機(jī)密★啟用前〔考試時(shí)間：2023年12月20日下午3：00—5：00]

樂山市高中2024屆第一次調(diào)查研究考試

文科數(shù)學(xué)

（本試卷共4頁(yè)，滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在

本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)全集。=1,2,3,4),集合A={l,2,3,4},B={0,2}力(KCuA)nB=

A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{—1,0,2}

2.已知復(fù)數(shù)之=號(hào)^,則復(fù)數(shù)力+i的實(shí)部為

A.4B.C.1D.-1

3.執(zhí)行右邊的程序框圖，則輸出的B=

A.-5

B.7

C.0

D.2

4.如圖是某幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的正方形，且

邊長(zhǎng)為2，俯視圖是直徑為2的圓，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為

A.兀B,2兀

C.37rD.47r

5.已知cos($+Q)=2cosa4(jtana+tan2a

2R1111

A.3B-TD.-T

高三文科數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共4頁(yè)）

6.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較,說(shuō)法正確的是

051015202505101520250510152025

相關(guān)系數(shù)n相關(guān)系數(shù)0相關(guān)系數(shù)八

A.r4<r2<0<ri<r3B.r2<r4<0<r3<r1

C.r2<Zri<Z0<Zri<Zr3D.2VoVn

7.3個(gè)0和2個(gè)1隨機(jī)排成一行，則2個(gè)1不相鄰的概率為

A12

A-5BR?百C-—5D?春

8.設(shè)等差數(shù)列加”）的前n項(xiàng)和S“，若S3=9,Se=36,則a7+as+a9=

A.18B.27C.45

10.地處長(zhǎng)江上游的四川省樂山市，多年來(lái)始終樹立上游意識(shí)，落實(shí)上游責(zé)任，不斷提升水環(huán)境

治理體系和治理能力現(xiàn)代化水平，為守護(hù)好這一江清水作出樂山貢獻(xiàn)（摘自：人民網(wǎng)四川頻

道）。為了解過濾凈化原理，某中學(xué)科創(chuàng)實(shí)踐小組的學(xué)生自制多層式分級(jí)過濾器，用于將含

有沙石的大渡河河水進(jìn)行凈化。假設(shè)經(jīng)過每一層過濾可以過濾掉五分之一的沙石雜質(zhì)，若

要使凈化后河水中沙石雜質(zhì)含量不超過最初的三分之一，則最少要經(jīng)過多少層的過濾？

（參考數(shù)據(jù)：lg2心0.30,lg3?s0.48）

A.7B.6C.5D.4

11.已知函數(shù)/Gr）=sin（s+<p）（其中s>0,|卬|<夕）在z=套時(shí)取最大值，兩條對(duì)稱軸之間

的最小距離為科則直線Z：k一工十等與曲線尸了⑺的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

12.已知函數(shù)/Xz）定義域?yàn)镽,且滿足fW=0,f（~x）=f（x）,f（1-0-/（l+O+4r=0,

給出以下四個(gè)命題：

①八一1）=八3）②八了+2）=/（乃

③八4）=64④函數(shù)y=f（x）~2x的圖象關(guān)于直線工=1對(duì)稱

其中正確命題的個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

高三文科數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共4頁(yè)）

二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.

13.命題“3￡GZ,*=2z”的否定是.

14.曲線y=e在了=1處的切線方程為.

15.若一個(gè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為1,高為噂，其內(nèi)切球的表面積為.

16.已知正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為2,MN是正六邊形ABCDEF的外接圓的一條動(dòng)弦,

MN=2,P為正六邊形ABCDEF邊上的動(dòng)點(diǎn)，則亙宓-同的最小值為.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或推演步驟.

17.(本小題滿分12分)

為吸引更多優(yōu)秀人才來(lái)樂山干事創(chuàng)業(yè)，2023年10月27日，樂山市招才引智系列活

動(dòng)一教育人才專場(chǎng)在西南大學(xué)北硝校區(qū)招聘大廳舉行，其中，甲、乙兩名大學(xué)生參加了面試,

10位評(píng)委打分如莖葉圖所示：

甲乙

885575888

431108003355

99

(1)寫出甲得分的中位數(shù)和乙得分的眾數(shù)；

(2)現(xiàn)有兩種方案評(píng)價(jià)選手的最終得分：

方案一:直接用10位評(píng)委評(píng)分的平均值；

方案二:將10位評(píng)委評(píng)分去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后，取剩下8個(gè)評(píng)分的平均值.

請(qǐng)分別用以上兩種方案計(jì)算兩位同學(xué)的最終得分，并判斷哪種評(píng)價(jià)方案更好？為什么？

18.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛4｝滿足%=1,2na〃+i=(〃十1)即，設(shè)b=—.

nn

(1)求口求2,仇;

(2)判斷數(shù)列｛4｝是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(3)求｛%｝的通項(xiàng)公式.

高三文科數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

19.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面ABCD,

點(diǎn)E在棱PC上，PA〃平面EBD.

（1）試確定點(diǎn)E的位置，并說(shuō)明理由；

⑵是否存在實(shí)數(shù)4，使三棱錐E—BPQ體積為母.

20.（本小題滿分12分）

在平面四邊形ABCD中，已知/BAO=3NBCD,AB=2,AD=展,BD=，訪.

⑴若求CD；

（2）求△BCD面積的最大值.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)FO）=loga2,gO）=a"其中實(shí)數(shù)a>1.

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求乂力島在（。，+8）上的單調(diào)區(qū)間和極值;

（2）若方程g（2）一￡產(chǎn)=1有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

請(qǐng)考生在第22—23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.（本小題滿分10分）

fz=2十2cosa

在直角坐標(biāo)系z(mì)Oy中，已知圓G的參數(shù)方程為4（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為

[y=l+2sina

極點(diǎn)，了軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求C1的極坐標(biāo)方程；

⑵若直線G的極坐標(biāo)方程為片于（pGR）,設(shè)G與Ci的交點(diǎn)為P,Q,求△3PQ的面積.

23.（本小題滿分10分）

已知/（,）=2|R一a|一%+a,a>0.

⑴若曲線y=與直線尸。圍成的圖形面積為|■，求a的值;

（2）求不等式的解集.

高三文科數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)（共4頁(yè)）

樂山市高中2024屆第一次調(diào)查研究考試

文科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見

2023.12

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

ABBDCBCCDCAB

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.Vx€Z,一。2x；14.y=ex；

71

15.—；16.—1.

6

三、解答題：本大題共6小題，共70分.

on!oi

17.解：⑴甲得分的中位數(shù)為------=80.5；.............2分

2

乙得分的眾數(shù)為78；.............4分

(2)若使用方案一：

-75+75+78+78+80+81+81+83+84+99

x甲=------------------------------------=81.44.............5分

10

-75+78+78+78+80+80+83+83+85+85°八「

x乙=------------------------------------=80.5.............6分

10

因?yàn)閤甲〉x乙，所以甲的得分較高..............7分

若使用方案二：

-75+78+78+80+81+81+8升84。八

昨=-------------o-----------=80.............8分

O

-78+78+78+80+80+83+83+85/

y乙=-----------------------------x80.6.............9分

8

因?yàn)樨〖祝?乙，所以乙的得分較高..............10分

方案二更好，因?yàn)橛幸粋€(gè)評(píng)委給甲選手評(píng)分為99,高出其他評(píng)委的評(píng)分很多，方案二可以規(guī)避個(gè)別

極端值對(duì)平均值的影響，評(píng)選結(jié)果更公平、更正..............12分

18.解：(1)：4=1,

(2)...2〃4用=(〃+1)%,...汽=(x組,即6"+1=<”..............6分

〃+12n2

又；4=1,..?{〃}是以1為首項(xiàng)，以g為公比的等比數(shù)列.................8分

(3)由(2)得"=1義弓)1=5.............10分

fl

所以%=7仍”=k.............12分

19.解：(1)￡是尸。的中點(diǎn).................1分

證明：

連結(jié)ZC,交BD于點(diǎn)、O,連結(jié)OE.

?.?底面Z5CD是正方形，

0是NC的中點(diǎn).................2分

：尸2〃平面￡5。，平面PNC。平面BDE=OE,

C.PAUOE............................4分

:。是/。的中點(diǎn)，

???￡是尸。的中點(diǎn).................6分

（2）E為PC中點(diǎn)、,

??^E-BPD=]Vc—BPD=2Vp—DBC,...........................8分

24

右^E-BPD=§'則Vp—DBC=§

124

Vpi-DUDBKC^-3—?S/空\(chéng)nlDJlC,?PD-3-，22=3—............................10分

.*.2=1.

2

存在4=1,使三棱錐￡—AP。體積為一.................12分

3

20.解：（1）在△48。中，由余弦定理得:

AD2+AB?-BD?2+4—10旦

cosNBAD=...........................2分

2ADAB2x6x2~T

37r

0<NBAD<7i,ABAD=—...........................3分

4

71

???/BAD=3ZBCD,/BCD=-.4分

4

57r

VZBDC=—,在△BCD中，由正弦定理得:

12

BDCDmVlOCD

sinZBCD~sinZCBD'sm.—"一sm.—"

43

6分

（2）解法一:

37r號(hào))

在△BCD中,設(shè)NBDC=a,ZCBD=——a,ee(0

4

由正弦定理得：一-------

./STC、.TC

sm(--6z)sin—

V10xsin(--a)-

：.CD=---------------------=275sin(--a).8分

.n4

sm—

4

]13兄

S4BCD=]5O.CZ).sina=—xV10X2A/5sin(--cif)sin6Z

=5-72sin(與-a)sina=5y/2(^-cosa+sina)sina

二5(sinacosa+sin2a)=5(—sin2aH-------------)

?o1o.5_5V2.7V5

—5(-sin2a—cos2oc)H—=------sin(2a)H—..............................11分

222242

rrjr37r5A/25

.??當(dāng)且僅當(dāng)2a—°=上，即a=不時(shí)ABCD面積取到最大值一+二

42822

故ABCD面積的最大值為述+*.

.............................12分

22

解法二：

在△BCD中，BD=屈,NBCD=°,由余弦定理得：

4

BD2=CD2+CB2-2CDCBcos/BCD..............................8分

即：1。=CD?+CB?-辰D?CB)(2-6)CD?CB

：.CDCBW，=5(2+V2)當(dāng)且僅當(dāng)CD=C8時(shí)取“=”..............................10分

2-V2

故ABCD面積的最大值為豆2+3.

.............................12分

22

V1—V

21.解：(1)由題可知，/z()=—(xeR),所以/z'(x)=——.............................1分

xexex

由〃'(x)<0,得〃>1；由〃'(x)>0,得〃<1..............................2分

所以//(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+00)單調(diào)遞減..............................3分

所以/z(x)的極大值為/z⑴=工，無(wú)極小值.

.............................5分

e

(注：只給出極大值，沒有說(shuō)無(wú)極小值扣1分)

(2)因?yàn)間(x)—」為=1,所以a'—皎戛二=1,

XX

可得M*=X+logqX=logqW)..............................6分

令t=xax(a>1),可得/二優(yōu)+xaxIna=a"(l+xlnQ)>0,

所以仁x優(yōu)在(0,+oo)單調(diào)遞增..............................7分

故g(x)-,/(x)=1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于h(t)=Z-log/有兩個(gè)零點(diǎn).

.............................8分

X

可得〃'(/)=1———,

tina

當(dāng)，￡(0,-----)時(shí)，h'(t)<0；

Ina

當(dāng)/￡(---,+oo)時(shí),h'(t)>0，

In(2

所以〃⑶在(0,L)遞減，(L,+00)遞增，

InQIna

111-J-

可得/z(/)min=/?(--)=-------log--=log(a,nfl-lno)..............................9分

InaInaInafl

XX，i

令logaS111。?lna)<0,所以a111。?liia<1,則---,

-Ina

設(shè)/=---，貝!Ja=e"°,aXna=ax°=(ex°)x°=e..............................10分

Ina

-J-11-

所以々Ma<-----,則e<------，則6Z€(l,ee)..............................11分

InaIna

因?yàn)橛?)=工+1>0,〃(優(yōu))=優(yōu)—a=a(優(yōu)T—1)>0,

aa')')

此時(shí)存在兩零點(diǎn)x^xJ其中玉￡（—，----）,xG（------,+00）,且〃（X]）=/z（工2）=0,

2a]na2]na'

故。￡（l,ee）..............................12分

（注：沒有用零點(diǎn)存在定理判斷扣1分）

22.解：（1）因?yàn)閳AG的參數(shù)方程為<.（a為參數(shù)），

[y=1+2sina

則其直角坐標(biāo)方程為C1：(X—2)2+3—1)2=4,即/+/—4x—2y+1=0................................2分

因?yàn)閤=pcos3,y=psin3,.............................3分

故G的極坐標(biāo)方程為Q之—4/7cos6—20sine+l=O..............................5分

7T

（2）因?yàn)镚的極坐標(biāo)方程為。=