第頁(yè)廣州大學(xué)2013-2014學(xué)年第2學(xué)期考試卷院,系領(lǐng)導(dǎo)審批并簽名B卷課程信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2考試形式（閉卷，考試）學(xué)院系專業(yè) 班級(jí)學(xué)號(hào)姓名__題次一二三四五六七八九十總分評(píng)卷人分?jǐn)?shù)222058100評(píng)分一,填空題(共22分，每空2分)1．若域的階為9,則其特征為3。2．環(huán)的零因子為2,3,4,6,8,10。3．有理數(shù)域的擴(kuò)域()在上的次數(shù)為4。4．域的自同構(gòu)有2個(gè)。5．在上的微小多項(xiàng)式為。6．的志向=，=，=，=。7．有限域的全部子域共有4個(gè)。8．4次分圓多項(xiàng)式為。二,推斷題(若正確需證明,否則需給出反例)(共20分，每題5分)1.若一個(gè)環(huán)的某個(gè)子集合有乘法的汲取律,則其為志向。解：論斷錯(cuò)誤。反例：環(huán)為有理數(shù)域上的階矩陣全體，子集合為不可逆陣全體。2.若兩環(huán)和同態(tài)，則這兩個(gè)環(huán)同時(shí)有或沒(méi)有零因子。解：論斷錯(cuò)誤。反例：整數(shù)環(huán)及同態(tài)，但中無(wú)零因子，而有。3.特征為0的域必為無(wú)限域。解:正確,否則若為有限域,元素個(gè)數(shù)為,則特征為4.任何環(huán)必有非平凡的志向。解:錯(cuò)誤,域沒(méi)有非平凡的志向。三,證明和計(jì)算題（共58分）1.(10分)證明：域及域不同構(gòu)。證明：假設(shè)及同構(gòu)，映射為，則應(yīng)有，于是,，從而。設(shè)，則EMBEDEquation.3，而另一方面，故，但不屬于，沖突。2.(12分)設(shè)，則關(guān)于矩陣的加法及乘法構(gòu)成環(huán)，是否為交換環(huán)？是否有乘法單位元？是否為整環(huán)？是否為域？證明：構(gòu)成環(huán)，且為交換，有乘法單位元環(huán)，即為整環(huán)。對(duì)，，則是域。3．(10分)設(shè)是有理數(shù)域，證明：。證明：明顯，故。其次，由于，則，于是可知，，因此，故。4．(14分)證明環(huán)為歐氏環(huán)。證明令，,將限制到上,稱為到的映射.易見(jiàn)對(duì)隨意的,.假如,,令,.取，使得則,。令,則,且,而EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，所以,為的歐氏映射,從而為歐幾里德環(huán).5.（12分）構(gòu)造8個(gè)元素的有限域，其有幾個(gè)本原元，取一個(gè)求其乘法的逆。解:取一