2022-2023學年浙江省重點學校高一(下)期中聯(lián)考數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合A={x∣2<>l},B={x∣mx>l},則集合A∩(CRB)為()

A.{x∣0<X<e]B.0C.{x∣x>e}D.{x?x≤0)

2.設Z=a+(a+l)i(a,b∈R)在復平面內(nèi)對應的點為M,則“點M在第一象限"是''α>

-1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

3.函數(shù)/^(x)=logn(x+機)恒過定點(-2,0),則Tn的值()

A.5B.4C.3D.2

4.設α,/?是兩個不同的平面，1,m是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是()

A.若Ica,TnUβ,則ILzn

B.若，lα,ILβ,

C.若m_L。，aA.β,則m〃a

D.若，且2與α所成的角和Tn與/?所成的角相等，貝〃〃m

5.在△力BC中，內(nèi)角4,B,C所對應的邊分別是α,b,c,若△4BC的面積是W?±Z≤!1,

4

則4=()

A.B.?C.IDT

J3b6

6.如圖所示，AABC中，點D是線段BC的中點，E是線段A

B.3

C.5

D.8

7.已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且/(尤+1)為奇函數(shù).若函數(shù)g(x)=ln(√x2-2x+2-

X+1)與函數(shù)f(X)圖像有5個交點，其橫坐標從左到右依次為與，不，去，與，&，則∑L∕=()

A.0B.5C.6D.10

8.如圖，正方體ACl的棱長為α,作平面α（與底面不平行）與棱4通，

B1B,C1C,DlD分別交于E,F,G,H,記E4,FB,GC,HD分別

為hi,h2>h3,h4,?Λ1+h2=2h3,h3+h4=3h3>則多面體

E尸GHABC。的體積為（）

7777

Q2BQ2CQ2D

18-6-4-2

10ah4

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.某機床生產(chǎn)一種零件，在8天中每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：2,6,8,3,3,4,6,8,

關于該組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.中位數(shù)為3B.眾數(shù)為3,6,8

C.第40百分位數(shù)為3.5D.方差為4.75

10.己知甲罐中有三個相同的小球，標號為1,2,3；乙罐中有四個相同的小球，標號為1,

2,3,4,現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件4="抽取的兩個小球標號之和

小于5"，事件B="抽取的兩個小球標號之積為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（）

A.事件B發(fā)生的概率為:B.事件4UB發(fā)生的概率為:

C.事件AnB發(fā)生的概率為之D.事件A∩B發(fā)生的概率為:

64

11.在AABC中，角4B,C所對的邊分別為α,b,c,己知α=2,B=E則下列結論正

O

確的是（）

A.當b=|時，△4BC有兩解

B.當b=3時，△48C有兩解

C.當A為鈍角時，AABC為面積的取值范圍為（0,亨）

D.當△力BC為銳角三角形時?，△ABC的周長取值范圍為（3+2+2門）

12.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟牵?/p>

即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為30的

正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面，得到所有棱長均為α

的截角四面體，則下列說法正確的是（）

A.AB1CGH

B.二面角B-FH-K的平面角余弦值為g

C.該截角四面體的外接球表面積為三兀。2

D.該截角四面體的表面積為6∕3a2

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)Z滿足z(l+i)=∣l+i∣,則5的虛部為.

14.已知向量方在單位向量方方向上的投影向量為一2正則(五一B)?Z=.

15.已知某圓錐的側面積為√^引r,該圓錐側面的展開圖是圓心角為學的扇形，則該圓錐

的體積為.

16.函數(shù)f(x)滿足：①/(%)在阿句內(nèi)是單調遞增函數(shù)；②f(x)在［α,句上的值域為［kα,∕?］,

則稱區(qū)間［α,b］為y=∕(x)的Zc級“調和區(qū)間”.若函數(shù)/(x)=/_2x+4存在k級“調和區(qū)

間”，貝Ik的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知：心方是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中a=(1,2).

(1)若且方+另與方垂直，求日與方的夾角。；

(2)若B=(1,1)且H—3E與24+49的夾角為銳角，求實數(shù)；I的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=∣sinωx—?^sin(ωx+?(ω>0)在區(qū)間［0,陽上恰有3個零點，其中3為正整

數(shù).

(1)求函數(shù)F(X)的解析式；

(2)將函數(shù)/(X)的圖象向左平移掙單位得到函數(shù)g(x)的圖象，若嶼)=會求g(-α)的值.

19.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱4BC-4BιG中，平面AlBCL平面4BB14,側面4BB14是邊長為2的正

方形，。，E分別是AC與BIG的中點.

(1)求證：CE〃平面4BB12；

(2)求證：AB1BC；

(3)若BC=2,求直線CD與平面BDE所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

某地為了了解市場經(jīng)營戶年收入情況，隨機抽取60家經(jīng)營戶，經(jīng)統(tǒng)計，這60家經(jīng)營戶去年經(jīng)

營收入(單位:萬元)均在區(qū)間[4.5,10.5]內(nèi)，按[4.5,5,5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),

[9.5,10.5]分成6組，頻率分布直方圖如圖所示，若上述居民可支配收入數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)

為8.9.

(1)求a,b的值：

(2)估計這60經(jīng)營戶年收入的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；

(3)用分層抽樣的方法在收入?yún)^(qū)間為[658.5)的營業(yè)戶中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看

成一個總體，從中任取2個，求至多有1戶在收入?yún)^(qū)間為[7.5,8.5)內(nèi)的概率.

頻率

≡?,

O"4.55.56.57.58.59.510.5收入/萬元

21.(本小題12.0分)

在平面四邊形ABCD中，乙4BC=60。,NADC=120。，點B,。在直線AC的兩側,4B=1,BC=2.

(1)若4ZMC=15°,求線段4。的長度；

(2)求4ABDVAACC的面積之和的最大值.

22.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/(x)=/+αχ+b(a、e∈/?),g(x)-Ix-22~x+1.

(1)設/Q)≤0的解集為4/[/(X)]≤3解集為B,若4=求實數(shù)α的取值范圍；

(2)已知函數(shù)∕ι(x)的圖象關于點(1,1)對稱，當X∈[0,1]時,∕ι(x)=((X),若對任意的與∈[0,2],

總存在Λ?6[0,2]，使得∕ι(xι)=9(X2)，求實數(shù)b的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由2才>1=2°解得力=(0,+8),

由ZmC>1=Ine解得B=(e,+∞),所以CRB=(-∞,e],

所以An(CRB)=(O,e],即{x∣0<x≤e}.

故選：A.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性解得集合4B,然后根據(jù)集合的補集運算和交集運算能求出結

果.

本題考查指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性、集合的補集運算和交集運算等基礎知識，考查運算求解

能力，是基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知，若點M在第一象限，則

得α>0,則{a>>0}S{a∣α>—1),

所以“點M在第一象限”是“。>一1”的充分不必要條件.

故選：A.

首先求ɑ的取值范圍，再根據(jù)子集關系，判斷充分，必要條件.

本題主要考查了復數(shù)的幾何意義，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解:因為函數(shù)f(x)=Iogn(X+Jn)恒過定點(-2,0),

所以IogJI(-2+m)=O,

所以一2+巾=1,解得m=3.

故選：C.

根據(jù)題意可得logn(-2+m)=0,結合對數(shù)的運算性質，即可得解.

本題考查對數(shù)函數(shù)的性質，熟練掌握對數(shù)的運算性質是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能

力，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：A選項，若aJ.0,，Uα,ma.β,[與m可能相交、平行、異面，所以A錯誤；

B選項，垂直于同一條直線的兩個平面平行，所以B正確；

C選項，若m10,a1.β,則πιuα或m〃a,所以C錯誤；

。選項，若，且/與α所成的角和m與S所成的角相等，1與Tn可能相交、異面、平行，所以。錯誤.

故選:B.

A,根據(jù)面面垂直的性質定理判斷；B,根據(jù)線面垂直的性質定理判斷；C,根據(jù)面面垂直的性質

定理判斷；D,根據(jù)面面平行的性質定理判斷.

本題考查空間中直線、平面之間的位置關系，是基礎題.

5.【答案】A

2

【解析】解：已知AABC的面積是口(廬+。2-。2),利用余弦定理z√+c2—a=2bccosA,

4

整理得：hcsinA==?bcc。SA

24Cf"2)

所以tαn4=，耳，由于4e(0,τr).

則4=1

故選:A.

直接利用三角形的面積公式和余弦定理建立方程，再利用三角函數(shù)的值求出A的值.

本題考查的知識要點：三角形的面積公式，余弦定理，三角函數(shù)的值，主要考查學生的理解能力

和計算能力，屬于中檔題和易錯題.

6.【答案】D

【解析】解：由題意可知，BC=2BD,

又E是線段4。上的動點，則可設荏=2而，且4∈[0,1]

所以而='BA+AE=^BA+λAD=^BA+λ(βD-R4)=(1-λ)^BA+λBD

則或=+y前=X市+2y前，所以則x+2y=l,且x>0,y>0

所以?=工+白=(工+Z)(x+2y)=2+2+2+”≥4+2∣土竺=8,當且僅當=§，即X=

xyyXvyχzvy%y∣yχyχ

∣,y=即寸等號成立,

所以Wg的最小值為8.

χy

故選：D.

利用平面向量共線定理與線性運算即可得X+2y=1,且x>0,y>0,再結合基本不等式“1”

的代換即可求得最值.

本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：???f(x+l)為奇函數(shù)，函數(shù)圖像關于原點對稱，且/(x+l)是由/Q)向左平移1個單

位長度得到，

???f(%)的圖像關于點(1,0)對稱，

對于函數(shù)∕ι(X)=ln(?//+1—久),定義域為R,

有八(—x)+∕ι(x)=ln(√X2+1+x)+ln(√x2+1—%)=Inl=0，

.??函數(shù)∕ι(x)為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，

；?函數(shù)g(x)=∕ι(x-1)=ln[√(%-I)2+1-(x-1)]的圖像關于點(1,0)對稱，

?'???+??=2,%2+刀4—2,??=1,?*??^?-?Xi=5.

故選：B.

由題意可得，函數(shù)g(x)與函數(shù)/(x)的圖像都關于點(1,0)對稱，有%=2,x2+x4=2,x3=1,

可求和.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及對稱性在函數(shù)求值中的應用，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由正方體的對面平行及面面平行的性質定理得:

EF//GH,EH//FH,

二四邊形EFG”是平行四邊形，

連結AC,BD交于點。，連結EG,FH,交于點

連結Oo1，則九1+h2=h3+h4=2001,

,?*/l?+Λ?2=2九3，九3+九4=3九3，

425

???h1=-h3,h2=-h3,h4=-h3,

???兩個多面體EFG/MBCD可以拼成都市個長方體,

；?多面體EFG/L4BCD的體積為：

21+72727272

=ɑ/??-α=QcI-α^-Q^l

26-8-14-4?

tI10

故選C

由正方體的對面平行及面面平行的性質定理得四邊形EFGH是平行四邊形,連結AC,BD交于點O,

連結EG,FH,交于點01，連結。?！竸t比+電=壇+七=2。。「由兩個多面體EFG從4BCO可

以拼成都市個長方體，能求了多面體EFGHyIBCn的體積.

本題考查多面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運

算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解:將次品數(shù)由小到大排列:2,3,3,4,6,6,8,8,

則中位數(shù)為竽=5,故A錯誤；

眾數(shù)為3,6,8,故B正確；

因為8X40%=3.2,所以第40百分位數(shù)為4,故C錯誤；

因為X=3O(2+3+3+4+6+6+8+8)=5,

所以s2=白(2-5)2+2(3—5)2+(4-5)2+2(6—5)2+2(8—5)2]=4.75,故。正確.

故選：BD.

先將次品數(shù)由小到大排列，然后根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)的概念可判斷AB；根據(jù)百分位數(shù)和方差公式計

算可判斷CD.

本題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)和百分位數(shù)的定義，屬于基礎題.

10.【答案】AD

【解析】解：從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，共有12個基本事件，如下：

11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,

抽取的兩個小球標號之和小于5的有：11,12,13,21,22,31,共6個，

抽出的兩個小球標號之積為奇數(shù)的有：11,13,31,33,共4個，

所以P(B)=W=J故4正確；

事件AUB包含的基本事件有：11,12,13,21,22,31,33,共7個,

所以POIUB）=卷，故B錯誤，

事件4CB包含的基本事件有：11,13,31,共3個，

所以PaInB）=W=/故C錯誤，O正確.

故選：AD.

首先求出樣本空間，再根據(jù)選項，列出所有滿足條件的樣本點，結合古典概型公式，即可求解概

率.

本題考查了古典概型的概率求值問題，是基礎題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于Z，由正弦定理得α?s譏B=2?"=1,BPasinfi<b<a,所以A4BC有兩解,

選項A正確;

對于B,由8>。，且8=[,所以△4BC有一解，選項B錯誤;

O

對于C根據(jù)正弦定理施=肅,得C=需=鬻

sin(4+∣)√3

所以”.Be=^acsinB=鬻l1

—SinA-?+2tanA

因為Ae當，所以4e（-q,0）,即UBC為面積的取值范圍是（0,0）,選項C正確;

CtOLClTlZi，

對于D，由正弦定理急=焉即高=｝解得b=高

所以△?!BC的周長為α+b+c=2+」一+ZsinC_2+焉+2sin(A+^)

SinASinASinA

2cos2^

C.l+√^^5sιn4+cos4?./-≈.=2+C+點,

24----------------=2+√3+?AA

SinAZSl∏2cos2

因為ATlBC是銳角三角形，所以AeGE）,所以tan^€（?”），

所以AABC周長的取值范圍是（3+，？,2+2，豆），選項。正確.

故選：ACD.

根據(jù)判斷三角形解的個數(shù)的公式，即可判斷48；根據(jù)正弦定理表示邊長，結合面積公式，和周長

公式，轉化為三角函數(shù)求取值范圍問題，即可判斷CD.

本題考查了判斷三角形解的個數(shù)以及正弦定理的應用問題，也考查了轉化思想，是中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：對于4先證明正四面體的對棱互相垂直，如圖在正四面體ABCD中，ABlCD,證

明如下：

取CD中點為O,連接OB,A0,

由于四面體為正四面體，所以ABC。，ZkACO均為等邊三角形，

??CDLBO,CDLAO,A0(?0B=0,B0,4。U平面AOB,

所以CD1平面40B,

ABU平面AOB,故ABlCD,

還原正四面體如下圖:

因此在截角四面體中，AB//NQ,在正四面體SNPQ中，SP1NQ,所以力BJ.CG,故A正確；

對于B,由于截角四面體的特征可知：六邊形ABDEKJ,六邊形EFH/LK和六邊形BCGHFO均為邊

長為ɑ的正六邊形，

所以KFIFH,BF1FH,故NBFK即為二面角B-FH-K的平面角,

由正六邊形的性質可得KF=y∏a=BF1BK=2α,

BF2+KF2-BI<2_222

所以CoSNBFK=3α+3α-4α_1故B正確;

2BF?KF-=2×√-3a×√-3a3

對于C,設外接球的球心為。，△4BC的中心為O',ZiNPQ的中心為?！?

因為截角四面體上下底面距離為門a-?a=號

所以√R2-OU+√/?2_o"H2=亨a，

所以JR2-^+√R2一。2=亨所以Ifi2—y=馬產(chǎn)a—√R2—a2'

所以/?2—y=Iα2+/?2—α2—a?√R2—a2

所以R2=等Q2,

所以S=4TΓR2=￥7τa2,故C正確；

對于D,由正四面體S-NPQ中，題中截角四面體由4個邊長為a的正三角形，

4個邊長為a的正六邊形構成，故S=4χda2+4x6χWa2=7Ca2,故。錯誤；

44

故選：ABC.

根據(jù)題意還原正四面體，根據(jù)正四面體的幾何性質，結合平行關系即可判斷4由二面角的定義，

結合幾何法，由余弦定理即可求解B；設外接球的球心為O,44BC的中心為O',ANPQ的中心為

0",再根據(jù)題意得截角四面體上下底面距離為J%a-?a=殍a，所以√產(chǎn)一。(2+

√R2-0"H2=警a，即JR2_.+JR2-2=亨a，即可求解半徑，進而判斷C；對于C：

CI

因為截角四面體由4個邊長為a的正三角形，4個邊長為a的正六邊形構成，求面積即可判斷.

本題主要考查了線面垂直的判定定理，考查了多面體的外接球問題，屬于中檔題.

13.【答案】?

【解析】解：因為z(l+i)=?l+i?,

所以Z=空=昌Fl=乎=?—苧］

l+ι(l+ι)(l-ι)222

所以2=殍+浮3則W的虛部為殍.

故答案為：fl.

利用復數(shù)的模長與除法運算化筒得復數(shù)Z,從而可得共聊復數(shù)3的虛部.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共物復數(shù)的定義，屬于基礎題.

14.【答案】3

【解析】解：由向量石在單位向量五方向上的投影向量為-2砥可得萬7=-2片=—2,

所以位一Wq=片一小3=1-(-2)=3.

故答案為：3.

根據(jù)題意得到五?了=-2片=一2,結合@一名)?五=五2一五即可求解.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題.

15.【答案】y

【解析】解：設該圓錐的母線長為2,底面圓的半徑為r,由室與2=口乃，

得，=，虧因為2πτ=X√^^5t所以r=1>

所以該圓錐的體積為上×π×√^^5→=?.

故答案為：y?

由扇形的面積公式及圓錐的側面積公式求出圓錐的母線長與底面圓的半徑，由體積公式求解.

本題考查圓錐的體積，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】（2,3]

【解析】解：若函數(shù)/CO=/—2x+4存在k級“調和區(qū)間”，貝吆2=（一：：+：=然，

所以α,b是方程/一（k+2）κ+4=O的兩根，

又因為f（x）-X2-2x+4的單調遞增區(qū)間為[L+8）,

所以，當方程產(chǎn)一（k+2）久+4=O存在兩個大于等于1的不相等實數(shù)根時滿足題意，

4=（k+2）2—16>O

警>1,解得2<k≤3,即k的取值范圍為（2,3].

{l-（k+2）+4≥0

故答案為：（2,3]

根據(jù)“調和區(qū)間”的定義列方程組，將問題轉化為方程/一（k+2）x+4=O存在兩個大于等于1

的不相等實數(shù)根的問題，然后利用韋達定理可解.

本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)性質的綜合應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）由n=（1,2）,可得|五|=「，且|方|=?，

因為五+b與b垂直,可得（五+6）?b=日?b+6=0）

所以五?石=—另2=—：,所以cos。=看今=一:，

4Ialgl2

又因為。€[0,網(wǎng)，所以O=條

(2)由W=(L2)范=(L1)，可得五一39=(一2,—1)，2α÷Λ6=(2+λ,4+Λ),

因為五—3K?2α+焉的夾角為銳角，

所以@-3h)?(2α+ΛK)=-2(2÷Λ)-(4÷Λ)＞O且一2×(4+A)≠-1×(2+A),

解得aV—5且aH—6,

所以實數(shù)a的取值范圍為(—8,—6)U(―6,—.

【解析】⑴由方+另與B垂直，求得五不=一片=一"進而得到cos。=—/即可求解；

4Z

(2)因為方一3石與21+4石的夾角為銳角，得到(五一3至)?(2方+/1區(qū))＞0且不共線，列出方程組,

即可求解.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，考查轉化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(l)∕(χ)=∣sinωx—?sin(ɑi?+^)=∣sinωx—?eosɑi?=sin(ωx-

Lrz?3τΓ]Tr-IT37rTc

V%∈[θ,?-j,--≤ωx--≤-ω--,

f(x)在區(qū)間上恰有3個零點，所以2τr≤竽3冶＜3兀，

解得昔≤3＜等3為整數(shù)，所以3=2.

所以/(x)=sin(2x-2).

(2)因為g(x)=f(x+5=Sin(2x+≡),則g6)=sin(α+≡)=

可得g(-α)=sin(-2α+=Sinw-2(α+^)]=cos2{a+1),

=I-2si"2(α+看)——?.

【解析】⑴化簡f(x)=sin(3X-g),根據(jù)f(x)在區(qū)間上恰有3個零點，可得學≤3＜羿結合3

?5yy

為整數(shù)可得答案

(2)求出g(x)=/(x+=sin(2x+ξ),根據(jù)弱)=/可得sin(α+看)=[，然后利用二倍角的余弦

公式可得答案.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質，考查轉化能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：取4當中點凡

B

連接EAAF,則EF&EF=^A1C1,AD∕∕A1C1,AD=A1C1,

所以EF〃40,EF=AD,所以四邊形AFED是平行四邊形，

所以DE〃人F,DEe平面ABBlA°AF<∑^ABB1A1,所以DE〃平面ABBl

(2)證明：連接ABlnalB=。，?.?ABBιAι是正方形，.?.AB】IAiB,

又平面4BC1平面4BB14且交線為4#,ABlU平面人口當公，

.?.他_L平面AlBC,又BCU平面ZlBC,.?.BC1AB1,

又直三棱柱4BC-&B￡中，BE】J_平面ABC,BCU平面4BC,

?BC1BB1,又ABl∩BBl=B1,?BC平面ABBla1，

又ABU平面ABBlAl.?.BCIAB.

(3)設C到平面BoE的距離為∕ι,

因為ABJ.BC,D為4C中點，所以BD==/2,

2

BE=√+B1E=√-5,DE=AF=BE=√^^5,

13

21

叉5Z=

βOE=-XXl=-5C

2√2K?)2ΔFD

34

h

-=-

23

4,—

記直線CD與平面80E所成角為。，貝IJSina=?=—.

v23

所以直線CO與平面BDE所成角的正弦值為小.

【解析】(I)證明DE〃平面ABBlA1，取AIBl中點F,只需證明DE〃4F；

(2)要證ABlBC,只需證明BCL平面4BB14,由線面垂直的性質及直三棱柱得證：

(3)由等體積法，求出點C到平面8。E的距離，根據(jù)直線與平面所成角的定義求解即可.

本題考查線面平行的證明，線面垂直的判定定理與性質，線面角的求解，屬中檔題.

20.【答案】解：（1）依題意得0.10+0.15+0,15+a+b+0.05=1,

即α+b=0.55,又第80百分位數(shù)在［8,5,9.5）,

0.05+0.6b=1-0.8,解得a=03,b=0.25.

（2）x=5X0.1÷6X0.15+7×0.15+8×0.3+9×0.25+10×0.05=7.6.

（3）在［6.5,7.5）有9戶，在［7.5,8.5）有,18戶，

所以在［6.5,7.5）抽取2戶，在［7.5,8.5）上抽取4戶,

設在［6.5,7.5）抽取的2戶，

設為A2,在［7.5,8.5）上抽取4戶，設為名，B2,B3,B4,

任取2戶的所有情況為&&，A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A1A2,A1B1,

,

AyB2?AlB3,√41B4?42δι,A2B2>A283，A2B4,B^B2,B1B3,BIB4,B2B3，B2B3B4,共15種情

況，

其中至多有1戶在［7.5,8.5）內(nèi)的樣本點包含&4，4當，4私，公用，AiB"A2B1,A2B2,A2B3,

A2B4,共9個，

設至多有1戶在［7.5,8.5）內(nèi)為事件A,則P（A）=得=|.

【解析】（1）根據(jù)頻率和為1，以及80百分位數(shù)計算公式，列式求解；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)公式，列式求解；

（3）首先計算出區(qū)間［6.575）和［7.5,8.5）的頻數(shù)，再利用分層抽樣，計算出抽取的戶數(shù)，結合樣本空

間，和古典概型公式，即可求解.

本題考查頻率分布直方圖相關知識，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）由題意作出平面四邊形ZBCD,如圖所示：

在△力BC中，由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB?BC-cos?ABC=l+4-2×1×2×∣=3,即AC=√^3,

在△力BD中，NDAC=15。，?ADC=120°,所以乙4C。=45°,

由正弦定理得磊=谷,即AD=等翦=q?等=C

所以線段4。的長度為JN.

(2)由(I)知：AC=C，即BO?=AB2+AC?,所以NC4B=5,

在AACD中，設皿D=9∈(0,)),則乙4CD=尹。，

則由正弦定理一名=者π7,

SInNTlCOs?r??ADC

HWFihMCAGsinzACD√^3sin(ξ-Θ)π

即得到4。=~^ΣADΓ=—宣一=2sm?^θ)'

2

所以△ACD的面積S0cD=?AD?ACsin?CAD=∣×2sinξ-θ)×y∏×sinθ,

化簡得SAACD=√^^sin(^-0)-sinθ,

在AABC中，?BAD=5+氏

所以△ABD的面積SMBD=^AD'ABsin?BAD=TX2sin(^-θ)×1×SinG+0),

化簡得SAABD=SinG-θ)?cosθ,

cosθ

故4ΛBD???AC。的面積之和S=S1^ACD+SXABD-V^^sin(∣-0)?sinθ+SinG-。),

=SinG-θ)(yj~3sinθ+cosθ)=2sin(^—O)COSq-0)=sin2(^-0)=Sin卷-20).

因為?！?0(),則稱一206(0,當，

可知當年一2。=即。=鄂hS取到最大值1,

即小∕1BD??ACO的面積之和的最大值為1.

【解析】(1)根據(jù)條件在AABC中，由余弦定理得到4C,再在AABD中結合條件和正弦定理，即可

得到4。的長度；

(2)設“AD=Oe(O5)，從而得到NACC=1。，?B