第一章三角形的證明第三節(jié)線段的垂直平分線精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出，求出和的長(zhǎng)，即可求出答案．【詳解】解：是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，，，的周長(zhǎng)為：；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在的邊上找一點(diǎn)P，使得．下面找法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用已知條件證明，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到P點(diǎn)為的垂直平分線與的交點(diǎn)，然后利用基本作圖對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，而，∴，∴P點(diǎn)為的垂直平分線與的交點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．3．（2022秋·河北唐山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，銳角三角形中，直線l為的垂直平分線，直線m為的角平分線，l與m相交于P點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A．31° B．22° C．43° D．32°【答案】A【分析】根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程，求出方程的解即可．【詳解】平分，，直線l是線段BC的垂直平分線，，，，，，解得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出是解此題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2022秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點(diǎn)、，若，則為（

）A．38° B．42° C．44° D．48°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，計(jì)算即可．【詳解】解：，，、分別為、的垂直平分線，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等幾何知識(shí)．熟知線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解答的關(guān)鍵．5．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第四十中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線，交于點(diǎn)，連接，若的周長(zhǎng)為，，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，是垂直平分線，即可得到，結(jié)合的周長(zhǎng)為，，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，是垂直平分線，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∵，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等．6．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，邊BC的垂直平分線交于D，連結(jié)，下列說(shuō)法不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．【詳解】解：由題意可得，垂直平分線段，，，，，，，，，故選項(xiàng)A，B，D正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．二、填空題7．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)廣州市天河中學(xué)?？计谀┲?，的垂直平分線交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，平分，若，則為_(kāi)_______度．【答案】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，則，由平分可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，求解即可．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵平分，∴∴，即由可得，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．8．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，的中垂線交于點(diǎn)，已知，的周長(zhǎng)為25，則______________．【答案】15【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)已知的周長(zhǎng)為25，可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：是的中垂線，，的周長(zhǎng)為25，，，，，．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋·福建龍巖·八年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，AD是的中線，，，且，則的長(zhǎng)___________．【答案】6【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，如圖所示：，，，在和中，，，，，，，，．故答案為6【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·北京·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，斜邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，則______cm．【答案】【分析】連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得出，再根據(jù)直角三角形所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，∵是的垂直平分線，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形的外角的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線表示一條公路，A，表示兩所大學(xué)，要在公路旁修建一個(gè)車站，使車站到兩所大學(xué)的距離相等．請(qǐng)用尺規(guī)在圖上找出點(diǎn)并說(shuō)明理由．【答案】作圖見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析【分析】連接．根據(jù)“到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”知，點(diǎn)P應(yīng)是線段的垂直平分線與直線m的交點(diǎn)．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P是的垂直平分線與直線m的交點(diǎn)．作線段的中垂線．∵垂直平分線段，∴（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和作圖能力，屬基礎(chǔ)題，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)及作圖方法是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】連接AE，由垂直平分線的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中利用勾股定理可得的長(zhǎng)，即得的長(zhǎng)．【詳解】解：是的垂直平分線，，設(shè)，，，，，即，解得故【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等腰三角形一腰的中垂線與另一腰所在直線夾角為，該等腰三角形的底角的度數(shù)是___________．【答案】或【分析】作出圖形，分①三角形是銳角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出頂角，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解；②三角形是鈍角三角形，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出頂角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：①如圖1，三角形是銳角三角形時(shí)，，底角為：，②如圖2，三角形是鈍角三角形時(shí)，，底角為：，綜上所述，底角為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．2．（2022秋·河南周口·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等邊中，CP是AB邊上的高，Q是BC的中點(diǎn)，O是CP上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OB和OQ的和最小時(shí)，的度數(shù)是_______．【答案】##度【分析】連接、，設(shè)交于，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則，當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)OB和OQ的和最小，求解即可．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)交于，連接，∵在等邊中，CP是AB邊上的高，∴垂直平分，，∴，，∴，當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)OB和OQ的和最小，∵Q是BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，即當(dāng)OB和OQ的和最小時(shí)，的度數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短，得出與重合時(shí)OB和OQ的和最小是解答的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，等腰的底邊長(zhǎng)為，面積為，邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____．【答案】【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，可得出，再由，即可得出，由是線段的垂直平分線，可知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長(zhǎng)為的最小值，即可得出答案．【詳解】解：連接，∵是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴的長(zhǎng)為的最小值，∴的周長(zhǎng)最短．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點(diǎn)F，作，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出、根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵，是角平分線，∴，在中，，∴，由勾股定理得：，∵的垂直平分線交于點(diǎn)F，∴，∴的垂直，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，以AC為邊，作，滿足，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，，連接DE，下列結(jié)論中①；②；③若，則；④．正確的有______．【答案】②③④【分析】通過(guò)延長(zhǎng)至，使，連接，構(gòu)造出全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)依次分析，可得出正確的結(jié)論是②③④．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴（即②正確），∴；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，∴①不正確；若，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，由，∴，∴（即③正確），（即④正確）；故正確的為：②③④．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等內(nèi)容；要求學(xué)生能夠根據(jù)已知條件通過(guò)作輔助線構(gòu)造出全等三角形以及能正確運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)得到角或線段之間的關(guān)系，能進(jìn)行不同的邊或角之間的轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生的綜合分析和數(shù)形結(jié)合的能力．二、解答題6．（2022秋·河南三門峽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，E在邊上，F(xiàn)在邊上，將沿直線翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)O恰好重合，求的度數(shù)．【答案】【分析】連接，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，從而求得，然后證明，于是得到，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，從而可求得．【詳解】解：如圖，連接，∵，為的平分線，∴．又∵，∴．∵是的垂直平分線，∴．∴，在和中，∴．由翻折的性質(zhì)可知：．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，平分，交于點(diǎn)D，．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，E是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)等邊對(duì)等角和角平分線推出，，利用三角形內(nèi)角和列方程求出x，可得；（2）依據(jù)E是的中點(diǎn)，即可得到，，可得垂直平分，進(jìn)而得出，依據(jù)，即可得到，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得到，從而證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，設(shè)，∵平分，∴，，在中，，解得：，∴；（2）∵E是的中點(diǎn)，，∴，即；∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．8．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期中）在中，的垂直平分線分別交線段，于點(diǎn)M，P，的垂直平分線分別交線段于點(diǎn)N，Q．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)或