第五節(jié)橢圓

考試要求：掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

、必備知識(shí)?回顧教材重“四基”/

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,尸2的距離的和等于常數(shù)(大于尸情21)的點(diǎn)的軌跡叫做橢

圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的嫂臣，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦理，焦距的一半

稱為半焦距.

微提醒???，

集合P={MIMR|+|MF2|=2a},|FIF2|=2C,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù).

⑴若a>c,則集合尸為橢圓.

(2)若a=c,則集合P為線段F\Fi.

⑶若a<c,則集合P為空集.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

記一］國(guó)+京_1

標(biāo)準(zhǔn)方程

(<2>Z?>0)(a>b>0)

y

A2

J/

圖形B\bOB、x

巴少Aix

Biy

小

—aWxWa,一bWxWb,

范圍

—aWyWa

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)

Ai(—a,0),Ai(0,—a)9

性質(zhì)

A2(Q,0),A2(0,a),

頂點(diǎn)

Bi(0,-/?),0),

及(0,b)Bz(b,0)

軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為須；短軸的長(zhǎng)為為

焦距|FIF2|=2C

離心率e、G(0,1)

Q,人，C的

c1=a1—b2

關(guān)系

微提醒■■■■

(1)橢圓焦點(diǎn)位置與x2,V系數(shù)間的關(guān)系：

22

給出橢圓方程上+匕=1時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在光軸上橢圓的焦點(diǎn)在y軸

mn

上<=>0<〃2<〃.

(2)求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a,b,c的一個(gè)方程，再結(jié)合序=/一/就可求

得e(O<e<l).

3.直線與橢圓的位置關(guān)系

直線與橢圓的位置關(guān)系有三種：杞直、相切、?.

4.常見(jiàn)結(jié)論

(l)a+c與a—c分別為橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值.

(2)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦|A3|=(,稱為通徑.

(3)若過(guò)焦點(diǎn)Fi的弦為AB,貝的周長(zhǎng)為4a.

(4)e=越大,橢圓越扁；e越小，橢圓越圓.

22

(5)A8為橢圓3+k=13>匕>0)的弦，A(xi,yi),Bg*),弦中點(diǎn)M(xo,yo),

則

2

①弦長(zhǎng)1=V1+k\x]—X2\=J1+如1—y2|；

②直線AB的斜率kAB=一孕.

a2yo

22

(6)若M,N為橢圓J+3=l(a〉A(chǔ)>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是橢圓上不與

h2

M,N重合的點(diǎn)，則麻

二、基本技能?思想?活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

1.判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫“J”，錯(cuò)的畫“X”.

⑴平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)回，尸2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(x)

⑵橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（X）

⑶方程m%2+州2=1（m＞0,〃＞0,表示的曲線是橢圓.（V）

（嗜+與3+苴=1（。＞。＞°）的焦距相同.（7）

2.若n（—3,0）,F2（3,0）,點(diǎn)P到R,正2的距離之和為10,則點(diǎn)P的軌跡方

程是（）

%2y2

A.瓦+才1

%2y2

B.-4-^=1

1009

C."=1

2516

D.

A解析：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,y）,因?yàn)閨尸F(xiàn)i|+|P氏2|=10＞歷網(wǎng)=6,所以點(diǎn)P的

軌跡是以B為焦點(diǎn)的橢圓，其中Q=5,c=3,h=y/a2—c2=4,故點(diǎn)P的

軌跡方程為^—F—=1.

2516

2

3.已知正數(shù)機(jī)是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線f+5=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（+V3,0）

B.（0,+V3）

C.（+V3,0）或（土西，0）

D.（0,土8）或（土而，0）

B解析：因?yàn)檎龜?shù)是2和8的等比中項(xiàng)，所以〃=16,即優(yōu)=4,所以橢圓

22_

X2+\=1即f+?=l的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,+V3）.故選B.

4.若直線x—2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為（）

A.y+y2=l

%2y2

B.—+—=1

45

c.9+戶1或？+3=1

D.以上答案都不對(duì)

C解析：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0,1）,（-2,0）,

由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c=2,h=1,

2

所以/=5,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為言+)2=1.

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b=2,c=l,

22

所以次=5,所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+±=1.

54

5.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)b2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P.若

△RPB為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()

A.也B.生

22

C.2-V2D.V2-1

D解析：由題意可知，\PF2\=2C,\PFI\=2V2C.

因?yàn)閨PB|+|PB|=2a,所以2c+2企c=2a,

解得￡=四一1.

a

---------、關(guān)鍵能力?研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”/----------

考點(diǎn)1橢圓的定義——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.圓A的半徑為4,圓心為A(—1,0),8(1,0)是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任

意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑AP相交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)

Q的軌跡方程為()

A.—+—=1B./+y2=]6

34,

22

C.?+g=lD.(x+l)2+/=16

C解析：如圖，直線/為線段BP的垂直平分線，

所以連接B。，由線段垂直平分線的性質(zhì)得：BQ=PQ,

而半徑AP=AQ+PQ,且A,8兩點(diǎn)為定點(diǎn)，

所以AQ+BQ=4＞AB=2,

所以由橢圓定義得點(diǎn)Q軌跡是以A,B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4,2c=2,

所以a=2,c=l,所以

所以橢圓方程為日+亡=1.故選C.

43

2.在平面直角坐標(biāo)系X。）'中，橢圓。的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)R1,尸2在光軸上，離

心率為號(hào)，過(guò)點(diǎn)F1的直線/交C于A,B兩點(diǎn),且△ABB的周長(zhǎng)為16,那么C

的方程為（）

A.日+g=1B.日+生=1

36181610

%2y2y2

C.—+—=1D.—+—=1

42168

D解析：設(shè)橢圓的方程為0■+等=由=—r=1——T=-,得〃2=2Z?2.

根據(jù)橢圓的定義可知△A8F2的周長(zhǎng)為4〃，所以4。=16,即。=4,〃=16,b2=

8,

22

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為^—F—=1.

168

22

3.已知Fi,人分別為橢圓C：程=1（。＞匕＞°）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)人且垂直

于x軸的直線/交橢圓。于A,8兩點(diǎn).若是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則

橢圓C的方程為（）

%2y242y2

A.——F—=1B.——I--=1

4396

C.-4-^=1D.-+^=1

164169

B解析：如圖所示，

因?yàn)椤鰽BF2是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

所以|AB|=4,\AFi\=^AB\=2,所以2a=|AB|+|A尸2尸6,所以a=3.

又因?yàn)閨nF2|=2c=J|AF2|2-|/Fi|2=2g,所以c=8,則〃=/一,2=6,

22

故橢圓C的方程為---F—=1.故選B.

96

解題通法

橢圓定義的應(yīng)用技巧

⑴橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積、弦

長(zhǎng)、最值和離心率等.

（2）橢圓的定義常和余弦定理、正弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和

面積問(wèn)題.

考點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程——綜合性

「典例引領(lǐng)」

22

例⑴“一3〈加V4”是“方程'+'=1表示橢圓”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

’4—TH>0,

22

B解析：因?yàn)榉匠潭?三=1表示橢圓的充要條件是《根+3>0,

4-mm+3

k4—mm+3,

解得一3<〃?<4且〃料，所以''-3V〃zV4”是“方程三+痣=1表示橢圓”的

必要不充分條件.故選B.

（2）已知橢圓C：總+?=13>0）的右焦點(diǎn)為F,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，C上有且只有一

個(gè)點(diǎn)尸滿足?；囟t川，則橢圓C的方程為（）

A.日+廿=1B.蘭+日=1

12383

C.立+^=1D.立+乃=1

6343

D解析：根據(jù)對(duì)稱性知點(diǎn)P在x軸上，QFInlfPI,故。=2c,/=3+。2,解得

。=2,c=1,

22

故橢圓C的方程為^—F—=1.

43

同源異考/

22

本例(1)中橢圓的方程式變?yōu)楦?段=1，若焦距為4,則他的值為_(kāi)_______.

丫2“2

7或11解析：在橢圓上-+工-=1中，由已知可得2c=4,解得c=2.

16-mm-2

16—m>0,

若橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，可得■m—2>0,解得加=7;

、(16-m)—(m—2)=c2=4,

16—m>0,

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，可得<m-2>0,解得m=11.

\(m—2)—(16—m)=c2=4,

因此，機(jī)=7或11.

解題通法

1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法

(1)定義法：先根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義，并確定/,h2

的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程.特別地，利用定義法求橢圓方程要注意條

件2。>|尸|尸2|.

⑵待定系數(shù)法：利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，即首先確定焦點(diǎn)

所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a,匕的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)

橢圓方程為mx2+ny2=l(m>0,n>0,相加)的形式.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用

2222

(1)方程版?+^2=1(4>。>0)與溫+靠=2(4>0)有相同的離心率.

2222

(2)與橢圓弓+卷=l(a>/?>0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為三+~^—=l(a>b>0,b2

+k>0),恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

「多維訓(xùn)練」

1.一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)凡在X軸上，PQ,8)是橢圓上一點(diǎn)，且

m，|P冏成等差數(shù)列，則橢圓的方程為()

22_

A解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+白=1(。>力>0).由點(diǎn)P(2,在橢圓上知

------1------=1

a2Tb2

又|PA|,IF1F2I,IPF2I成等差數(shù)列，則|「理+|尸冏=2尸|尸2|,即2a=2X2c,￡=；.

a2

（

—44--3=1

22

ab22

又。2=層一〃，聯(lián)立一斤，得〃=8,〃=6,故橢圓方程為互+旺=1.

86

C_1

ka-2'

_22

2.過(guò)點(diǎn)（6,一通）,且與橢圓三+3=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______

259

2222

+~=1解析：（方法一）橢圓5+3"=1的焦點(diǎn)為（°，—4）,（0,4）,即C=4.

204259

由橢圓的定義知，2a=J（?—0）+（―V5+4）+J（V3—0）+（―V5-4）,

解得〃=2遙.

22

由/=/―/得從=4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+-=1.

204

22

（方法二）因?yàn)樗髾E圓與橢圓會(huì)+；=1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且

22

/=25—9=16.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為彳+^r=l（a>/?>0）.因?yàn)椋?=16,且c2=a2~b2,

所以a1—b2=16.①

22

又點(diǎn)（百，一遍）在所求橢圓上，所以e爭(zhēng)+嚕=1,即?+4=1.②

a2b2a2b2

22

由①②得廿=4,“2=20,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為—F—=1.

204

考點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì)——應(yīng)用性

f典例引領(lǐng)」

考向1求離心率（或范圍）

例?，⑴（2022?全國(guó)甲卷）橢圓C：5+會(huì)1（a〉">0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均

在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線AP,A。的斜率之積為%則。的離心率為

（）

出W

2

A.2B.

C.

A解析：A(—a,0),設(shè)P(xi,yi),則。(一xi,yi),則MP=』-,kAQ=-yi,

“1+Q—XI+a

故履p.fc4Q=q"..yi￥2產(chǎn)工?又2當(dāng)+工2=1，則無(wú)所2以

2％i+a-x±+a-xl+a4ab八a

12(々2_啕之i------

--y-~^~~=工，即】=工，所以橢圓C的離心率e=-=1—.故選A.

-%i+a24a24a7az2

22

(2)(2022?青島模擬)已知月,凡分別是橢圓。京+尢=1伍＞?！怠?的左、右焦點(diǎn)?若

橢圓C上存在點(diǎn)P,使得線段PF\的中垂線恰好經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F2,則橢圓C的離心

率的取值范圍是()

C解析：如圖所示,

因?yàn)榫€段PF\的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2,

所以PF2=FIF2=2C,即橢圓上存在一點(diǎn)P,使得P&=2c.

所以2c2a—c.所以e=￡6［工，1Y

解題通法

求橢圓離心率的方法

(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助/=&2—/消去兒轉(zhuǎn)化為含

有e的方程(或不等式)求解.

考向2與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題

22

例?，已知尸(2,0)為橢圓,+翥=1伍＞。＞。)的右焦點(diǎn)，過(guò)/且垂直于x軸的弦

長(zhǎng)為6.若A(—2,/),點(diǎn)M為橢圓上任一點(diǎn)，則+的最大值為.

8+V2解析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為廣，

由橢圓的右焦點(diǎn)為F(2,0),得c=2,又過(guò)尸且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為6,即空=

a

6,

則匕=之=3,解得a=4,

aa

所以+\MA\=S~\MF\+\MA\=S+\MA\~\MF\,

當(dāng)M,A,尸三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|一|M用取得最大值，

(\MA\~\MF\)max=|AF|=V2,

所以阿同+|陌4|的最大值為8+V2.

解題通法

橢圓的范圍與最值問(wèn)題

⑴在設(shè)橢圓盤+，=1(。>A>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為尸(x,>)時(shí)，有國(guó)Wa,,可以把

橢圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)視為某一函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值.

(2)橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a+c,最小距離為a—c;橢圓短軸端點(diǎn)與兩焦

點(diǎn)連線的夾角是橢圓上點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線夾角的最大值.

「多維訓(xùn)練」

22

1.已知巧,仍為橢圓E：3+靠=1(。泌〉0)的左右焦點(diǎn)，在橢圓E上存在點(diǎn)P，

滿足出尸21=因尸2|且放到直線PR的距離等于4則橢圓￡的離心率為()

11

A.-B.-

32

C.2-D.-3

34

B解析：由已知得|PF2l=[F]F2l=2c,

根據(jù)橢圓的定義可得[PF/+\PF2\=2a=>\PF1\=2a-2c.

又尸2到直線P乃的距離等于"，即尸2”1=尻

由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得：FiHLPF\,可列方程：(a—c)2+〃=(2c)20屋

—ac—2，=00(a—2c)(a+c)=00a—2c=00e=[.故選B.

2.設(shè)P是橢圓盤+?=1上一點(diǎn)，M,N分別是兩圓：。+4)2+產(chǎn)1和。-4)2

+尸=1上的點(diǎn)，則IPM+IPM的最小值、最大值分別為()

A.9,12B.8,11

C.8,12D.10,12

C解析：如圖所示，因?yàn)閮蓚€(gè)圓心恰好是橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知|PF||

+|P凡|=10,易知|PM+|PN|=(|PM+|MK|)+(|PN+|Nb2|)—2,則其最小值為

|尸乃|+「網(wǎng)一2=8,最大值為小川+/網(wǎng)+2=12.

、一題N解?深化綜合提“素養(yǎng)”,

「試題呈現(xiàn)」

22

設(shè)橢圓京=1(。＞切＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fl,尸2.若橢圓上存在點(diǎn)P,使

ZFIPF2=90°,求離心率e的取值范圍.

［四字程序］

讀想算思

1.在焦點(diǎn)三角形中構(gòu)建點(diǎn)P的橫坐

在橢圓上存在

可利用哪些性質(zhì)或結(jié)標(biāo)x與a,b,c

點(diǎn)P,使得轉(zhuǎn)化與化歸，函

論的關(guān)系式，利用

NF1PF2為直數(shù)與方程

2.離心率的表達(dá)式橢圓的有界性求

角

有哪些解

1.在焦點(diǎn)三角形中

要注意應(yīng)用：

①橢圓的定義.

1.橢圓的有界

②勾股定理或余弦定

求橢圓離心率性.

7_a2c2-a2b2

理.片a2-b2

e的取值范圍2.一元二次方程

③三角形的面積公式

有實(shí)根的條件

2.e=￡或e=

a

Jl-5

「一題多解」

解法

思路參考：利用曲線范圍.

解：設(shè)P(x,y),又知B(—C,0),F2(C,0),

則序=(x+c,y),F^P=(x—c,y).

由//砂氏2=90°,知芋J_虧，

則可?哥=0,

即(x+c)(x-c)+y2=0,

得x1+y2=c2.

22

將這個(gè)方程與橢圓方程與+彳=1聯(lián)立,

a2b2

消去y,

由橢圓的取值范圍及NFiPFi=90°,

知OWx2。？,

a2c2-a2b2

即0W<a2.

a2-b2

可得c22/,即c2^a2—c2且。2<層,

從而得e=-2",且e=^<l,

a2a

所以ee［孝，1).

解法

思路參考：利用二次方程有實(shí)根.

2

解：由橢圓定義知|PFi|+|PF2|=2a=>|PFJ2+|PF2|2+2|PFI|?|PF2|=4a.

又由/RPB=90。，

知IP/iF+|p@|2=的刑2=4c2,

可得IPRillPRI=2（儲(chǔ)一。2）.

因此，|「乃|與|P網(wǎng)是方程f-2以+232—/）=0的兩個(gè)實(shí)根，

所以A=4屋一8（4一/）20=02=捺>乎.

所以ed惇，1）.

解法

思路參考：利用三角函數(shù)有界性.

解：記NPFiF2=a,4PF2F\=B，由正弦定理有吟=2型=叵且，即空回粵=

sin0smasm90°sina+sin0

IF1F2I.

又|PR|+|PB|=2a,|FIF1=2C,則有e=￡='『―J_.=-1_.

2asina+sin/?2sian^coas^限osa?p

由0。★心一用<90。，

知OY邑?<45。，

所以也<COS匕

從而可得學(xué)We<l.

解法

思路參考：利用基本不等式.

解：由橢圓定義,有2a=|PFi|+|P尸*平方后得4/=|PF/2+/尸2『+2|PFJ?

2

|PF|<222當(dāng)且僅當(dāng)|尸產(chǎn)||=|尸冏時(shí)取等號(hào)，得標(biāo)？

22(|PF1|+|PF2|)=2|FIF2|=8?,

P所以e喈，1).

解法

思路參考：巧用圖形的幾何特性.

解：由NnPE2=90。，知點(diǎn)P在以71冏=2(:為直徑的圓上.

又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P,

故有扶=層一，，

由此可得ee[j,1).

解法

思路參考：雙焦點(diǎn)最大張角.

解：設(shè)Bi為上頂點(diǎn)，則雙焦點(diǎn)最大張角為NKBB.

由已知/尸|8尸2290°,

所以NOBiB245°,

tanNOB1F2N1,即￡21,心》后,c22/一/,

b

得94所以有e.停,1).

「思維升華」

1.本題考查橢圓離心率范圍的求解，解題的基本策略是根據(jù)離心率的表達(dá)式,

利用函數(shù)、方程、不等式求解，也可以利用橢圓圖形的性質(zhì)解決.

2.基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般要熟練掌握離心率的表達(dá)式和橢圓的幾何性質(zhì)，

試題的解答體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.基于高考評(píng)價(jià)體系，本題通過(guò)橢圓性質(zhì)的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和

綜合性.

「類題試練」

22

設(shè)A,B是橢圓C：2+匕=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，若。上存在點(diǎn)M滿足

3m

120°,則〃2的取值范圍是()

A.(0,1]U[9,+00)

B.(0,V3]U[9,+8)

C.(0,1]U[4,+8)

D.(0,V3]U[4,+°o)

設(shè)M(xo,yo),不妨設(shè)州>0,A(-V3,0),B(V3,0).

則SAMAB=y/3yo=^MA\?|MB|sin\=^-\MA\?\MB\,得?|MB|=4yo.

AM=(xo+V^,yo),BM=(xo—百，yo),

故而?前=(&+V3)(x0-V3)+yl=\AM\?\BM\cos|n,

得賄-3+光=-2yo.

因?yàn)镸(xo,yo)在橢圓上，

所以逋+逋=1,

3m

得就一3=一?%，

故―5羽+*=-2》。，

得yo=#-<Vm,

,3-m

解得0〈機(jī)W1.

當(dāng)m>3時(shí)，如圖2,

圖2

設(shè)A/(xo,yo),不妨設(shè)xo>O,

則A(0,—Vm),B(0,Vm),

SAWAB=Vmxo=-|MA|?|Mfi|sin-n=~\MA\?\MB\,\MA\?\MB\=^^xo,

2343

AM=(XO9yo+y[m)9BM=(xo,yo—y/m)9

所以4M,BM=XQ+(yo+yJm)(y()—yfm)=\AM\?|FM|cos|TI,

解得亞+yo-m=一主詈x().

因?yàn)镸(xo,yo)在橢圓上，

所以/+歐=1,

3m

得%-m=-^xl，

,7m7,o2)3771

故-5玷+%3=-3助

解得回=阻K百，

171-3

解得機(jī)29.

綜上m29或0<〃zWl.

故選A.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(四十七)

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓

的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓。的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)人均在x軸

上，橢圓。的面積為28兀，且短軸長(zhǎng)為2遮，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.^+/=1B.片+乃=1

12z43

C.狂+”=1D.立+二=1

34163

命=返（a=2

B解析：由題意可得口，解得二

,2b=2V3,tb=V3.

22

因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在X軸上，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

2.已知橢圓〃z/+4y2=l的離心率為日，則實(shí)數(shù)機(jī)等于（）

A.2B.2或g

C.2或6D.2或8

ITJ

D解析：顯然機(jī)>0且機(jī)W4,當(dāng)0V〃?V4時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在x軸上，則牛4=這，

低2

FT

解得m=2;當(dāng)初>4時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在），軸上，則與盧亨，解得機(jī)=8.

A

22

3.（2023?煙臺(tái)模擬）已知橢圓C：3+3=l（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F\,F2,

橢圓上點(diǎn)P（x,y）到焦點(diǎn)尸2的最大距離為3,最小距離為1,則橢圓的離心率為

()

A.1B.3

22

2

C.-D.2

3

Q-L.c—3

A解析：設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意可得一'解得a=2,c=l,所以

、a—c=1,

橢圓C的離心率e=-=-，故選A.

a2

4.已知兩圓G：。一4產(chǎn)+產(chǎn)二需/C2：（x+4）2+y=9.動(dòng)圓M在圓。內(nèi)部且和

圓G相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（）

22X2y2

A.%_"=]B.-4-^=1

64484864

%2y2

C.次—"=1D.—+—=1

48646448

D解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心M（x,y）,半徑為匚因?yàn)閳AM與圓Ci:（X—4）2+y2=169

內(nèi)切，與圓C2：（x+4）2+），2=9外切，所以|MG|=13一r，|MC2|=3+r.

\MC\I+\MCi\=16>|CiC2I=8,由橢圓的定義，知點(diǎn)M的軌跡是以Ci,C2為焦點(diǎn),

長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16的橢圓，則a=8,c=4,所以從=82—42=48,

22

所以動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為---F—=1.

6448

5.已知橢圓C：<+H=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為乃，F(xiàn)z,離心率為名過(guò)上的

a2b23

直線/交C于A,B兩點(diǎn).若△ABB的周長(zhǎng)為4舊，則橢圓C的方程為()

y2”2丫2

—+)廣=

A.—3I—2—1B.3,1

C2.藝2=1D.立2+旺2=1

128124

A解析：若方山的周長(zhǎng)為4A后，由橢圓的定義可知，4。=4>&,所以。=遍.

因?yàn)??=———,所以c=1,所以b?=2,所以橢圓。的方程為—F—=1.故選A.

a332

6.已知橢圓E的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為

2四一2.又離心率為?，則橢圓E的方程為.

--FL=1解析：因?yàn)闄E圓上"一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為a—c,

84

所以a—c=2遮一2,離心率e=當(dāng)，

所以￡=遮，解得。=2&，c=2,則〃=屋一/=4,

a2

所以橢圓E的方程為三—F—=1.

84

2?>

7.已知點(diǎn)P(0,1),橢圓v亍+y2=,〃(加>1)上兩點(diǎn)A,8滿足4P=2PB,則當(dāng)機(jī)=

時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

5解析：設(shè)A(xi,yi),8(x2,yi),則AP=(—xi,1—yi),PB=(X2,y2~1).由AP

=2PB,

—=2X2,x=—2X,

得即12

,YI=3-2y2?

、1=2(y2-1)，

因?yàn)辄c(diǎn)A,B在橢圓上,

(等+(3-2y2尸=m,

所以《2解得y2=^m+|,

(-+y2=機(jī)，

8橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，最大值為2.

8.已知兩定點(diǎn)A(—l,0)和8(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線/：丫=尤+3上移動(dòng)，橢

圓。以A,8為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,求橢圓C的離心率的最大值.

22

解：不妨設(shè)橢圓方程為三+—=l(a>l),

a2a2-l

—+-^―=1

與直線/的方程聯(lián)立Fa2-l消去y得（2〃2—1.2+6。2尤+1042一。4=0

y=X+39

由題意易知A=36/—4（24—1）（10〃—〃4）N0,解得QN通，

所以6=￡=工工底，所以e的最大值為空.

aa55

B組新高考培優(yōu)練

22

9.（多選題）若橢圓C：?+k=1仍0）的左、右焦點(diǎn)分別為B,F2,則下列人的

值，能使以尸出2為直徑的圓與橢圓。有公共點(diǎn)的有（）

A.b=y/2B.h=y/3

C.h=2D.h='j5

ABC解析：以為f2為直徑的圓的方程為f+y2=c2,因?yàn)閳Af+V：/與橢圓

C有公共點(diǎn)，所以即9一從2%所以從嚀，即OGW誓，滿足條件的

有ABC.故選ABC.

10.已知4,A2分別為橢圓C：盤+《=1（。〉比＞0）的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓C上

異于Al,A2的任意一點(diǎn).若直線用”公2的斜率的乘積為一，則橢圓C的離心

率為（）

4

A.-B.-2

93

C.-D.—

93

D解析：設(shè)P（x。，yo）,則含X熱=一%化簡(jiǎn)得否基=1,

~9~

則滬/?=J1-（￡）2=.故選D.

11.已知橢圓胃+A=l（a泌＞0）的離心率為右直線y=^與該橢圓交于A,B兩

點(diǎn)，分別過(guò)A,8向左軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則左等于（）

A.±-B.+-

23

C.±-D.±2

2

y=kx,nh

A解析：聯(lián)立2=＞（b1+a2^）x2=a2b2,則x=±-f===,

2

^ab2-

由題意知石黑阜=，，①

y/bz+azk2

因?yàn)閑=￡=工，所以a=2c,Z?=Va2-c2=V3c,

a2

代人①可得4^77=。2=左=±2.