專題10判斷點在圓內外，向量應用最厲害【題型綜述】點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種：①利用設而不求思想求出圓心坐標，然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解；②向量法，通過判斷數量積的正負來確定點和圓的位置關系：如已知是圓的直徑，是平面內一點，則點在圓內；點在圓外；點在圓上．③方程法，已知圓的方程，點，則點在圓內；點在圓上；點在圓外.四點共圓問題的解題策略：①利用四點構成的四邊形的對角互補；②利用待定系數法求出過其中三點的圓的方程，然后證明第四點坐標滿足圓的方程.【典例指引】類型一向量法判定點與圓的位置關系例1【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過點，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設直線交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．【解析】類型二四點共圓應用問題例2.（2014全國大綱21）已知拋物線C：的焦點為F，直線與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且.（I）求C的方程；（II）過F的直線與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線與C相較于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求的方程.【解析】類型三動圓過定點問題例3(2012福建理19)如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。（Ⅰ）求橢圓的方程。（Ⅱ）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點。試探究：在坐標平面內是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。【解析】類型四證明四點共圓例4.已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點，點P滿足(Ⅰ)證明：點P在C上；（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.【解析】【擴展鏈接】1.O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.2.若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設過的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①；②若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設過的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①；②同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為（a為長半軸，b為短半軸，c為半焦距）結論：橢圓過焦點弦長公式：3.設為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則①.②.③.④.；⑤.；⑥.；【新題展示】1．【2019陜西第二次質檢】已知、為橢圓（）的左右焦點，點為其上一點，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線交橢圓于、兩點，且原點在以線段為直徑的圓的外部，試求的取值范圍．【思路引導】（1）由橢圓的定義及點在橢圓上，代入橢圓方程可求得a、b，進而得橢圓的標準方程。（2）設出A、B的坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理表示出，代入得到關于k的不等式，解不等式即可得k的取值范圍。2．【2019山西呂梁一?！吭O橢圓：的左頂點為，上頂點為，已知直線的斜率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設直線：與橢圓交于不同的兩點、，且點在以為直徑的圓外（其中為坐標原點），求的取值范圍．【思路引導】(1)由已知條件列出關于的二元一次方程組，求出的值，得到橢圓方程(2)由題意中點在以為直徑的圓外轉化為為銳角，即，設出點、的坐標代入求出的取值范圍3．【2019陜西漢中第一次質檢】已知橢圓的右焦點F與拋物線焦點重合，且橢圓的離心率為，過軸正半軸一點且斜率為的直線交橢圓于兩點．（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在實數使以線段為直徑的圓經過點，若存在，求出實數的值；若不存在說明理由．【思路引導】（1）根據拋物線焦點可得，又根據離心率可求，利用，即可寫出橢圓的方程（2）由題意可設直線的方程為，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，寫出，利用根與系數的關系可求存在m．4．【2019四川成都高新區(qū)一診】已知拋物線，過點的直線與拋物線相切，設第一象限的切點為．（1）求點的坐標；（2）若過點的直線與拋物線相交于兩點，圓是以線段為直徑的圓過點，求直線的方程．【思路引導】（1）根據題意由點斜式設出直線方程，聯(lián)立后根據相切可知，再由切點在第一象限可求得P點坐標。（2）設出直線方程，聯(lián)立拋物線，根據兩個交點可得；根據韋達定理用m表示出、、；根據圓是以線段為直徑的圓過點，可知，代入坐標可解得或，則直線方程可得。【同步訓練】1． 已知橢圓的離心率，過點A（0，﹣b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）已知定點E（﹣1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．【思路點撥】（1）直線AB方程為bx﹣ay﹣ab=0，依題意可得：，由此能求出橢圓的方程．（2）假設存在這樣的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判別式和根與系數的關系進行求解．【詳細解析】2.已知橢圓的右焦點為，離心率為.（1）若，求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于兩點，分別為線段的中點，若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.【思路點撥】(1)結合所給的數據計算可得，，所以橢圓的方程為.(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，集合韋達定理和平面向量數量積的坐標運算法則可得，結合離心率的范圍可知則的取值范圍是.【詳細解析】3.已知橢圓：過點，且離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）橢圓長軸兩端點分別為，點為橢圓上異于的動點，直線：與直線分別交于兩點，又點，過三點的圓是否過軸上不同于點的定點？若經過，求出定點坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）運用橢圓的離心率公式和點代入橢圓方程，由a，b，c的關系，即可得到橢圓方程；（2）設，由橢圓方程和直線的斜率公式，以及兩直線垂直的條件，計算即可得證．【詳細解析】4.已知橢圓：的焦點、在軸上，且橢圓經過，過點的直線與交于點，與拋物線：交于、兩點，當直線過時的周長為．（Ⅰ）求的值和的方程；（Ⅱ）以線段為直徑的圓是否經過上一定點，若經過一定點求出定點坐標，否則說明理由。【思路點撥】（1）由的周長為求得a,再根據橢圓經過求得m.（2）設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，消x得關于y的一元二次方程，結合韋達定理，化簡以線段為直徑的圓方程，按參數n整理，根據恒等式成立條件求出定點坐標【詳細解析】5.已知拋物線頂點在原點，焦點在軸上，拋物線上一點到焦點的距離為3，線段的兩端點，在拋物線上.（1）求拋物線的方程；（2）若軸上存在一點，使線段經過點時，以為直徑的圓經過原點，求的值；（3）在拋物線上存在點，滿足，若是以角為直角的等腰直角三角形，求面積的最小值.【思路點撥】（1）根據拋物線的定義，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得拋物線方程；（2）設AB的方程，代入橢圓方程，由，根據向量數量積的坐標運算及韋達定理，即可求得m的值；（3）設，，，根據拋物線關于軸對稱，取，記，，則有，，所以，，，由，即，進而化簡求出，得：，，即可求得△ABD面積的最小值．【詳細解析】6.已知橢圓：（）經過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）動直線：（，）交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點.若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【思路點撥】（1）由題設知a=，所以，橢圓經過點P（1，），代入可得b=1，a=，由此可知所求橢圓方程.（2）首先求出動直線過（0，﹣）點．當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+）2=；當l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．由．由此入手可求出點T的坐標．【詳細解析】7.如圖，曲線由上半橢圓：（，）和部分拋物線：（）連接而成，與的公共點為，，其中的離心率為．（1）求，的值；（2）過點的直線與，分別交于點，（均異于點，），是否存在直線，使得以為直徑的圓恰好過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）在，的方程中，令，可得，且，是上半橢圓的左、右頂點，設半焦距為，由及，聯(lián)立解得；（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，由題意知，直線與軸不重合也不垂直，設其方程為（），代入的方程，整理得：，設點的坐標為，由根公式，得點的坐標為，同理，得點的坐標為．由，即可得出的值，從而求得直線方程.【詳細解析】8.已知過點的橢圓的左右焦點分別為，為橢圓上的任意一點，且成等差數列.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線交橢圓于兩點，若點始終在以為直徑的圓外，求實數的取值范圍.【思路點撥】（1）由題意，利用等差數列和橢圓的定義求出的關系，再根據橢圓過點，求出的值，即可寫出橢圓的標準方程；（2）設，根據題意知，聯(lián)立方程組，由方程的根與系數的關系求解，再由點在以為直徑的圓外，得為銳角，，由此列出不等式求出的取值范圍.【詳細解析】9.已知動點M到點N（1，0）和直線l：x=﹣1的距離相等．（1）求動點M的軌跡E的方程；（2）已知不與l垂直的直線l'與曲線E有唯一公共點A，且與直線l的交點為P，以AP為直徑作圓C．判斷點N和圓C的位置關系，并證明你的結論．【思路點撥】（1）利用拋物線的定義，即可求動點M的軌跡E的方程；（2）由題意可設直線l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0，求出A，P的坐標，利用向量的數量積，即可得出結論．【詳細解析】10.已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線上存在一點G到焦點的距離為3，且點G在圓C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求拋物線C1的方程；（Ⅱ）已知橢圓C2：=1（m＞n＞0）的一個焦點與拋物線C1的焦點重合，且離心率為．直線l：y=kx﹣4交橢圓C2于A、B兩個不同的點，若原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，求k的取值范圍．【思路點撥】（1）設點G的坐標為（x0，y0），列出關于x0，y0，p的方程組，即可求解拋物線方程．（2）利用已知條件推出m、n的關系，設（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及判別式大于0，求出K的范圍，通過原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，推出?＞0，然后求解k的范圍即可．【詳細解析】11.已知雙曲線漸近線方程為，為坐標原點，點在雙曲線上．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）已知為雙曲線上不同兩點，點在以為直徑的圓上，求的值．【思路點撥】（1）根據漸近線方程得到設出雙曲線的標準方程，代入點M的坐標求得參數即可；（2）由條件可得，可設出直線的方程，代入雙曲線方程求得點的坐標可求得。【詳細解析】12.已知點P是圓F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一點，點F2與點F1關于原點對稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1，PF2交于M，N兩點．（1）求點M的軌跡C的方程；（2）過點G（0，）的動直線l與點的軌跡C交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點Q的坐