第04講6.3.1二項(xiàng)式定理+6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解二項(xiàng)式定理的概念，會(huì)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式。②掌握二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律和指數(shù)的變化規(guī)律。③掌握多項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)及特殊項(xiàng)或系數(shù)。④理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。⑤會(huì)用賦值法求展開式系數(shù)的和。1.要求能運(yùn)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式；2.會(huì)求展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，特殊項(xiàng)及特殊項(xiàng)系數(shù)；3.能用待定法求展開式中的待定系數(shù).能解決與二項(xiàng)式定理相關(guān)的綜合問題；4.能理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；5.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的增減性，靈活應(yīng)用賦值法求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和.知識點(diǎn)01：知識鏈接（1）（2）知識點(diǎn)02：二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念（1）二項(xiàng)式定理一般地，對于每個(gè)（），的展開式中共有個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得到二項(xiàng)展開式：（）.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.（2）二項(xiàng)展開式公式中：，等號右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式.【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）.（2）.（3）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(),項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.【即學(xué)即練2】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)【答案】B【詳解】二項(xiàng)式的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng).故選：B.【即學(xué)即練3】（2023上·天津?yàn)I海新·高三塘沽二中?？茧A段練習(xí)）若的二項(xiàng)展開式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，則在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，所以，則，則展開式的通項(xiàng)為（其中且），令，解得，所以展開式中的系數(shù)為．故答案為：．（4）二項(xiàng)式定理的三種常見變形①②③知識點(diǎn)03：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)二項(xiàng)展開式中的()叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用表示,即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng):.通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項(xiàng)式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識點(diǎn)04：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：二項(xiàng)展開式中與首尾兩端距離相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等：②增減性：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞減；③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.④各二項(xiàng)式系數(shù)和：；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：【即學(xué)即練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若，則該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【詳解】，，∴，解得，∴該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.故選：D【即學(xué)即練5】（2023上·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】15【詳解】因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，所以，所以二項(xiàng)式為，所以第項(xiàng)展開式為，若求常數(shù)項(xiàng)，則令，所以，所以，即常數(shù)項(xiàng)為15.故答案為：15.題型01求型的展開式【典例1】（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）二項(xiàng)式的展開式為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求的二項(xiàng)展開式．【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）利用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1)；(2)．【變式1】（2023·全國·高二課堂例題）寫出的展開式．【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）求的展開式．題型02二項(xiàng)展開式的逆用【典例1】（2023下·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學(xué)?？计谥校?/p>

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【典例2】（2023下·上海浦東新·高二校考期中）.【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡．【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡：設(shè)，則．【變式2】（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為．【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┑闹凳?題型03二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問題【典例1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．60 C．210 D．【典例2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）的展開式中的系數(shù)是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【典例3】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開式中的第3項(xiàng)為（

）A．160 B． C． D．【典例4】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)為；常數(shù)項(xiàng)為．【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)【變式2】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式展開式中的含項(xiàng)的系數(shù)為．【變式4】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.題型04三項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問題【典例1】（2023下·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．6 B．15 C．20 D．28【典例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）在的展開式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，若，則的值為.【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．題型05幾個(gè)二項(xiàng)式的和或積的展開式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問題【典例1】（2023上·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．7 C．77 D．【典例2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）二項(xiàng)式的展開式中，所有項(xiàng)系數(shù)和為，則的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【典例3】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.【典例4】（2023·天津·高三專題練習(xí)）若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則展開式中的系數(shù)為．【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知，若其展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為81，則．【變式3】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為81，則展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.【變式4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知的二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則展開式中的系數(shù)為．題型06二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問題【典例1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學(xué)?？计谥校┮阎?xiàng)式的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則.【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知的展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求；（2）的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是多少？【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【變式2】（2023下·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為.【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）若的展開式中，的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n的值及二項(xiàng)式系數(shù)的最大值．題型07系數(shù)最大（小）項(xiàng)問題【典例1】（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；②系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)；【變式1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【變式2】（2023上·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)校考期中）二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為．【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2:5.(1)求n的值；(2)系數(shù)最大的項(xiàng)．【變式4】（2023下·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；②系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？題型08賦值法解決系數(shù)和問題【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．已知（），且的二項(xiàng)展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)；②求的值．【典例2】（2023下·山東濟(jì)南·高二校考階段練習(xí)）已知，求：(1)；(2)．【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【變式1】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【變式2】（2023上·高二單元測試）已知.(1)求；(2)求；(3)求.【變式3】（2023下·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)設(shè)十．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┮阎?(1)求的值；(2)求的值.題型09有關(guān)整除或求余問題【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)，且，若能被7整除，則（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【典例2】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）被8除的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如果今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2023上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理證明能被8整除．題型10利用二項(xiàng)式定理近似計(jì)算【典例1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對于任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理的展開式的前兩項(xiàng)可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù)．用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）的展開式中含的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯(lián)考期中）若為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C． D．3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．20 C． D．154．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）若的展開式中的系數(shù)為40，則（

）A．2 B． C．4 D．5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┤?，則（

）A．1 B．513 C．512 D．5116．（2023下·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第5，6項(xiàng) B．第6，7項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)7．（2024上·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末），則（

）A．31 B．1023 C．1024 D．328．（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023上·甘肅慶陽·高二?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．已知，則可能取值為6B．已知，則可能取值為7C．在的二項(xiàng)式展開式中，常數(shù)項(xiàng)是84D．在的二項(xiàng)式展開式中，常數(shù)項(xiàng)是10．（2023上·廣東佛山·高三校考階段練習(xí)）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）若的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為60，則的最小值為．12．（2024上·甘肅武威·高三民勤縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）干支紀(jì)年是中國古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊