第8章二元一次方程組第3單元二元一次方程組的實際應(yīng)用課時精講一二元一次方程組的實際應(yīng)用內(nèi)容分析數(shù)學(xué)的發(fā)展來源于人們對現(xiàn)實世界的認識，為了了解其中的一些變化規(guī)律，人們要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進行探究.二元一次方程組就是刻畫現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系，溝通已知和未知的一種數(shù)學(xué)模型.本節(jié)課安排了5個實際問題，分析和解決這些問題的難度比之前要大.對于這些問題，教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生先獨立探究，再進行合作交流，利用數(shù)學(xué)問題中變量間的相等關(guān)系，構(gòu)建方程和方程組來解決問題.學(xué)生分析受閱讀能力、分析能力的制約，怎樣從實際問題中提取數(shù)學(xué)信息，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，對七年級的學(xué)生來說是個難點.本節(jié)課涉及的實際問題中都有兩個未知數(shù)，含有兩個等量關(guān)系，需要列二元一次方程組，數(shù)量關(guān)系比“一元”問題復(fù)雜.學(xué)生要仔細分析問題，抓住關(guān)鍵詞，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，從而列出方程組.目標(biāo)確定1.能分析實際問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系.2.能根據(jù)實際問題列出二元一次方程解決實際問題.重點難點重點：探究用二元一次方程組解決實際問題的過程.難點：能抓住“不變量”和“等量關(guān)系”列方程組.評價設(shè)計“二元一次方程組的實際應(yīng)用”學(xué)習(xí)評價量表標(biāo)準(zhǔn)等級會分析實際問題中的已知量和未知量，用字母表示未知量.A會將問題中所給的文字語言轉(zhuǎn)化成為對應(yīng)的符號語言會分析實際問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系.A會分析實際問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系.B能找出“兩個表示等量關(guān)系的句子”，抓住“不變量”和“等量關(guān)系”列方程組.B會根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.A活動設(shè)計環(huán)節(jié)1復(fù)習(xí)回顧教師活動①學(xué)生活動①例1小明在超市買了兩種水果共10kg，其中蘋果每千克6元，香蕉每千克5元，一共花了56元錢，那么兩種水果各買了多少？問題1只設(shè)一個未知數(shù)，應(yīng)如何構(gòu)建一元一次方程求解呢？問題2列方程（組）時最關(guān)鍵的是找表示等量關(guān)系的“關(guān)鍵句”，本題“關(guān)鍵句”是什么？師生共同總結(jié)：例1中有兩個未知量，既可以通過列二元一次方程組求解，也可以通過列一元一次方程組求解（雖然有兩個未知量，很容易用一個未知數(shù)x來表示問題中的兩個未知量），列一元一次方程和二元一次方程組解應(yīng)用題的區(qū)別僅在于：前者是設(shè)一個未知數(shù)，列一個方程求解；而后者則是設(shè)兩個未知數(shù)，列二元一次方程組求解.設(shè)兩個未知數(shù)，一般需列兩個方程.例1學(xué)生在操作的過程中回顧列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)并列出有關(guān)代數(shù)式；③找出等量關(guān)系列出方程（組）；④解方程（組）；⑤檢驗方程的解是否符合實際意義（不寫檢驗過程，只需寫出檢驗結(jié)果）；⑥答題.簡記：審、設(shè)、列、解、驗、答.問題1設(shè)蘋果買了xkg，則香蕉買了（10－x）kg，根據(jù)題意，可得6x＋5（10－x）=56.解這個方程，可得x=6.所以購買香蕉的質(zhì)量為：10－x=10－6=4（kg）.答：蘋果買了6kg，香蕉買了4kg問題2本題“關(guān)鍵句”是“兩種水果共10kg”和“一共花了56元錢”解：設(shè)蘋果買了xkg，香蕉買了ykg，根據(jù)題意，可得解這個方程組，可得答：蘋果買了6kg，香蕉買了4kg.活動意圖說明例1的設(shè)計旨在讓學(xué)生總結(jié)回顧列方程解應(yīng)用題的一般步驟，并體會：設(shè)一個未知數(shù)，到一個方程求解，雖思維量大，但解法簡單；設(shè)兩個未知數(shù)，列二元一次方程組求解，雖思維量較小，順理成章，但解法較麻煩.環(huán)節(jié)2提出問題教師活動②學(xué)生活動②例2已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，價格分別為A型每臺6000元，B型每臺4000元，C型每臺2500元.某中學(xué)計劃將100500元錢全部用于從該公司購進其中兩種不同型號的電腦共36臺，請你設(shè)計出幾種不同的購買方案供該學(xué)校選擇，并說明理由.思考：“將100500元錢全部用于從該公司購進其中兩種不同型號的電腦”怎么理解？有幾種可能？未知數(shù)的取值有無條件限制？師生總結(jié)：方案設(shè)計問題往往要借助方程或方程組的知識進行決策，對于具體問題還要考慮未知量的取值范圍.例2可分以下3種情況考慮：只購進A型電腦和B型電腦，只購進A型電腦和C型電腦，只購進B型電腦和C型電腦．購進的三種類型的電腦的臺數(shù)都是正整數(shù).解：（1）只購進A型電腦和B型電腦，根據(jù)題意，可列方程組：解這個方程組，可得不合題意，應(yīng)舍去.（2）只購進A型電腦和C型電腦，根據(jù)題意，可列方程組：解這個方程組，可得（3）只購進B型電腦和C型電腦，根據(jù)題意，可列方程組：解這個方程組，可得答：有兩種方案供該校選擇，第一種方案是購進A型電腦3臺和C型電腦33臺，第二種方案是購進B型電腦7臺和C型電腦29臺．活動意圖說明方案設(shè)計問題是現(xiàn)實生活中常見的問題之一，也是中考中出現(xiàn)頻次較高的問題，往往要借助方程或方程組的知識，分類討論進行決策.通過解決這個問題培養(yǎng)學(xué)生的分類思想．環(huán)節(jié)3解決問題教師活動③學(xué)生活動③例3養(yǎng)牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約需要飼料675kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約需用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計平均每頭大牛1天約需飼料18~20kg，每頭小牛1天約需飼料7~8kg.你能通過計算檢驗他的估計嗎？思考：怎樣理解“通過計算來檢驗他的估計”？題中要求的未知數(shù)是什么？如何設(shè)未知數(shù)？例4據(jù)統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1：2.現(xiàn)要把一塊長200m、寬100m的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物.怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3：4？思考：矩形的寬不變，面積與長成正比應(yīng)該怎么理解？你能解這個方程組嗎？如何表述你的種植方案？你還有其他的設(shè)計方案嗎？例3學(xué)生讀題，自主回答，體會估計值不是已知量，而是未知量，要用準(zhǔn)確的數(shù)字來檢驗.教師引導(dǎo)學(xué)生找出未知數(shù)是求每頭大牛和每頭小牛1天分別約需用飼料的千克數(shù).設(shè)平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需飼料xkg和ykg，根據(jù)兩種情況的飼料用量，找出相等關(guān)系，列方程組.解：設(shè)平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需飼料xkg和ykg，列方程組，得解這個方程組，得這就是說平均每頭大牛1天約需飼料20kg，每頭小牛1天約需飼料5kg，飼養(yǎng)員李大叔對大牛的食量估計較準(zhǔn)確，對小牛的食量估計偏高.例4學(xué)生獨立思考，共同討論解決問題.將長分成兩部分，設(shè)未知數(shù)，列方程組.將方程組化簡為小組討論，如過長邊離一端120m處作該邊的垂線，將矩形分成兩部分，較大的部分種甲種作物，較小的部分種乙種作物.活動意圖說明使學(xué)生進一步熟悉應(yīng)用方程組解決實際問題的全部過程，學(xué)會將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的方程組來求解.環(huán)節(jié)4拓展提升教師活動④學(xué)生活動④例5關(guān)于x，y的方程3kx＋2y=6ky－3，對于任何k的值都有相同的解，試求它的解.提問：“對于任何k的值，方程都有相同的解”應(yīng)該如何解讀？思考：因為無論k為何值，x，y的取值都是確定的，與k值無關(guān)，可否有其他的解讀？例6A，B兩地相距45km，一部分是上坡路，另一部分是下坡路.某人騎車從A地出發(fā)去B地辦事，辦完事后再從B地返回A地.已知他上坡時的速度為每小時12km，下坡時的速度為每小時18km，并且從A地到B地比從B地到A地多騎了15min.求此人從A地到B地所花的時間.提問：本題中的等量關(guān)系有哪些？思考：除了上述解法之外，你還能想出其他的解法嗎？例5無論k為何值，x，y的取值都是確定的，與k值無關(guān)，與k值無關(guān)實質(zhì)上是指方程經(jīng)過整理后，k的系數(shù)為0，因為0乘以任何數(shù)得0.解：方程可化為（3x－6y）k＋2y＋3=0，由題意，得解得故原方程的解為學(xué)生思考：我們可以取k的兩個特殊值（比如k=0，k=1）并分別代入原方程，構(gòu)造一個新方程組，同樣可以求出x，y的值.例6要我們求的雖然只是一個未知數(shù)——此人從A地到B地所花的時間，但在求這個未知數(shù)時，需要知道上坡路和下坡路的路程，所以有兩個間接未知數(shù)——從A地到B地上坡路的路程和下坡路的路程.從A地到B地的上坡路正好是從B地到A地的下坡路，從A地到B地的下坡路正好是從B地到A地的上坡路.等量關(guān)系是：①從A地到B地上坡路的路程＋從A地到B地下坡路的路程=45km；②從A地到B地所花的時間一從B地到A地所花的時間=15min.解：設(shè)從A地到B地上坡路的路程為xkm，從A地到B地下坡路的路程為ykm，根據(jù)題意，可得解這個方程組，可得所以，從A地到B地所花的時間為：（h）=3h15min.答：此人從A地到B地所花的時間為3h15min.學(xué)生思考（討論）：由于從A地到B地的上坡路正好是從B地到A地的下坡路，從A地到B地的下坡路正好是從B地到A地的上坡路，所以，往返一次所走的上坡路與下坡路都等于A，B兩地間的距離，即45km.于是，可以求出往返一次所需的時間，即為（）h又已知從A地到B地比從B地到A地多花了15min，所以想到設(shè)兩個間接未知數(shù)——從A地到B地所花的時間和從B地到A地所花的時間.存在的等量關(guān)系是：①從A地到B地所花的時間＋從B地到A地所花的時間＝（）h：②從A地到B地所花的時間一從B地到A地所花的時間=15min.解：設(shè)從A地到B地所花的時間為xh，從B地到A地所花的時間為yh，根據(jù)題意，可得解得x=h=3h15min答：此人從A地到B地所花的時間3h15min.活動意圖說明例4設(shè)計了一個“與參數(shù)k取值無關(guān)的問題”，是難度校大、較抽象的問題，為以后研究“動態(tài)函數(shù)”起鋪墊作用.例5的設(shè)計意圖是讓學(xué)生體會如何在較復(fù)雜的問題中尋找等量關(guān)系.板書設(shè)計二元一次方程組的實際應(yīng)用典例分析列方程解應(yīng)用題的一般步驟例1①例3③例4④例5⑤例6⑥練習(xí)診斷1.（A）初三（2）班40名同學(xué)為“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情況如下表.表格中捐款2元和3元的人數(shù)不小心被墨水污染看不清楚，請分別求出對應(yīng)的人數(shù).請用列一元一次方程和二元一次方程組兩種方法求解.2.（A）某人騎車從A地以12km/h的速度下坡，再以9km/h的速度走平路，共用55min；回來時，以8km/h的速度走平路，再以4km/h的速度上坡，用了h.求A，B兩地之間的路程.3.（A）運往某地的兩批貨物，第一批共360t，用6節(jié)火車車廂和15輛汽車正好裝完.第二批共440t，用8節(jié)火車車廂和10輛汽車正好裝完.每節(jié)火車車廂和每輛汽車平均裝多少噸？4.（A）某所中學(xué)現(xiàn)在有學(xué)生4200人，計劃一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，這樣全校學(xué)生將增加10%.這所學(xué)?，F(xiàn)在的初中在校生和高中在校生各有多少人？5.（A）如圖，8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？6.（A）將若干只雞放入若干個雞籠中，若每個雞籠放4只，則有一只雞無籠可放；若每個雞籠放5只，則有一個籠無雞可放，那么有雞多少只？雞籠多少個？7.（A）一次籃球、排球比賽，共有48個隊，520名運動員參加，其中籃球隊每隊10名，排球隊每隊12名，籃球、排球各有多少隊參賽？8.（A）某班同學(xué)到距離學(xué)校18km的北山郊游.只有一輛汽車，需分兩組，甲組先乘車，乙組步行.車行至A處，甲組下車步行，汽車返回接乙組，最后兩組同時達到北山站.已知汽車速度是60km/h，步行速度是4km/h，求A處距北山站的距離.9.（A）《一千零一夜》中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的一只鴿子對在地上覓食的鴿子說：“若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的；若是從樹上飛下去一只，則樹上和樹下的鴿子就一樣多了.”請問樹上和樹下各有多少只鴿子？10.（B）暑假里，某報社組織了“我們的小世界杯”足球邀請賽.勇士隊在第一輪比賽中共賽9場，得17分.比賽規(guī)定勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.勇土隊在這一輪中只負了2場，那么這個隊勝了幾場？又平了幾場呢？11.（B）某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經(jīng)過測試得知：同時開放1個大餐廳和2個小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐；同時開放2個大餐廳和1個小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐.（1）1個大餐廳和1個小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐？（2）若7個餐廳同時開放，請估計一下能否供應(yīng)全校的5300名學(xué)生就餐，并說明理由.12.（C）小明在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個大小相同的矩形（如圖①），恰好可以拼成一個大的矩形.小彬看見了，就把圖形拼成了一個正方形（如圖②），然后中間留下了