2332

第n卷(非選擇題共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)

13.已知向量a=(l,2),Z?=(x,-4),若ag,則&./?=

14.函數(shù)/(x)=2si/?x+6cosx+3的最大值為

15.在四面體.切CD中，..兩兩垂直，且.蘭=6,＜。=2，＜C=4，

則該四面體的外接球的表面積為.

16.己知函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若對于尤之0,都有/（x+2）=—/（x）且當(dāng)

xe[0,2）時，/（x）=xe'—l,貝1]〃-2017）+/（2018）=.

三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

17.（12分）甲、乙、丙三人參加微信群搶紅包游戲，規(guī)則如下：每輪游戲發(fā)50個紅包，

每個紅包金額為x元，XG[1,5],已知在每輪游戲中所產(chǎn)生的50個紅包金額的頻率分布直

方圖如圖所示.

（I）求。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)紅包金額的眾數(shù)；

（II）以頻率分布直方圖中的頻率作為概率，若甲、乙、丙三人從中各搶到一個紅包，其中

金額在口，2）的紅包個數(shù)為X，求X的分布列和期望.

18.(12分)ABC的內(nèi)角4、B、C所對的邊分別為a,4c,且

asinA+bsinB=csinC+V2asinB

（i）求角a

（II）求GsinA_cos[8+?）的最大值.

19.（12分）在多面體ABCDEE中，四邊形ABCO是正方形，EF//AB,DE=EF=T，

DC=BF=2,ZEAD=3（f.

（I）求證：AE丄,平面CDEF；

（II）在線段80上確定一點(diǎn)G,使得平面￡4。與平面E4G

所成的角為30:

r-y1

20.（12分）,已知橢圓C：f+=13＞人＞0）的左、右兩個焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,上

a"戸

項(xiàng)點(diǎn)厶仙⑹，AAF內(nèi)是正三角形.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（H）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線耳厶上的一個動點(diǎn)，求|「鳥|+盧。|的最小值，并求岀此時

點(diǎn)P的坐標(biāo).

21.（12分）設(shè)函數(shù)/3）=HX-1）+“"-6aeR-

（I）當(dāng)0=1時，證明戶.\1在（0.-Q是增函數(shù)；

（II）若.、、f［0--b/（＞）乙0,求a的取值范圍.

（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的

極坐標(biāo)方程為夕=2sin8,點(diǎn)在C上，直線/經(jīng)過點(diǎn)812爲(wèi),?）且與直線。4垂

直.

（I）求直線/的極坐標(biāo)方程：

（II）已知點(diǎn)尸在曲線C上運(yùn)動（異于。點(diǎn)），射線OP交直線/于點(diǎn)Q,求線段PQ的中

點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

23.（10分）選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/（力=,-。|+卜_5|.

（I）當(dāng)。=3時，求不等式“X）23的解集；

（II）若不?等式/（x）2|x-6|的解集包含[1,3],求。的取值范圍.

2019-2020學(xué)年秋四川省敘州區(qū)第二中學(xué)高三期末考試

理科數(shù)學(xué)試題參考答案

1.D2.D3.A4.D5.A6.C7.B8.C9.B10.A

11.A12.B

13,-1014.915.12.716.e-2

17.(1)由題可得：(0.18+0.2+0.32+Q)X1=1,

1.a=0.3;眾數(shù)為2.5.

(2)由頻率分布直方圖可得，紅包金額在卩,2)的概率為g,則X?3(3,I

AX的取值為0,1,2,3,

4l364A、2148

P(X=O)=C}，/>(X=l)=C；?仁?=，

12575125

/X7I4、1I212I31

P(X=2)=C；?-,尸(X=3)=C；

1251

7I12515

???X的分布列為

X0123

6448121

P

125125125125

.,、64,48°12cl3…-3、

??Ox------F1x-----F2x+3x-----=—(或E(X)=3x—=—)

1712512512512551丿55o

18.(1)^zsinA+bsinB=csinC+y/2asinB/.a2+h2=c2+\plah

/+/一。2

即a2+b2-c2=y/lab由余弦定理cosC-Ce(0.：.C=—

2ab21丿4

(2)由題意可得JIsirkA-cos(8+?

31

VSsinA-cos-A+—=V3sinA-cosAsinA+-cosA

4472

2sin(A+?

Ae(0,萬),A+.w7t117r

Z'lT

-l<2sinlA+^-<2

x/3sirk4-cos(B+?)的最大值為

2

19.(I)四邊形ABC。是正方?形，.?.AO=DC=2.

ADDE21

在A4DE中,即得sinNAED=l

sinZAEDsinZEADsinZAEDsin30

/.ZAED=9（f）即AE丄DE，在梯形A6FE中，過E點(diǎn)、作EP//BF,交A8于點(diǎn)P.

:EF//AB,:.EP=BF=2,PB=EF=1，

在R/AADE中，可求AE=百，AE2+AP2=4>EP1=4

AE2+AP2=EP2

..AEA.AB,：.AE±EF.

又EFcDE=E,

.?.厶￡丄平面。。后尸，

（H）由（I）可得，AE1DC.ADA.DC

.?.OC丄平面AED,又。Cu平面ABC。，

，平面ABCD丄平面A￡D

如圖，過。點(diǎn)作平面ABC。的垂線

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC,D”所在直線分別為x軸，＞軸，z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

（1r3

則。（0,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,F,A（2,0,0）,AF=--,1,^

￡>B=(2,2,0),.

設(shè)。G=403=(24,240),/Le[0,l],則AG=(24—2,24,0).

設(shè)平面出G的一個法向量勺=(x,y,z),則4丄AF,4丄AG

n.-AF=01-，+/+^^z=0,,r

二尸八即｛22令*=一百幾，得

=°[(2Z-2)x+2/ly=0,

721=卜"\/^4(2-1),2-52).

易知平面￡AD的一個法向量%=(°」，°).

〃「巧|_悔.T)|二旦

由已知得cos30"=q|M||^322+3(1-2)2+(2-52)2-2

化簡得9幾2—6/1+1=0，二/1=；.

r2v2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+乙=1.

43

（2）因?yàn)轼B是正三角形，可得直線A耳的斜率為攵=tan0=JL

所以直線A±的方程為yV3(x+1).

設(shè)點(diǎn)。關(guān)于直線A"的對稱點(diǎn)為M(加,〃),

巴其-l

m3、萬

則《、，解得機(jī)=_三,〃=~2,可得〃坐標(biāo)為

nmJ

-4-122

22丿

因?yàn)閨PO|=|PM|,所以卩可+|PO|=|P周+|PM|4

所以忱國+|尸。的最小值四周=-0幣,

百0

直線M8的方程為y2(X-1),即y=_

---1

2

2

x=——

>=一1)3

由?解得,所以此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

V3

y=G(x+l)

y=T

綜上所述，可求的歸用+儼。|的最小值為近，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為

21：(I)由題意得門7=丄-；-紋-oQ+力

1+xe'6”(1+力

當(dāng)""寸’八c,,*、不e"—(旨1+x).

令g(x)=e*-l-x，則gE=/-L

當(dāng)I.錢領(lǐng)■:時，向"法=￡'-：［：*磚，所以g(x)在(0,-x)為增函數(shù).

因此xw(0.+oc)時，g(?>式0)=0,所以當(dāng)xW(O.+oc)時，/(x)>0.則/(x)在

(0,+8)是增函數(shù).

e——x)

(II)由/(力=

ex(l+x)

由(I)知，e21-上當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號成立.

故…寧読二號等

從而當(dāng)1一（320,即時，對xc[O]：

f(x)^O.

于是對臉問典加較，■：：」":0.

由《f；Uj?不;亭蛹.得而丁飛::卜：和手里，從而當(dāng)a>1時

（、e*—a+叱*_a_/，—2ae'+々—_a+正一.）卜一〃_正_〃）

（"）<e'（1+x）e2'（1+x）e2t（l+x）

故當(dāng)x￡（O.lnia?Ja：-aA時，/（x）<0.

于是當(dāng)x€（O.ln（0+Ja^-a））時，/（x）</（0）=0?

綜上，a的取值范圍是（一工刀.

71

22.解析：（1）由題知A7

故點(diǎn)3的直角坐標(biāo)為（2,2）,由/丄Q4知直線/的傾斜角為亍，故直線/的直角坐標(biāo)方程

為x+y=4,所以其極坐標(biāo)方程為。