第七章隨機變量及其分布章節(jié)驗收測評卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）下表是離散型隨機變量的分布列，則常數(shù)的值是（

）X3459PA． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得：，解得.故選：C.2．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量，若，則等于（

）A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】A【詳解】由題意知，正態(tài)曲線的對稱軸為，與關于對稱，所以．所以．故選：A．3．（2024上·江蘇揚州·高三統(tǒng)考期末）一個盒子中裝有5個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回的取2個球，記“第一次取得黑球”為事件，“第二次取得白球”為事件，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，．故選：A.4．（2024·全國·高三專題練習）一組數(shù)據(jù)、、、、的方差為，則、、、、的方差為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【詳解】設原數(shù)據(jù)隨機變量為X，根據(jù)題可知原數(shù)據(jù)方差，則新數(shù)據(jù)隨機變量可表示為，根據(jù)方差公式可知.故選：A.5．（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？计谀┪覀儗⒎亩椃植嫉碾S機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量.概率論中有一個重要的結(jié)論：若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態(tài)隨機變量來近似地替代，且正態(tài)隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時這個結(jié)論是成立的，法國數(shù)學家?物理學家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個結(jié)論對任意的實數(shù)都成立，因此人們把這個結(jié)論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為（

）（附：若，則，A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865【答案】B【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，設硬幣正面向上的次數(shù)為，則.由題意，且，因為，即，所以利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為.故選：B.6．（2024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）一袋中有除顏色外完全相同的7個白球和3個紅球.現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到白球出現(xiàn)10次時停止.設停止時共取了次球，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題知第12次必須取到白球，所以在前面11次取球中取到2次紅球，所以，故選：C.7．（2024上·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）若甲盒中有2個白球?2個紅球?1個黑球，乙盒中有x個白球（）?3個紅球?2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】設第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為，，，從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為，則，解得，則的最大值為6．故選：C.8．（2024·全國·高二假期作業(yè)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學計劃去老年公寓參加志愿者活動．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移動，對于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)為條，錯誤；對于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為條，正確；對于③，小明到的最短路徑走法有條，再從F處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有條，所以到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為，正確；對于④，由題意知：事件的走法有18條即，事件的概率，所以，錯誤.故說法正確的個數(shù)是2.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）下圖是離散型隨機變量的概率分布直觀圖，其中，則（

）

A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】由題知解得，A選項正確；所以，B選項正確；，C選項正確；，D選項錯誤.故選：ABC.10．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量X的可能取值為1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【詳解】由題意知，則，解得，可得，，．故選：AC．11．（2024上·山東日照·高三統(tǒng)考期末）數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量服從二項分布，那么當比較大時，近似服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為.任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.當時，對任意實數(shù)，記，則（

）A．B．當時，C．隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變D．隨機變量，當都增大時，概率增大【答案】BC【詳解】對于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：，即，故A不正確；對于B,當時，，故B正確；對于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準則，在正態(tài)分布中代表標準差，代表均值,即為圖象的對稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在的概率是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯誤，故選：BC12．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量，，，，記，其中，，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】ABD【詳解】對于A，∵，∴A正確；對于B，∵，∴B正確；對于C，當時，，∴C錯誤；對于D，若，則，又∵，∴不是整數(shù)，∴根據(jù)二項分布中概率最大值理論可知：當時，對應概率最大，即最大，從而成立，∴D正確.綜上，選ABD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2024上·上海寶山·高三上海交大附中?？计谀┮阎S機變量的分布為，則.【答案】7.64【詳解】由題意可得,所以,故答案為：7.6414．（2024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑，現(xiàn)在抽取10000件進行檢查，則直徑在之間的零件大約有件.（注：）【答案】【詳解】滿足正態(tài)分布，，直徑在之間的零件大約有件.故答案為：15．（2024下·全國·高二隨堂練習）甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這個景點中隨機選一個．事件甲和乙選擇的景點不同，事件甲和乙恰好有一人選擇九寨溝．則條件概率；【答案】/【詳解】甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這個景點中隨機選一個．事件甲和乙選擇的景點不同，則，事件甲和乙恰好有一人選擇九寨溝，則事件甲和乙中一人選九寨溝，另一人選峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山中的一個景點，所以，，由條件概率公式可得.故答案為：.16．（2023下·安徽安慶·高二安慶市第十中學校考競賽）“三門問題”（MontyHallproblem）亦稱為蒙提霍爾問題?蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，大致出自八九十年代美國的電視游戲節(jié)目Let'sMakeaDeal.問題名字來自該節(jié)目的主持人蒙提?霍爾（MontyHall）.參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的后面有一輛跑車，選中后面有車的那扇門可贏得該跑車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊.當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門.問題是：換另一扇門是否會增加參賽者贏得跑車的概率.如果嚴格按照上述的條件，那么答案是（填“會”或者“不會”）.換門的話，贏得跑車的概率是.【答案】會【詳解】設三扇門為，假設我們已經(jīng)選了門，主持人打開了門，若車在，則打開的概率是，若車在，則打開的概率為1，被打開可能是在以車在的前提下以概率隨機選擇的（情況1），也可能是以車在為前提以1的概率打開的（情況2），雖然我不知道究竟是哪種情況，但是情況2使被打開的可能性更大，所以以被打開作為已知信息，可以推出已發(fā)生情況2的概率更大，所以換另一扇門會增加參賽者贏得跑車的概率，用概率論公式來分析，我們得到：車在門的概率為：，車在門的概率為：.故答案為：會；.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023下·全國·高三校聯(lián)考階段練習）某學校組織了黨的二十大知識競賽（滿分100分），隨機抽取200份試卷，將得分制成如下表：分數(shù)頻數(shù)2040606020(1)估計這200份試卷得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)用樣本估計總體，用頻率估計概率.從這200份試卷中按成績是否低于80分采用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份試卷中隨機抽取3份試卷，設為抽取的3份試卷中成績不低于80分的試卷份數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】(1)76(2)分布列見解析，【詳解】（1）這200份試卷成績的平均值估計為.（2）這200份試卷中按成績低于80分的有120份試卷，不低于80分的有80份試卷，因此抽取10份試卷中成績低于80分的有6份試卷，不低于80分的有4份試卷.的可能取值為.所以的分布列為0123所以.18．（2023下·廣東肇慶·高二校考期末）浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，變成必考科目和選考科目．其中必考科目是語文、數(shù)學、外語，選考科目由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7個科目中自主選擇其中3個科目參加等級性考試．為了調(diào)查學生對物理、化學、生物的選考情況，從鎮(zhèn)海中學高三在物理、化學、生物三個科目中至少選考一科的學生中隨機抽取100名學生進行調(diào)查，他們選考物理、化學、生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如表：選考物理、化學、生物的科目數(shù)123人數(shù)204040(1)從這100名學生中任選2名，求他們選考物理、化學、生物科目數(shù)相等的概率；(2)從這100名學生中任選2名，記X表示這2名學生選考物理、化學、生物的科目數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的數(shù)學期望；【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）記“所選取的2名學生選考物理、化學、生物科目數(shù)量相等”為事件A，則兩人選考科目數(shù)量為1的情況數(shù)為，數(shù)目為2的情況數(shù)為，數(shù)目為3的情況數(shù)有，則.（2）由題意可知X的可能取值分別為0，1，2．當X為0時，對應概率為（1）中所求概率，；當X為1時，一人選考科目數(shù)為1，另一人選考科目數(shù)為2或一人選考科目數(shù)為2，另一人選考科目數(shù)為3，；當X為2時，一人選考科目數(shù)為1，另一人選考科目數(shù)為3，．則分布列如圖所示：X012P故X的期望為．19．（2023·全國·模擬預測）大氣污染是指大氣中污染物質(zhì)的濃度達到有害程度，以至破壞生態(tài)系統(tǒng)和人類正常生存和發(fā)展的條件，對人和物造成危害的現(xiàn)象．某環(huán)境保護社團組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對參會人員就講座內(nèi)容進行知識測試，從中隨機抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖確定的值，再求出這100份樣本試卷成績的眾數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認為此次測試的成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標準差，約為6.75．用樣本估計總體，假設有84.14%的參會人員的測試成績不低于測試前預估的平均成績，求測試前預估的平均成績大約為多少分（精確到0.1）?參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)0.048；眾數(shù)是，分位數(shù)是(2)分【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得：，解得，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，由，則這100份樣本試卷成績的75%分位數(shù)是.（2）由，所以，因為，所以，所以測試前預估的平均成績大約為分．20．（2023上·海南·高三海南中學?？茧A段練習）某健身館為預估2024年2月份客戶投入的健身消費金額，隨機抽樣統(tǒng)計了2024年1月份100名客戶的消費金額，分組如下：，，，…，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)請用抽樣的數(shù)據(jù)預估2024年2月份健身客戶人均消費的金額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若消費金額不少于800元的客戶稱為健身衛(wèi)士，不少于1000元的客戶稱為健身達人．現(xiàn)利用分層隨機抽樣的方法從健身衛(wèi)士中抽取6人，再從這6人中抽取2人做進一步調(diào)查，求抽到的2人中至少1人為健身達人的概率；(3)為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案．方案一：每滿800元可立減100元；方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折．若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品，請您幫他分析應該選擇哪種促銷方案．【答案】(1)元(2)(3)應選擇第二種促銷方案【詳解】（1）因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，所以預估2024年2月份健身客戶人均消費的金額為元.（2）健身衛(wèi)士中健身達人所占比例為，所以抽取的人中健身達人有人，記“抽到的2人中至少1人為健身達人”為事件，所以.（3）若選方案一，只需付款元；若選方案二，設付款金額為元，則可取，且，，，，所以元，因為，所以應選擇第二種促銷方案.21．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學?？计谀┪倚８叨昙墰Q定從2024年起實現(xiàn)新的獎勵評審方案，方案起草后，為了了解學生對新方案的滿意度，決定采取如下“隨機化回答技術”進行問卷調(diào)查：每名學生拋擲一枚質(zhì)地均勻的股子，連續(xù)拋擲兩次.約定“如果兩次的點數(shù)恰好有一次的點數(shù)能被3整除，則按方式I回答問卷，否則按方式II回答問卷”方式I：若第一次點數(shù)能被3整除，則在問卷中畫“△”，否則畫“×”方式II：若你對獎勵評審方案滿意，則在問卷中畫“△”，否則畫“×”.當所有學生完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計畫△，畫×的比例.用頻率估計概率，由所學概率知識即可求得學生對新獎勵評審方案的滿意度的估計值.其中滿意度=（滿意的學生數(shù)/學生總數(shù)）.(1)若高二年級-共有900名學生，用X表示其中用方式1回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學期望；(2)若高二年級