最大角——米勒問題一、方法突破【問題描述】1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾提出這樣一個(gè)問題：如圖，點(diǎn)A、B直線l的同一側(cè)，在直線l上取一點(diǎn)P，使得∠APB最大，求P點(diǎn)位置．【問題鋪墊】圓外角：如圖，像∠APB這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角．相關(guān)結(jié)論：圓外角等于這個(gè)角所夾兩條弧的度數(shù)差（大減?。┑囊话耄鐖D，．換句話說，對(duì)同一個(gè)圓而言，圓周角>圓外角．【問題解決】結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P不與A、B共線時(shí)，作△PAB的外接圓，當(dāng)圓與直線l相切時(shí)，∠APB最大．證明：在直線l上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連接AM、BM，∠AMB即為圓O的圓外角，∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．∴當(dāng)圓與直線l相切時(shí)，∠APB最大．特別地，若點(diǎn)A、B與P分別在一個(gè)角的兩邊，如下圖，則有．（切割線定理）證明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）∴△AOP∽△POB，∴，∴．即可通過OA、OB線段長確定OP長，便知P點(diǎn)位置．二、典例精析例一：練習(xí)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0）、B（5，0）直線l經(jīng)過點(diǎn)C（-1，2），點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，若∠APB的最大值為45°，求直線l的解析式．【分析】考慮到直線l未知但∠APB的最大值已知為45°，故構(gòu)造圓．記△ABP外接圓圓心為M點(diǎn)，則∠AMB=2∠APB=90°，故可確定M點(diǎn)位置．根據(jù)A（1，0）、B（5，0），不難求得M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），連接MC、MP，考慮到圓M與直線CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．∵M(jìn)C=4，MP=MA=，∴，即△CPM是等腰直角三角形，易求P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），又C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），可求直線l的解析式為y=x+3．三、中考真題對(duì)決1.如圖，拋物線與軸交于A（-1，0）、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥y軸交拋物線于另一點(diǎn)D，作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D，BD．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大？（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）【分析】（1）考慮到點(diǎn)D縱坐標(biāo)與點(diǎn)C相同，為3，代入反比例解析式，可得D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），根據(jù)A、D坐標(biāo)可得拋物線解析式：．（2）求t即求P點(diǎn)位置．思路2：切割線定理延長BD交y軸于M點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，∠BPD最大．考慮到B（3，0）、D（2，3