專題24等腰三角形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問題

【模型展示】

等腰三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用，并能分析動(dòng)態(tài)變化過程。這類問題屬于比較難得問題，歷年

都以中考?jí)狠S題的形式出現(xiàn)，在分析的過程中要有分類討論的思想，再結(jié)合圖形的動(dòng)態(tài)變化過程。

已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外.

在討論等腰三角形的存在性問題時(shí)，一般都要先分類.

如果AA8C是等腰三角形，那么存在①48=AC,②A4=8C,③C4=C8三種情況.

解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，

幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算.哪些題目適合用幾何法呢？

如果AABC的N4（的余弦值）是確定的，夾N4的兩邊AB和AC可以用含X的式子表示出

來，那么就用幾何法.

①如圖1,如果AB=AC,直接列方程;

②如圖2,如果BA=BC,那么1/2AC=ABcosZA;

特點(diǎn)

③如圖3,如果CA=CB,那么1/2AB=ACcosZA.

圖1圖2圖3

代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長,分類列方程，解方程并檢驗(yàn).

如果三角形的三個(gè)角都是不確定的,而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含X的式子表示出來，那么根據(jù)兩

點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來.

結(jié)論等腰三南形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用

【題型演練】

一、單選題

I.如圖，等腰三角形ABC的底邊BC的長為4,面積是16,腰4C的垂直平分線EF分別交

AC,A8邊于￡,F點(diǎn)，若點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CCM周長

的最小值為（）

E

M

?F?B

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】先根據(jù)對(duì)稱性判斷點(diǎn)M的位置，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AO上BC,進(jìn)而根據(jù)

三角形的面積求出Ab即可求出答案.

【詳解】YEF是AC的垂直平分線，

點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于EF對(duì)稱.

連接AZZ與EF的交點(diǎn)為M,則此時(shí)點(diǎn)M為使△SM周長最小時(shí)的位置.

：點(diǎn)。是底邊BC上的中點(diǎn)，且AABC是等腰三角形，

，ADlBC.

'?'S"Be=16,BC—4,

：.AD=竺注=≡=8.

BC4

'：MA=MC,

：.△CDM的周長=MC+MD+CD=AD+DC=8+2=10.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查J'垂線段最短的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)M的位置是解

題的關(guān)鍵.

2.如圖，已知△48C是等邊三角形，。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)B、C）,過點(diǎn)。作

DEA.AB,垂足為E,Z）E的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G,連接FZXFE,當(dāng)點(diǎn)。

在BC邊上移動(dòng)時(shí)，有下列三個(gè)結(jié)論：①一定為等腰三角形；②ACFG一定為等邊

三角形；③可能為等腰三角形.其中正確的有（）

A

【答案】C

【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定進(jìn)行判斷即可；

【詳解】解：：FG是DE的中垂線，

/.EF=DF,

，，DEF為等腰三角形，故①正確；

ABC是等邊三角形，

.*.NB=NC=60°,

VDE1.AB,FG-LDE

：.FG//AB.

：.NFGC=NB=60°,

...△CFG為等邊三角形，故②正確；

,/NC=60。，

若AFQC為等腰三角形，則：AFQC為等邊三角形，

???△CFG為等邊三角形，

...△尸。C不可能為等腰三角形，故③錯(cuò)誤：

綜上正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中垂線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定.解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)和判定方法.

3.如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，AO是BC邊上的中線，有一動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)勻

速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)8后停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)AAPO為等腰三角形時(shí)，AP的長為

()

(P)A

B

D

A.迫或GB.1或6C.應(yīng)或GD.述或1

33

【答案】B

【分析】當(dāng)AP=P。時(shí)，P點(diǎn)在4￡＞的垂直平分線上，可得ABPQ為等邊三角形，可得AP

=BP=WAB,當(dāng)AP=A。時(shí)-，勾股定理求得4。即可求解.

【詳解】解：當(dāng)AP=PQ時(shí)，P點(diǎn)在AO的垂直平分線上，

:△ABC為等邊三角形，AD是BC邊上的中線，

.?AD±BC,/8=60。，ZBAD=30°,BD=?BC=1,

"：AP=DP,

：./AOP=NB4。=30。，

N8PD=300+30°=60°,

...△8PO為等邊三角形，

：.BP=DP,

.'.AP=BP=^Aβ=?i

當(dāng)AP=A。時(shí)，

VZADB=90o,AB=2,

ΛΛD=√22-I2=√3，

?'?AP=√3.

當(dāng)AQ=PO時(shí)，不合題意，

綜上，A尸的值為1或

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性

質(zhì)與判定，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在4ABC中，AB=AC,ZB=40o,。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、點(diǎn)C重合)，

連接AO,作NNz)E=40。，OE交線段AC于點(diǎn)E.以下四個(gè)結(jié)論：?ZCDEZBADx②當(dāng)

。為BC中點(diǎn)時(shí)，DEYAC-,③當(dāng)Na4。=30。時(shí)，BD=CEi④當(dāng)44。E為等腰三角形時(shí)，

NEZ)C=30。.其中正確的結(jié)論有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∕8=∕C=4()o,根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即

可得到NBAD=NCr>E；故①正確；

②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ACBC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到DELAC,故②正確；

③根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到8O=CE;故③正確；

④根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到/AEZ)>40。，求得∕ADE≠NAED,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和

三角形的內(nèi)角和得到/8AZ>60。，故④錯(cuò)誤.

【詳解】解：?'CAB=AC,

：./B=NC=40。，

.,.ZBAD=?S0o-40o-ZADB,ZCDE=180o-40o-ZADB,

：.ZBAD=ZCDE,故①正確；

②?.?。為BC中點(diǎn)，AB=AC,

.,.ADLBC,

：.ZΛDC=90o,

ZCDE=50o,

YN040°,

ZDEC=90o,

：.DELAC,故②正確；

?'：ZBAD=30o,

/.ZCDf=30o,

o

ZADC=IOt

???ZCAD=180o-70o-40o=70o,

：.ZDAC=ZADCf

：.CD=ACf

?：AB=AC,

：.CD=AB,

.MABD4ADCE(ASA),

：?BD=CE;故③正確；

(4)VZC=40o,

ΛZΛED>40o,

/.ZADE≠ZAED1

?「△A。E為等腰三角形，

IAE=DE,

：.ZDAE=ZADE=WO,

?.?NBAC=I80o-40o-40°=100°,

,o

..ZBAD=60f故④錯(cuò)誤；

綜上分析可知，正確的有3個(gè)，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確

的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在正方形ABC。中，E、尸是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，戶是正方形四邊上的任意

一點(diǎn)，且A8=4,EF=2,設(shè)AE=X.當(dāng)O<χ<4j∑-2,△PE/是等腰三角形時(shí)，下列關(guān)

于P點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法中，P點(diǎn)最多有()

A.8個(gè)B.10個(gè)C.12個(gè)D.14個(gè)

【答案】A

【分析】分別以E、尸為圓心，防的長為半徑畫圓，作線段EF的垂直平分線，觀察圓和垂

直平分線與正方形邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：：在正方形ABCo中，AB=A,

?-?AC=√2AB=4√2?

,.?EF=2,

?,-AE+CF=4√2-2，

，當(dāng)0<x<4√Σ-2時(shí)，點(diǎn)E,F在AC上，

如圖，分別以E、尸為圓心，E尸的長為半徑畫圓，作線段E尸的垂直平分線,

觀察圖象得：尸是等腰三角形時(shí)，P點(diǎn)最多有?8個(gè).

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形.

6.如圖，在正方形ABCo中，4?=4,對(duì)角線AC上的有一動(dòng)點(diǎn)P,以O(shè)P為邊作正方形

DPFG.

①在尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)點(diǎn)始終在射線BC上；

②在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，NCPz）可能為135。；

③若E是Z）C的中點(diǎn)，連接EG,則EG的最小值為近；

④ACDP為等腰三角形時(shí)，AP的值為2夜或4忘-4

以上結(jié)論正確是（）

A.①③④B.②④C.①②③D.②③④

【答案】A

【分析】由“SAS”可證△DP”也4FPC,可得NPHD=NPCF=I35。,可證點(diǎn)3,點(diǎn)C,點(diǎn)F

三點(diǎn)共線，故①正確；由三角形的外角可得NCPD不可能為135。，故②錯(cuò)誤；由

△DPNmADGE(SAS),可得EG=PN,當(dāng)NP_LAC時(shí)，NP有最小值為即EG有最

小值為也，故③正確；由等腰三角形的性質(zhì)可得AP的值為2夜或40-4,故④正確，即

可求解.

【詳解】解：連接CF，過點(diǎn)P作PHLPC交CO于”，如圖所示：

?.?四邊形ABCQ和四邊形DPFG是正方形，

.?PD=PF,NDPF=NHPC=90°,NACB=NAC0=45°,

NDPH=NCPF,4PCH=NPHC=45°,

ΛPH=PC,NPHD=I35。,

C.∕?DPH^∕?FPC(SAS),

.?.NPHD=/Pb=135°,

，ZACB+ZPCF=180°,

二點(diǎn)B,點(diǎn)C,點(diǎn)尸三點(diǎn)共線，故①正確；

VZCPD=ZCAD+ZADP,NC40=45°,ZCPD=135°,

NAOP=90°,

則點(diǎn)P與點(diǎn)、C重合，

此時(shí)NCPz)不存在，故②錯(cuò)誤；

取4。的中點(diǎn)M連接PM如圖所示：

ND

:點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CO中點(diǎn)，

.'.AN=DE=DN=2,

'：ZADC=ZPDG=90°,

ZADP^ZGDE,

又YDP=DG,

：.ADPN馬ADGE(SAS),

,EG=PN,

：點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)，

.?.當(dāng)NPLACtI寸，NP有最小值為正，

.?.EG有最小值為應(yīng)，故③正確；

?'AD=CD=4,

AC=√2ΛD=4√2.

當(dāng)點(diǎn)/,是4C中點(diǎn)時(shí)，AP=PD=PC=2五,則APCO是等腰三角形，

當(dāng)CP=CO=4時(shí)，是等腰三角形，

?ΛP=4√2-4?故④正確；

綜上分析可知，①③④正確，故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，點(diǎn)Λ/是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)用作MVl.X軸于點(diǎn)N,點(diǎn)P是V軸上的

動(dòng)點(diǎn)，MPINP,且ΔPMN為等腰三角形時(shí)點(diǎn)MP的長為()

y=2x+3

y,

M/

/N^^[F-?x

A.3拒或√ΣB.√2C.好或3√ΣD.逑

44

【答案】D

【分析】先根據(jù)MPJ■NP,且Δ∕WW為等腰三角形，可知ΔPΛYN為等腰直角三角形，得

NMNP=45。,易得Δ∕V尸O是等腰直角三角形，設(shè)OP=m,表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，代入宜線解析

式，求出加的值，即可求出MP的長.

MPLNP,且ΔPΛ√N(yùn)為等腰三角形，

.??ΔPM∕V為等腰直角三角形，

.-.ZMNP=45°,

.MNJ_x軸，

NPNo=45°,

，MNO為等腰直角三角形，

.-.OP=ON,

設(shè)OP=ON=m,

根據(jù)勾股定理，得NP=MN=2m,

①M(fèi)(-m,2,"),代入直線y=2x+3,

得2ιn=-2m+3,

解得機(jī)=J，

4

MP=NP=叵m=＞五,

②M(∕n,2m),代入直線y=2x+3,

得2"?=2m+3,

此方程無解.

綜上所述：MP=2垃.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與等腰直角三角形的綜合，靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)是

解決本題的關(guān)鍵.

8.如圖，在ABC中，AB=AC,點(diǎn)O為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C重合)，連接AE>,

作ZADE=ZB=40o,OE交線段AC于點(diǎn)E.下列結(jié)論：

①NDEC=NBDA；

②若AD=DE,則BD=CE;

③當(dāng)。E上AC時(shí)，則力為BC中點(diǎn)；

④當(dāng)VADE為等腰三角形時(shí)，ZBAD=APP.

其中正確的有個(gè).()

RDC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到ZBAD=ZCDE；

②當(dāng)△?￡)三DCE時(shí)，BD=CE;

③根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ADlBC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到DElAC-.

④根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到NA￡?>的，求得NAoE≠NAED,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

和三角形的內(nèi)角和得到44)=60。.

【詳解】①,乙4￡>C=NB+N8AE>,ZB=ZAOE=40°,

.-.ABAD=ACDE.

AB=AC,

.?.ZB=ZC.

，由三角形內(nèi)角和定理知：ZDEC=ZBDA.

故①正確；

(2)AB=AC,

.?.ZB=ZC=40o,

由①知：ZDEC=ZBDA.

AD=DE.

,?,,ABD=DCE.

.*.BD-CE,

故②正確；

③。為BC中點(diǎn)，AB=AC,

.-.ADlBC,

:.ZADC=90°,

.-.ZCDE=50°,

∠C=40o,

:.ZDEC=90°,

：.DELAC,

故③正確；

④ZC=40°,

.-.ZAED>40°,

ZADE≠ZAED,

.二ADE為等腰三角形，

.?.AE=DE或Ao=DE,

當(dāng)ΛE=OE時(shí)，ZE?E=ZADE=40°,

Zβ4C=180o-40o-40o=100o,

.-.ZBAD=60°,

故④不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，計(jì)算

各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABlBC,AD=W,BC=?3,AB=I2.動(dòng)點(diǎn)

P、Q分別在邊AQ和BC上，且8Q=2QP.線段尸Q與BQ相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E/〃BC,

交CD于點(diǎn)F,射線P尸交BC的延長線于點(diǎn)G,設(shè)。P=x.下列說法正確的有幾個(gè)（）

13

(I)四邊形PQCo為平行四邊形時(shí)，x=1；

DF_I

(2)CF=2;

9∩Q

(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形EFG。的面積始終等于一1；

(4)當(dāng)APQG是以線段尸。為腰的等腰三角形時(shí)，則x=∣??2或號(hào).

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)即可求值；

(2)由平行線分線段成比例即可求解其比值；

(3)點(diǎn)P在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由相似三角形的判定與性質(zhì)可得E/與。G的比始終是1：3,

且BQ=CG,所以其面積為定值，進(jìn)而求出其面積即可；

(4)以線段PQ為腰，則可能是PQ=PG,也可能是PQ=QG,所以分情況求解即可.

【詳解】解：(1)VPD=x,BQ=IDP9BC=13,

：.QC=BC-BQ=?3~2χf

YAD∕∕BC,BPPD//QC,

，當(dāng)Po=QC時(shí)，四邊形尸QCo為平行四邊形，

Λx=13-2%,

13

.*.PD=X=—,故(1)正確；

(2)在梯形A3CQ中，

YAD∕∕BC,BQ=2DP,

.DEPD1

**BE^Bβ^2,

?：EF〃BC,

.DEDF

"~BE~'CF,

DF1

Λ-=-,故(2)正確；

(3)在^BC。中，

λ

?EF//BC9

：.叢DEFSADB3

.EFDEl

??---=---=—,

BCDB3

VBC=13,

：?EF=—,

3

又YPD∕∕CG,

.PDDF?

t,'CG~~CF~21

：.CG=2PD.

：.CG=BQ9EPQG=BC=U.

作EWi.8C,垂足為點(diǎn)M過E作區(qū)WI.8C于

：?ABEMs∕?BDN,

.EMBEEM2

??而一訪一五一3’

.?EM=S.

[([3、208

.*.SEFGQ=-×?-?^-^?×^=-γ~,故(3)正確;

.*.2x+—=11-x

29

3

解得X=；，

(?)當(dāng)PQ=GQ時(shí),PQ=J(Il-3x)2+12?=13,

解得x=2或X=?,

綜上，當(dāng)AP。G是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，X的值為,、2或故(4)正確,

.?.正確的結(jié)論有4個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、相似三角形的判定

與性質(zhì)、以及梯形的面積的求解、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識(shí)，能夠利用

所學(xué)知識(shí)熟練求解是解答的關(guān)鍵.

二、填空題

10.如圖，等腰三角形A8C的底邊BC長為4,面積是12,腰AC的垂直平分線EF分別交

AC,AB于點(diǎn)E、F,若點(diǎn)。為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則aCDM的周

長的最小值為.

【分析】連接AD,由于ΔABC是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，故AOlBC,再根據(jù)

三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)E尸是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直

線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,故AO的長為CM+MO的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接A3，

MBC是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

.-.ADA.BC,

???sAW=；BaAo=94XAD=I2，

解得AZ>=6,

所是線段AC的垂直平分線，

點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

.：A。的氏為CM+的最小值，

.?,SCDM的周長最短=(CM+Λffi>)+Cf>=AO+j8C=6+gx4=6+2=8.

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題

的關(guān)鍵.

11.如示意圖，在AABC中，AC=BC,AE_LBC于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作/A8C的角平分線BF

交AE于G,點(diǎn)。是射線B尸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。在AABC外部,連接AD.∕C=2NAO8,

當(dāng)AADG為等腰三角形，則Ne的度數(shù)為

【答案】90?；?08°

【分析】設(shè)NAQB=X,則NC=Zr,從而可求得∕EA8=x,ZABF=?ZABC-45°^y

所以NAGO=NE4B+∕A8F=x+45°-gx=45°+gx,再分三種情況：①當(dāng)AO=CG時(shí)，

ZDAG^ZDGA；②當(dāng)AD=AG時(shí)，ZADG^ZAGDi③當(dāng)AG=QG時(shí)，ZGAD^ZADG

=x,分別求解即可.

【詳解】解：設(shè)∕AC8=x,則/C=2x,

"：AC=BC,

180o-2x

.".ZCAB=ZCBA=90°-X,

2

'：AELBC,

：./AEB=90°,

：.NEAB=X,

平分NA8C,

ZABF=INABC=45。-??,

.?.NAGD=/EAB+/ABF=X+45°-gx=45°+Tx,

△AOG為等腰三角形時(shí)，存在三種情況：

①當(dāng)Az)=QG時(shí)，ZDAG=ZDGA,

即x+45°+^?Λ+45°+?X=180°,

X=45°,

ΛZC=90°,

②當(dāng)Ac=4G時(shí)，NAoG=NAGZZ

x=^5+-x,

x=90°,

.?.ZC=180。(不符合題意,舍去)，

③當(dāng)AG=QG時(shí)，ZGAD=ZADG=X,

2x+45+g.r=180,x=540,

NC=108°,

綜上，/C的度數(shù)為90?；?08。.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線與三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，

分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，已知4G〃CF,ABA.CF,垂足為B,A8=BC=3,點(diǎn)P是射線AG上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)

P不與點(diǎn)A重合)，點(diǎn)Q是線段C8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AB的中點(diǎn)，連接PD并延

長交BF于點(diǎn)E,連接PQ,設(shè)AP=2f,CQ=t,當(dāng)APQE是以PE為腰的等腰三角形時(shí)，f

的值為.

【答案】13■或(2

【分析】以8為原點(diǎn)、直線C尸為X軸，直線48為)，軸，建立直角坐標(biāo)系，先證明AP=BE,

即可得E點(diǎn)坐標(biāo)為(2/,0),CQ=t,BQ=3-t,P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2f,3),C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),A點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,3),。點(diǎn)坐標(biāo)為(r-2,0),根據(jù)。點(diǎn)在線段BC上，P點(diǎn)不與A點(diǎn)重合，可得0<r<3,進(jìn)而

有BE=2t,BQ=3-t,QE=BQ+EB=3+t,利用勾股定理有：PQ2=(3-3r)2+9,QE2=(t+3↑,

PE2=16∕2+9,根據(jù)△P0E是以PE為腰的等腰三角形，分類討論：當(dāng)PQ=PEWj,當(dāng)QE=PE

時(shí)兩種情況，即可求解.

【詳解】以8為原點(diǎn)、直線CF為X軸，直線45為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，

VAG//CF,ABLCF,

a

..Aβ±AGf

o

：.ZGAB=ZABF=Wf

???。點(diǎn)為48中點(diǎn)，

：?AD=BD,

，結(jié)合NAoP=NBDE可得△APDqABED,

：.AP=BE,

^AP=2tf

：.BE=2=

，E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，,0),

VAB=BC=3,

β

..CQ=t,BPBQ=S-I9尸點(diǎn)坐標(biāo)為(?2r,3),C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),

???Q點(diǎn)坐標(biāo)為(f?3,0),

Y。點(diǎn)在線段BC上，尸點(diǎn)不與A點(diǎn)重合，

Λ0<r<3,

VBE=2hBQ=3-3

QE=BQ+EB=3+t,

，利用勾股定理有：PQ2=(-2r-r+3)2+(3-0)2=(3-3/)2+9,0E2=(r+3)2,

PE2=(-2r-2?)2+(3-0)2=165+9,

根據(jù)APQE是以PE為腰的等腰三角形，分類討論：

當(dāng)PQ=PE時(shí),有(3-3.,+9=16/+9,

整理:7『+18/-9=0,

3

解得f=1(負(fù)值舍去)，

?QE=PEWi,有16產(chǎn)+9=?+3)2,

整理：15r2-6r=0,

2

解得(0舍去)，

32

綜上所述：/的值可以為

32

故答案為：—?—.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、構(gòu)建直角坐標(biāo)系、勾股定理、全等三角形的判定與

性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，構(gòu)建直角坐標(biāo)系是快速解答此題的關(guān)鍵.解答時(shí)，需注

意分類討論的思想.

13.如圖，等腰三角形ABe的底邊BC長為4,面積是12,腰48的垂直平分線EF分別交

AB,AC于點(diǎn)E、F,若點(diǎn)。為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則aBOM的周

長的最小值為一.

【答案】8

【分析】連接A。，AM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AD垂直8C,則根據(jù)AABC的面積即

可求出AQ,由題意點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,即有AM=8M,即有8M+MD=4M

+MD,即當(dāng)A,M,D三點(diǎn)共線時(shí)，8M+MO的值最小，最小為Af）的長，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：如圖，連接A。，AM,

「△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

.?AD±BC,

;BC=4,AABC的面積為12,

?*.?BC,AD——×4×AD—12,

.'.AD=6,

???EF是線段AB的垂直平分線，

點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

：.AM=BM,

：.BM+MD=AM+MD,

即當(dāng)4,M,。三點(diǎn)共線時(shí)，8Λ7+ΛW的值最小,

：.AD的長為BM+MD的最小值，

.?.△8。例的周長最短為8例+用力+8。=4。+8力=4。+58。=6+2=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題

的關(guān)鍵.

三、解答題

14.已知：如圖，在RtAABC中，NC=90?,AS=5cm,AC=4cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿

射線BC以IernZS的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

⑴求BC邊的長；

(2)當(dāng)A48P為直角三角形時(shí)，求f的值;

(3)當(dāng)AABP為等腰三角形時(shí)，求r的值.

【答案】(1)3Cm

(2)3或g

(3)5或6或三

O

【分析】(1)利用勾股定理即可求出結(jié)論；

(2)由題意可得：BC=rem,∠B≠90o,然后根據(jù)直角三角形直角的情況分類討論，利用

勾股定理等知識(shí)即可解答；

(3)當(dāng)A4BP為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形,

根據(jù)三線合一、勾股定理等知識(shí)即可解答.

(1)

解：:在RfABC中，/090?,AB=5cm,AC=4cm,

22

BC=y/AB-AC=3cm?

(2)

解：BC=tern,ZB≠90o

當(dāng)NA∕>8=90。時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

BP=BC,

即f=3；

當(dāng)NB4B=90。時(shí)，如下圖所示：

A

：.CP=BP-BC=(t-3)cm.

^.?AC2+CP2=AP-=BP'-AB2，

：.42+(r-3)2=r2-52,

解得：t=?γ.

綜上：當(dāng)人鉆尸為直角三角形時(shí)，U3或年;

(3)

解：當(dāng)AB=AP時(shí)，如下圖所示：

BP=IBC,

即∕=2X3=6.

當(dāng)AB=BP時(shí)，如下圖所示:

當(dāng)AP=8P時(shí)，如下圖所示:

在RtAPC中，AC?+'=/1/*

即42+(3-Γ)2=Z2,

解得：，=后25.

6

綜上：當(dāng)A4BP為軸對(duì)稱圖形時(shí)，f=5或6或-.

6r

【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)是

解決此題的關(guān)鍵.

15.如圖，在AABC中，ZC=90o,AB=5cm,BC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CBTBA

的路線運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

(I)AC=cm；

(2)出發(fā)0.5秒后，求八43P的周長；

(3)當(dāng)r為何值時(shí)，43CP為等腰三角形？

(4)另有一動(dòng)點(diǎn)Q,從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒ICm,若尸、。兩點(diǎn)同

時(shí)出發(fā)，當(dāng)，為何值時(shí)，直線PQ把△相C的周長分成相等的兩部分？

【答案】(1)4

(2)(7+√Π)cm

,小U5—33

(3)f=下或3或K

410

(4)2

【分析】(I)根據(jù)勾股定理即可得到答案.

(2)根據(jù)路程=速度X時(shí)間求出CP、BP的長，再利用勾股定理求出町的長，即可求解.

(3)分三種情況進(jìn)行討論，ΦPC=PB,②BP=BC,③PC=BC,根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)分別列出方程即可求解.

(4)根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

(1)

*.*ZC=90o,AB=5cm,BC=3Cm,

AC=y∣AB2-BC2=√52-32=4(cm),

故答案為:4.

(2)

：動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB-BA的路線運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm,

r=0.5s時(shí)，CP=2×0.5=1cm.

JBP=BC-PC=2cm

.?.在四△ACP中，由勾股定理，得AP=?JAC2+PC2=√42+l2=717

CABC=AB+AP+PB=5+yfn+2=7+V17(cm)

(3)

圖1圖2圖3

①當(dāng)尸C=P8時(shí)，如圖1,則NPcB=N3,

???^PCA+ZPCB=ZB+^A=90o,

???ZPCA=ZA,

，PC=PA=PB,

BP=-AB

2

：.BP=25,

???2r=3+2?5,

解得，=^;

4

②當(dāng)8P=8C=3時(shí)，如圖2,

則2r=3+3,解得t=3；

③當(dāng)CP=CS時(shí)，如圖3,作CD_LAfi于點(diǎn)ZZ則CZ)=YCm,

由勾股定理，得BD=JBC?-CD?=Wcm,

1Q

.*.BP=2BD=-cm,

5

1133

綜上所述，當(dāng)/=丁或3或瞪時(shí)，為等腰三角形；

4IO

(4)

由題意，得什力=帶生，解得/=2,

即當(dāng)f=2時(shí)，直線P。把ZXABC的周長分成相等的兩部分.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及判定、三角形面積的

計(jì)算；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵.

16.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,NC=90?,BC=?6,DC=I2,AD=21,動(dòng)點(diǎn)

P從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線D4的方向以每秒2兩個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，在

線段C8上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)O,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)

Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)勁，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒).

(1)當(dāng)，為何值時(shí)，以B,Q，D,P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，以8,D,P為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？

⑶當(dāng)f為何值時(shí)，以B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

【答案】⑴，=9

(2?=8或1=12.5

⑶f=?∣或r=與

【分析】(1)AD//BC,當(dāng)劃=制時(shí)四邊形5。Z)P是平行四邊形，得2f=16-t,計(jì)算即

可求出n

(2)分二種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)NBPZ)為直角時(shí)，可證得四邊形PBCD為矩形，得PD=BC,

即2/=16,計(jì)算即求出/；②當(dāng)NPBD為直角時(shí)，PB2+=尸￡>*得12?+⑵-16y+202=⑵尸，

計(jì)算即可求出f,

(3)分三種情況進(jìn)行討論，①若PQ=BQ,在凡PMQ中，Pβ2=r+122,由也一他,將

各數(shù)據(jù)代入，可將f求出：②若BP=BQ,在相∕≡中，PB2=(16-2r)2+l22,將各數(shù)據(jù)代

入，可將f求出；③若PB=PQ,由尸B=PU得產(chǎn)+122=(16—+12"將各數(shù)據(jù)代入，可將

f求出.

(1)

解：如下圖,

：AD//BCf

當(dāng)外=BQ時(shí)四邊形BQDP是平行四邊形,

由題意可知：PD=2t,BQ=I6-t,

即2/=16-t,

解得：，號(hào),

.1=與時(shí)，四邊形800尸是平行四邊形；

(2)

解：如下圖，作BHj.PD，

NWB為銳角，

?*.只能NBP?；蛘遉PBD為直角，

BC=I6,DC=?2,x×C=90?.

\切=20,/的范圍為OVfWI6,

①當(dāng)NBPD為直角時(shí),

?.NC=90?,AD//BC

：.NoCB=90?,

四邊形PBeD為矩形，

PD=BC,

：.2r=16,

,f=8；

②當(dāng)NPBD為直角時(shí)，PBL+BD2=PDr,

'：BH±PD,

：.∠z8"P=90?,

PB-=BH2+PH2

：.122+(2r-16)2+202=(20?

/.r=12.5,

綜上所述，/=8或f=12.5時(shí)，以8、。、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形;

(3)

解：如下圖：

AD

BMQC

由上圖可知，CM=PD=2t,CQ=t,若以8、P、。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分

三種情況：

①若PQ=8。，在RPMQ中，PQ2=t2+l22,

7

由PO?=BQ2得『+122=(16-/)2,解得f=5；

②若BP=BQ,在∕?CnWe中，PB2=(I6-2∕)2+122,

由P爐=8。得(16-2^+122=(16-A)?,即3?-32/+144=0.

此時(shí)，/-M4=(j［浜04?-,

所以此方程無解，

.?.BP手BQ,

③若PB=PQ,由PB,=P行得產(chǎn)+12=(163+122得G=亂=16(不符合題意，舍去)，

綜上所述，當(dāng)f=g或，=當(dāng)時(shí)，以B,P,。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、矩形、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是注意

分情況討論.

17.如圖，在RfAABC中，ZABC=90o,AB=2G,8C=15,點(diǎn)。為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。

從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，點(diǎn)D

運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長度.

(1)當(dāng)f=2時(shí)，CD=；AD=；

(2)當(dāng)r為何值時(shí)，ACBO是等腰三角形？并說明理由.

【答案】⑴4,21

(2)6.25或75或9秒.

【分析】(I)先由勾股定理求解AC的長,再由速度乘以時(shí)間可得CQ從而可得AD的長度;

(2)分三種情況討論：①當(dāng)CC=BC時(shí)，CD=15,②當(dāng)CQ=B。時(shí)，③當(dāng)BO=BC時(shí)，過點(diǎn)

8作LAC于F,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案.

(1)

解：R∕AA8C中，ZABC=90°,48=20,BC=15,

?^?AC=^AB-+BC2=25,

；由題意可得：CD=2t,

：.DA=25-2t.

當(dāng)片2時(shí)，CZ>4,D4=21.

故答案為：4,21.

(2)

①當(dāng)Co=BC時(shí)，CD=I5,

②當(dāng)Co=8。時(shí)?，如圖,

二NC=NDBC,

'：ZC+ZA=ZDBC+ZDθΛ=90o,

.?.ZA=ZDBA,

：.BD=AD,

.,.CD=AD=-AC=U.5,

2

③當(dāng)BD=BC時(shí)，如圖，過點(diǎn)B作BFLAC于F,

B

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF;則CF=DF,

.RkABxBC15×20,?

..BF=------------=----------=12,

AC25

CF=y∣BC2-BF2=√152-122=9,

.?.CQ=2CF=9x2=18,

Λ∕=18÷2=9.

綜上所述，/=6.25或7.5或9秒時(shí)，ACBD是等腰三角形.

故答案為：6.25或7.5或9秒.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的定義與性質(zhì)，清晰的分類討論是解本

題的關(guān)鍵.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與X軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（2,M

為直線y=χ+2上一點(diǎn)，直線y=-χ+%過點(diǎn)C.

⑴求加和〃的值；

（2）直線y=-X+力與X軸交于點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。開始以每秒1個(gè)單位的速度向X軸負(fù)方向

運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)。，點(diǎn)A重合）.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

①若點(diǎn)尸在線段QA上，且ΔAC尸的面積為10,求f的值；

②是否存在，的值，使AACP為等腰三角形？若存在，直接寫出f的值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

【答案】（1）“F=4,b=6

⑵①t=3；②存在f的值，使ΔACP為等腰=角形，r的值為8-4及或8+4√Σ或4

【分析】（1）將點(diǎn)C（2,M代入y=χ+2,求出S的值，再將確定的點(diǎn)C代入y=τ+b中，即

可求〃的值；

(2)①由題意可知尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(6T,O),則AP=8T,再由&Ie=gx(8τ)x4=10,求出t

的值即可；

②由①分別求出AC=4&,APN8-”，CP="(4τ>+16，再根據(jù)等腰三角形的邊的關(guān)系

分三種情況建立方程，求出/的值即可.

(1)

解：將點(diǎn)C(2,㈤代入y=x+2,

.*.∕n=4,

；直線y=-χ+b過點(diǎn)C,

*'.-2+6=4.

解得b=6；

(2)

解：①?"=6,

直線解析式為y=τ+6,

.?.D(6,0),

直線y=x+2與X軸交點(diǎn)A為(-2,0),與y軸交點(diǎn)3(0,2),

由題意可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為(6τ,0),

AP=6-t+2=8-t,

；?SMe=；X(8T)X4=10，

解得r=3；

②存在f的值，使ΔACP為等腰三角形，理由如下：

VA(-2,0),C(2,4),P(6T,O),

?AC=4√2,AP=∣8T∣,CP=√(4-r)2+16.

當(dāng)AC=AP時(shí)，4√2=∣8-z∣,

解得f=8-4夜或r=8+4五；

當(dāng)AC=CP時(shí)，4√2=√(4-Z)2+16,

解得/=O(舍)或f=8(舍)；

當(dāng)CP=AP時(shí)，∣8T∣=J(4T)2+16,

解得/=4：

綜上所述：r的值為8-4&或8+4夜或4.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

19.已知，在.ABC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)E是射線CA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是邊8C上

的動(dòng)點(diǎn)，且"=OE,射線OE交射線BA于點(diǎn)￡>.

圖1備用圖備用圖

求沁的值:

(1)如圖1,如果OC=2,

(2)聯(lián)結(jié)A0,如果AAEO是以AE為腰的等腰三角形,求線段OC的長;

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊4C上時(shí)，聯(lián)結(jié)BE,CD,NDBE=NCD0,求線段OC的長.

【答案】⑴0.09

⑵理或竺

3913

(3)8-√39

【分析】⑴先證明，ABCsCoEC,求出CE,AE,再證明OBD^AED,利用面積比等于

相似比的平方即可得解;

(2)分當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上和當(dāng)點(diǎn)E在線段C4的延長線上兩種情況討論，根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)和線段的轉(zhuǎn)化，得到AE=OE=OC,再利用一ABCs_of。，列比例式求解即可;

ΔΓRo

(3)證明，AOES?COE,ABgDBC,得到一,設(shè)OC。，0B=8-x,根據(jù)

ECCB

ABCs,OEC,求出CE,AE,再代入到笑=”即可得解.

ECCB

(I)

解：VAB=AC,

：.W=c,

;OC=OE1

：.NoEC=/C,

JZB=ZOEC9

：.ABCSOEC,

.AC_BC

"OC-CE,

.5_8

>>---------

2CE

：.CE=3.2，

???AE=I.8；

?：ZAED=ZOEC=ZB,/ODB=ZADE,

：..OBD^AED,

.??空與。.3,

OB6

...鼠些=032=009

SZ)DB

(2)

當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，

?/∕?AEO是以AE為腰的等腰三角形，

???AE=OE,

?：OC=OE,

設(shè)AE=OE=OC=X,

由(1)得，ABCS&0EC,

.AC_BC

u,~δc~~CEt

.5_8

??———，

X5-x

解得，X=子25

則。C的長是為今25;

當(dāng)點(diǎn)E在線段C4的延長線上時(shí)，如圖2,

圖2

,/ZVlEO是等腰三角形,

AE=AO,

.?.NE=ZAOE,

/B=NC=NOEC,

:./B=ZAOE,

.?.AABCSMOE.

.AEOE

,AB-BC,

.AEOC

.,.---=---,

58

.?.AE=-OC,

8

由(1)可知：ABC^OEC,

.OCEC

,AC-BC,

.OCEC

"^5^--Γ,

AC=EC-AE=5,

QC

/.-OC--0C=5,

58

???"卷

綜上所述：OC為2瑞00或看25；

(3)

由(1)得，ZB=ZOEC,

,.?^OEC+ZOEA=l80o,

Jz×β+∠zOE4=180o,

???A、B、0、E四點(diǎn)共圓，

ZDBE=ZAODf

■：ZDBE=ZCDO,

???ZAOD=ZCDO,

：.AO//DC9

&AOESdCDE,ABC~DBC,

.AO_BOAO_AE

*'~DC^~CBy~DC^~CE'

.AEBO

**EC-cF,

?OC=x,OB=S-X,

YABCs.QEC,

.AC_BC

*βoc-cF,

.58

??—=---，

XCE

解得，CE=L6r,

???AE=5-1.6r

.5-1.6x_8-x

1.6x-V*

解得，xl=8-√39,Λ2=8+√39（舍去）,

則。。的長是為8-病.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).通過己知條件推出三角形相似，利用相似三角

形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在，軸正半軸上，邊AB、OA(AAOA)

的長分別是方程V-