同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

第一講：扇形統(tǒng)計(jì)圖

局識(shí)纏接

廠................................、

扇形統(tǒng)計(jì)圖是用整個(gè)圓表示總數(shù)（單位“1”），用圓內(nèi)各個(gè)扇形的大小表示各1

部分量占總量的百分之幾，扇形統(tǒng)計(jì)圖中各部分的百分之和是單位“1”。通過扇

形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示出部分?jǐn)?shù)量與總數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)這種百分比的關(guān)：

系可以求總量或部分的數(shù)量。此外，還可以根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求圓心角的度數(shù)。I

例題1：知行學(xué)校為了舉辦“慶祝建國70周年”的活動(dòng)，對(duì)本校全體學(xué)生進(jìn)行了

調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示。請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的信息，求出知行學(xué)校參加演講比賽的學(xué)生

有多少人？

【思路點(diǎn)撥】通過觀察扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可以發(fā)現(xiàn)：文藝演出的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的

40%,而文藝演出的學(xué)生又是160人，由關(guān)系式“總量=部分量?對(duì)應(yīng)部分所占百分率”，

可求得總量。160?40%=400（人），因?yàn)檠葜v比賽的學(xué)生人數(shù)占1-40%-35%=25%,用400

X25%=100（人）。

例題2：看條形統(tǒng)計(jì)圖繪制一個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖。

第24-28屆奧運(yùn)會(huì)我國獲金牌情況統(tǒng)計(jì)圖

【思路點(diǎn)撥】繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖，關(guān)鍵是要知道每個(gè)扇形圓心角的度數(shù)，可以先計(jì)算出每

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個(gè)部分占總數(shù)的百分之幾，再用360。X每個(gè)部分所占的百分?jǐn)?shù)，就得到每個(gè)扇形圓心

數(shù).就能畫出_廚開支總數(shù)是5+16+16+28+32=97塊，第24,25,26,27,28屆奧

異識(shí)域描陛牌總數(shù)的5.2%,16.5%,16.5%,28.9%,33%,表示這幾屆的扇

形圓心角分別是19°,59。，59。，104。，119%最后按這樣的角度，畫出扇形就成為扇形

統(tǒng)計(jì)圖。

1、下圖是養(yǎng)兔專業(yè)戶養(yǎng)的黑兔、灰兔、白兔的扇形統(tǒng)計(jì)圖。如圖這個(gè)養(yǎng)兔專業(yè)戶

共養(yǎng)兔3000只，算出三種兔各養(yǎng)了多少只？

（白540灰900黑1560）

2、六（1）班在“六一”兒童節(jié)前要評(píng)選一名區(qū)雛鷹隊(duì)員，采取一名學(xué)生只投一票

的方式進(jìn)行評(píng)選，投票結(jié)果如下:

姓名楊洋鄭益劉強(qiáng)王華

票數(shù)/張2412?4

卜圖（）能表示這個(gè)投票結(jié)果.

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我們用的許多容器都是圓柱形的，如杯子、水桶等，我們常常會(huì)

遇到一些有關(guān)圓柱的表面積計(jì)算問題。

圓柱的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積加上一個(gè)側(cè)面積，上、下兩個(gè)底面是面

積相等的兩個(gè)圓，側(cè)面沿高展開是一個(gè)長方形，長方形的長和高分別為圓柱的底

面周長和高。

為師助學(xué)

例題1：一輛壓路機(jī)的前輪是圓柱形，輪寬1.6米，直徑是0.8米，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周,

壓路的面積是多少平方米？

【思路點(diǎn)撥】壓路機(jī)壓路是用圓柱形滾筒的側(cè)面在壓路，因此求前輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的壓

路面積就是求圓柱滾筒的側(cè)面積。用圓柱形滾筒的底面周長乘輪寬就可以求出圓柱形滾

筒的側(cè)面積，也就是壓路的面積。

例題2：一只高9分米的無蓋圓柱鐵桶，底面周長1.57米，做這只桶需要多少鐵

皮？

【思路點(diǎn)撥】這是一只無蓋的圓柱形鐵桶，因此求做這只桶需要多少鐵皮，只要這

只桶的側(cè)面積和一個(gè)底面積。題目中已告訴我們圓柱的底面周長和高，直接用底面周長

乘高就可以求出側(cè)面積；再求底面積，題目中沒有告訴我們底面半徑，已知的是底面周長,

先要根據(jù)底面周長求出底面半徑，再求底面積；最后用側(cè)面積加上一個(gè)底面積就是做這

只桶需要的鐵皮。

例題3：把一根長1.2米，底面半徑1分米的圓柱形鋼材截成3段，表面積增加多

少平方分米？

【思路點(diǎn)撥】把一根圓柱形鋼材截成3段，要截2次，增加的表面積就是截2次的

“切面”面積，“切面”是圓柱的底面。截一次，增加2個(gè)“切面”面積，截2次，就

增加4個(gè)“切面”的面積。用圓柱的底面積乘4就是增加的表面積。

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1、大廳里有6根圓柱，每根圓柱的高是6米，直徑是1米，把這些圓柱油漆一次,

SIX業(yè)、:小法索1.5元，需要購買多少元油漆?

知識(shí)牡接

2、做一對(duì)無蓋的圓柱形水桶，每只底面周長都是12.56分米，高都是4分米，至

少需鐵皮多少平方分米？(得數(shù)用進(jìn)一法保留平方分米)

(126)

3、把一根2米長的圓柱體木料截成3段，已知木料橫截面直徑為10厘米，那么表

面積比原來增加了多少平方厘米？

(314)

4、一個(gè)圓柱的表面積是628平方厘米，底面周長是31.4厘米，它的高是多少厘

米？(15)

(6838.9)

第三講：圓柱和圓錐的體積G)

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這一講，我們研究圓柱、圓錐體積的計(jì)算問題。圓柱的體積等于底面積乘高，;

圓錐的體積等于底面積乘高再乘三分之一；圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱j

體積的三分之一，反過來，圓柱的體積等于與它等底等高的圓錐體積的三倍。通過研I

究，進(jìn)一步提高空間想象能力和解決實(shí)際問題的能力。i

%用助學(xué)

例題1：圓柱的底面周長為18.84分米，高為5分米，體積是多少立方分米？

【思路點(diǎn)撥】圓柱的體積等于底面積乘高。這道題已知圓柱的底面周長，先根據(jù)圓

柱的底面周長求出底面半徑，再求出底面積，用底面積乘高求出圓柱的體積。

例題2一個(gè)圓柱體的體積是502.4立方厘米，底面直徑是8厘米，圓柱高是多少?

【思路點(diǎn)撥】圓柱的體積=底面積義高，根據(jù)乘、除法之間的關(guān)系，圓柱的體積除

以底面積就可以求出圓柱的高，圓柱的體積除以高就可以求出圓柱的底面積。

如果已知圓錐的體積和底面積，求圓錐的高，先要用圓錐的體積乘3,再除以底

面積；已知圓錐的體積和高，求圓錐的底面積，先要用圓錐的體積乘3,再除以圓錐的

曲O

例題3：一個(gè)立方體的紙盒中恰好能放入一個(gè)體積為628立方厘米的圓柱體，如

圖，紙盒的容積有多大?

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閳A柱體的高、底面直徑以及正方體的棱長都相等，

因此可以設(shè)正方體的棱長為a厘米，則圓柱體的底面積為nX己

2

[3

2。圓柱體的體積是V=nX(La)2Xa=_?"=628(立方厘米)。因

24

此口=800立方厘米。即立方紙盒的容積是800立方厘米。

4

徑是2分米，側(cè)面積是62.8平方分米，這個(gè)圓柱體的體積是

(62.8)

2、挖一個(gè)底面直徑是4米的圓柱形蓄水池，要使其能裝下56.52立方米的水，應(yīng)

該挖幾米深？

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(4.5)

1;為識(shí)域接

3、一個(gè)酒瓶里面深30厘米，底面直徑是10厘米，瓶里的酒深15厘米，把瓶口塞

緊后使其瓶口向下倒立，這時(shí)酒深25厘米（見圖），問酒瓶的容積是多少立方厘米?

4、有一個(gè)長、寬、高分別為8分米、7分米、6分米的長方體，把它加工成一個(gè)最

大的圓柱，這個(gè)圓柱的體積是多少立方分米?

(230.79)

5、把一個(gè)圓柱體的底面平均分成若干個(gè)扇形，然后切開拼成一個(gè)近似的與圓柱等

底等高的長方體，表面積比原來增加了200平方厘米，已知圓柱體的高是10厘米，求

圓柱體的體積。

（3140）

總在一個(gè)圓柱形水桶里，放進(jìn)一段截面半徑為5厘米的圓鋼。如果把它全部放入水

9厘米；如果把水中的圓鋼露出8厘米長，那么這時(shí)桶里的水面

就下降4厘米，這段圓鋼的體積是多少？

(1413)

第四講：圓柱和圓錐的體積（2）

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已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，此類題就是分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題。解題

時(shí)，先要確定單位“1”的量，再分析題中具體數(shù)量所對(duì)應(yīng)的分率，最后用這個(gè)具

i體數(shù)量除以對(duì)應(yīng)的分率，就可求得單位“1”的量。當(dāng)題目中的具體數(shù)量、分率較

j多時(shí)，我們可以借助線段圖來分析量和率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再列式解答。

K.一一一一__________________________________________________________________________....____________....…/

%即助等

例題1：把一個(gè)底面積是6.28平方厘米，高是9厘米的圓柱體鐵塊熔鑄成一個(gè)底

面積是18.84平方厘米的圓錐體，這個(gè)圓錐體的高是多少厘米?

【思路點(diǎn)撥】將圓柱熔鑄成圓錐，體積不發(fā)生變化。求圓錐的高，只要用圓錐的體積

X34?底面積。列式：6.28X9X34-18.84=9（厘米）

例題2：把一個(gè)圓柱體削成一個(gè)最大的圓錐體，削去部分的體積為40立方厘米。

原來圓柱的體積是多少？

【思路點(diǎn)撥】把一個(gè)圓柱體削成一個(gè)最大的圓錐體，圓錐體的體積是圓柱體體積的

-（等底等高），削去部分的體積是原來圓柱體積的1一三二三。而削去部分的體積是40立

333

1務(wù)厘米，所以原來圓柱的體積巖40?（：=60）=40（立方厘米）。

33

例題3：在倉庫的一角有一堆稻谷，呈四分之一圓錐形（如圖），經(jīng)測量底面弧長

2.4米，圓錐高為1.57米。已知稻谷每立方米重725千克，求這堆稻谷重多少千克？

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閳A錐底面弧長為2.4米，那么一個(gè)整圓錐底面

周長為2.4X4=9.6（米），底面半徑為9.6+3.14+2=絲，這堆稻谷

3.14

的體積為Lx3.14x（4聆2x1.57x1=0.96（立方米），稻谷重

43.143

725x0.96=696（千克）。

1、把一塊長31.4厘米，寬20厘米，高4厘米的長方體鋼坯熔化澆鑄成底面半徑

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是4厘米的圓柱體，圓柱體的高是多少厘米?

(50)

梟識(shí)使接

2、從圓錐頂點(diǎn)沿著高切成兩半后，表面積增加了30平方厘米，已知原來圓錐的高

是5厘米，求等底等高圓柱的體積。

（141.3）

3、有一個(gè)圓錐形的沙堆，底面周長是12.56米，高是0.9米，用這堆沙在寬4米

的路上鋪2厘米厚的路面，能鋪多少米長？

（47.1）

4、一個(gè)長方形以豎著的一條長為軸旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的立體圖形的體積（如圖

1）,一個(gè)三角形以橫著的一條短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周（如圖2）,求所形成的立體圖形

的體積。（單位：分米）

ABCD是個(gè)直角梯形，以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)立體圖形,它的體積是多

能力提升

第五講解決問題的策略（綜合應(yīng)用）

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

.........................................................................f、

同學(xué)們已經(jīng)掌握了多種解決問題的策略，比如分析法、綜合法、畫圖、列表、

假設(shè)法、轉(zhuǎn)化……很多實(shí)際問題可以從不同的角度，運(yùn)用不同的思維方式來解答，

經(jīng)常進(jìn)行多種解題方法的綜合應(yīng)用的訓(xùn)練，可以鍛煉我們的思維。在綜合應(yīng)用各；

種方法解決問題時(shí)，要根據(jù)題目的具體情況，首先確定思維的起點(diǎn)，然后沿著不I

同的思考方向，就能找到不同的解題方法，同時(shí)，還應(yīng)該特別選擇解決問題的簡j

便方法和最佳途徑。這樣，同學(xué)們可以進(jìn)一步積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)好數(shù)j

學(xué)的信心。}

為師助學(xué)

0

^

-

例題1：甲、乙兩隊(duì)合挖一條長620米的水渠,4與乙隊(duì)挖勺相等，甲隊(duì)

比乙隊(duì)多挖多少米？

34”43

【思路點(diǎn)撥】方法一：根據(jù)“甲隊(duì)6代=乙隊(duì)的：得到甲隊(duì)挖的：乙隊(duì)挖的二=,,再

4554

把620米按16:15分配。甲隊(duì)挖的=620義」6=320（米），乙隊(duì)挖的二620義丁_^300

16+1516+15

（米），甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了320-300=20米。

4=3”44

方法二：根據(jù)“乙隊(duì)6用甲隊(duì)的I'把乙隊(duì)的己挖的看用單位“1”，把乙隊(duì)挖的g平

416

均分成3份，甲隊(duì)有這樣的4份，所以甲隊(duì)是乙隊(duì)的-93X4一,甲、乙兩隊(duì)的和是

515

匕+1=21乙隊(duì)挖的=620+衛(wèi)=300（米），甲隊(duì)挖的二300義匕=320（米），甲隊(duì)比乙隊(duì)多

1515’1515

挖的:320-300=20（米）。

例題2：把99個(gè)彩色玻璃球裝進(jìn)大小兩種盒子中，每個(gè)大盒子裝12個(gè)，每個(gè)小盒

子裝5個(gè)，正好裝完。已知盒子個(gè)數(shù)大于10個(gè)，大小盒子各有多少個(gè)？

【思路點(diǎn)撥】方法一：畫圖，因?yàn)榭偣?/p>

co。ooooooooo1oook)odood

ool/|CX>1/|OO1/|ooy|oo1/|ooV|oo]/

有99個(gè)玻璃球，可以先畫20個(gè)小盒子，

弱/同甸甸甸氨I

Is&yI而V1001/icK>i/rooVgoy

再調(diào)整成一些大盒子，使大、小盒子正好裝L

OO

OO

CO

99個(gè)，并且盒子數(shù)大于10個(gè)。OO

15個(gè)小盒子和2個(gè)大盒子正好裝滿99個(gè)，這時(shí)共有17個(gè)盒子，如果再拿12個(gè)

小盒子換5個(gè)大盒子，小盒子還有3個(gè)，大盒子有7個(gè)，也正好裝99個(gè)玻璃球，但這

時(shí)盒子總數(shù)只有10個(gè)，不符合題意，所以大盒子有2個(gè)，小盒子有15個(gè)。

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方法二：—列舉

02個(gè)/盒)12345678

延樂識(shí)域接

瞿F個(gè)/盒)/15//3/

2+15>10,符合要求；7+3=10,不符合要求。所以有2個(gè)大盒，15個(gè)小盒。

、貨兩車同時(shí)從甲、乙兩地相向而行，相遇時(shí)客車比貨車少行32千米，已知客車

二的士甲、乙兩地相距多少千米？

3

(352)

2、一輛自行車有2個(gè)輪子，一輛三輪車有3個(gè)輪子，車棚里放著自行車和三輪車共10

輛，共有25個(gè)車輪，自行車和三輪車各有多少輛？

(55)

3^1+1+1+J_+....+1_

248162048

(2047)

2048

4、學(xué)校買來鋼筆、筆記本和文具盒三種獎(jiǎng)品，其中買鋼筆用去210元，買筆記本用去

總錢數(shù)的士買文具盒的錢與另外兩種文具錢數(shù)的比是2：3,買獎(jiǎng)品一共用去多少錢？

4

(600)

如圖，長方形的面積是35平方厘米(邊長大于1厘米的整數(shù))，AADE的面積是5平

的面積是7平方厘米，求中間4DEF的面積是多少？(15.5)

第六講：比例

兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比，表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。

比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘或者除以相同的數(shù)(零除外)，比值不變。

比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積等于兩個(gè)外項(xiàng)的積。

這一講主要研究溝通比和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系及解答稍復(fù)雜的比的應(yīng)用題的方

i法。

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

名師助學(xué)

47

例題1:分希'分子、分母分別加上、減去同一個(gè)數(shù)以后，約分后的最簡分?jǐn)?shù)為

3

-，求分子加上、分母減去的這個(gè)數(shù)。

5

47%

【思路點(diǎn)撥】解：設(shè)分子加上、分母減去的這個(gè)數(shù)為X,根據(jù)題意可列出比例：——

97r

二/解比例得%=7。

例題2：一輛汽車2小時(shí)行駛130千米。照這樣的速度，從甲地到乙地共行駛5小

時(shí)，甲、乙兩地相距多少千米？（用比例解）

【思路點(diǎn)撥】解：設(shè)甲、乙兩地相距%千米，根據(jù)速度不變可列出比例：

型=2，解比例得》=325。想一想：還可以列出怎樣的比例？

25

1

例題3：一本書第一天讀了總頁數(shù)的-，第二天讀的頁數(shù)與第一天讀的頁數(shù)之比是

3

6：5,還剩64頁沒讀，全書共多少頁？

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“第二天讀頁數(shù)與第一天讀的頁數(shù)之比是6：5”可以知道，第二

611x6=2

天讀的頁數(shù)是第一天讀的g。第一天讀了總頁數(shù)的第二天讀了總頁數(shù)的ggg,兩

191111A

天一共讀了總頁數(shù)的：還剩二土，那么沒有讀的64頁所對(duì)應(yīng)的分率就是

35151515

44

,64?二二240（頁）全書共240頁。

1515

1、一個(gè)分?jǐn)?shù)分子分母的最簡比是1：2,分子分母同時(shí)加上12以后，約分后的最

3

簡分?jǐn)?shù)為求原來的分?jǐn)?shù)是多少？

5

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（上）

48

梟識(shí)續(xù)接

2、修一條公路，原計(jì)劃每天修120米，30天可以修完。如果要提前5天修完，每

天要修多少米？(用比例解)

(144)

3、修一條公路，原計(jì)劃按10：7分配給甲、乙兩個(gè)筑路隊(duì)修，實(shí)際甲隊(duì)修了2000

果，超過分配磔她I事只完成了分配晚務(wù)的隊(duì)實(shí)際修了多少米？

4

(672)

4、圓A與圓B的一部分重疊，重疊部分的面積是圓A盤，圓BM,求A,B兩圓

5

的面積的比。

甲、乙、丙三人進(jìn)行200米賽跑(他們的速度保持不變)，甲到終點(diǎn)時(shí)，乙還差

20米，丙離終點(diǎn)還有25米，乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙還差幾米？

L________

能力提升

第七講：正比例和反比例

f

用比例知識(shí)解應(yīng)用題，步躲是：1.審題，找出題中相關(guān)聯(lián)的兩種量；2.根據(jù)

|正、反比例的概念進(jìn)行判斷，分析相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量是什么關(guān)系，看兩個(gè)量是商

j一定還是積一定，如果是商一定就是正比例關(guān)系，如果是積一定就是反比例關(guān)

系；3.找出兩種相關(guān)聯(lián)量的對(duì)應(yīng)數(shù)值；4.設(shè)未知數(shù)，列出比例式；5.解比例

i式；6.檢臉，寫答句。解答比例應(yīng)用題時(shí)，還要靈活運(yùn)用“比”和“分?jǐn)?shù)”之間

蛙.1k__________________________________...___________________________________________________

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

舉一反三

例題1：在比例尺是-^―的地圖上，量得A、B兩地距離是15厘米，一輛汽車以

800000

每小時(shí)45千米的速度從A地出發(fā)，經(jīng)過多少小時(shí)才能到達(dá)B地？

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閳D上距離=比例尺.所以15=1.可以用比例的知識(shí)求出

實(shí)際距離實(shí)際距離800000

實(shí)際距離，再根據(jù)“路程速度=時(shí)間”，求出行駛的時(shí)間。

這道題還可以這樣思考：比例尺是1,即圖上距離是實(shí)際距離的」1,實(shí)際

800000800000

距離是圖上距離的800000倍。用圖上距離除以或者用圖上距離乘800000,都可

800000

以求出實(shí)際距離，求出實(shí)際距離后再求行駛的時(shí)間。

例題2：在比例尺是1：6000000的地圖上，量得濟(jì)南到青島的距離是8厘米。在

比例尺是1：8000000的地圖上，濟(jì)南到青島的距離是多少厘米？

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)“在比例尺是1:6000000的地圖上，量得濟(jì)南到青島的距離

是8厘米”，求出濟(jì)南到青島的實(shí)際距離；再用實(shí)際距離乘----——或者除以8000000

8000000

求出在比例尺是1：8000000的地圖上濟(jì)南到青島的圖上距離。

例題3：一批零件，甲、乙兩人單獨(dú)完成，所需的時(shí)間比是3：50現(xiàn)兩人合做，完

成任務(wù)時(shí)，甲比乙多加工30個(gè)，則這批零件有多少個(gè)？

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)楣ぷ餍蔢工作時(shí)間=工作總量（一定），所以工作效率和工作時(shí)

間成反比例。“所用的時(shí)間比是3：5”，那么甲、乙兩人工作效率的比就是5：30

又因?yàn)楣ぷ骺偭?工作效*工作時(shí)間（一定），所以工作總量和工作效率成正比例。

甲、乙兩人工作效率的比是5：3,那么完成任務(wù)時(shí)兩人的工作總量比就是5：3,也就

是說甲完成了5份，乙完成了3份，一共完成了8份?！凹妆纫叶嗉庸?0個(gè)”，這30個(gè)

是5-3=2份，這批零件一共有304-2X8=120（個(gè)）。

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

1、在一幅1：3000000的地圖上，量得甲、乙兩地公路長14厘米，一輛汽車從甲

地到乙地行駛了7小時(shí)，平均每小時(shí)行多少千米？

(60)

2、在比例尺是1：8000000的地圖上，量得A、B兩個(gè)城市的距離是12厘米，在比

例尺是1：6000000的地圖上，量得A、B兩個(gè)城市的距離是幾厘米？

(16)

3、甲、乙兩學(xué)生上學(xué)，甲比乙多/的路程，而乙比甲走的時(shí)間少二甲、乙兩人

610

的速度比是多少？

(21：20)

4、某單位買甲、乙兩種圓珠筆共150支，已知甲圓珠筆每支3元，乙圓珠筆每支

2元，且甲、乙兩種圓珠筆所用錢數(shù)一樣多。甲、乙兩種圓珠筆各買了多少支？

(甲60乙90)

一對(duì)互相咬合的齒輪，主動(dòng)輪有60個(gè)齒，每分鐘轉(zhuǎn)80圈，從動(dòng)輪有40個(gè)齒，每

分鐘轉(zhuǎn)多少圈？(120)

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

第八講速算與巧算

知識(shí)綻接

六年級(jí)所學(xué)習(xí)的簡便計(jì)算主要是有關(guān)分?jǐn)?shù)的巧算，除與整數(shù)、小數(shù)的簡便計(jì)

算的方法相同外，還有其獨(dú)特的巧算方法。

常用的簡便方法有：運(yùn)用運(yùn)算定律使計(jì)算簡便(如乘法分配律)：運(yùn)用拆項(xiàng)法

使計(jì)算簡便；運(yùn)用等差數(shù)列求和法使計(jì)算簡便；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法使計(jì)算簡便

等。

1?...

2255

例題1:計(jì)算(上+，)“)

7979

11

【思路點(diǎn)撥】這道題中被除數(shù)和除數(shù)是兩個(gè)算式，可以把它們寫成含有-和9目加的形式,

79

并把』與&和作為一個(gè)數(shù)來參與運(yùn)算，使計(jì)算中含有乘除法，再利用乘法的交換律和

79

結(jié)合律使計(jì)算簡便。

2255

(9-+7-)+(一?)

7979

656555

一(4-)-

7979

11,,11、r

=[65X(-+-)]+[r5X(-+-)]

7979

=654-5

=13

111111

例題2：計(jì)算(1+一+一+一)(-+-+-)

234234

111可設(shè)A己+工用代數(shù)法來做，可以化

【思路點(diǎn)撥】前后括號(hào)里都有

234234

繁為簡。

解：令A(yù)E+U」則原式二(1+A)4-A=l+1.由于所以片區(qū)

234a23412a12

因此原式m+i=i上

1213

111I\

例題3：1像(1--)X(1-_)X(1--)X…X(1-)

2342014

【思路點(diǎn)撥】此題不可能真的一一相乘去計(jì)算，不妨先算出括號(hào)里的差，觀察數(shù)的

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

特點(diǎn)，再進(jìn)行計(jì)算。

1111\123201220131

(1-)X(1-)X(1-)X-XX-X-X------X-------=------

4201320142014

4

1、46-4-15

11

812+2052+3

2、(3+三H)(H+9石)

111

3、(1-)X(1一)X(17X…義(

91011

4696969X696696

969969X969696

11111111111111

(1+2+/4十*(2書37+耳卜(士+3+4尾)X(2注3十4十一一

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

第九講列方程解應(yīng)用題

a笈識(shí)綻提

在列方程解應(yīng)用題時(shí)，是把已知量和未知量統(tǒng)一考慮，分析其數(shù)量關(guān)系，在

一個(gè)相等的式子中，把它們表示出來，構(gòu)成一個(gè)方程。

找數(shù)量關(guān)系，有的是利用條件中的相等關(guān)系，有的是利用周長和面積的計(jì)算

公式，有的是根據(jù)加、減、乘、除各部分之間的關(guān)系，我們只要先假設(shè)一個(gè)未知

數(shù)，然后再根據(jù)等量關(guān)系來列方程。

為珅助學(xué)

例題1：汽車從甲地開往乙地，去時(shí)每小時(shí)行60千米，返回時(shí)每小時(shí)行50千米,

來回途中共用了11小時(shí)。求甲、乙兩地相距多少千米。

【思路點(diǎn)撥】去時(shí)和回來的路程都是甲、乙兩地的路程，所以等量關(guān)系是：去時(shí)速

度X去時(shí)時(shí)間=返回時(shí)速度X返回時(shí)時(shí)間。

解：設(shè)去時(shí)用工小時(shí)，那么返回時(shí)用(11-%)小時(shí)。

60X%=50X(11-x)

x=560X5=300（千米）

答：甲、乙兩地相距300千米。

例題2：把一個(gè)正方形的一邊減少20%,相鄰的一邊增加2厘米，得到一個(gè)長方形。

這個(gè)長方形的面積與原來的正方形面積相等，求原來正方形的面積。

【思路點(diǎn)撥】依題意畫右圖，變化后長方形的面積與原正方形面積相等，說明圖中

這兩個(gè)陰影部分面積相等。設(shè)原正方形邊長為X,那么ABCD的寬為20%,CEFG的長為》

X(1-20%);那么可列出方程:

%X(1-20%)X2=xX20%x

x=8所以原來正方形的面積為8X8=64(平方厘米)

例題3：一條大鯊魚，頭長3米，身長等于頭長加尾長，尾長等于頭長加身長的一

半，這條大鯊魚全長多少米？

【思路點(diǎn)撥】這條大鯊魚的全長包括頭長、身長和尾長，如果直接設(shè)全長為，無法

列方程。可以設(shè)身長為米，再根據(jù)“尾長等于頭長加身長的一半”用含的式子表示尾長,

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

再根據(jù)“身長等于頭長加尾長”列出方程。

]

%=3+(3+-%)

2

%=12

lx12)=24(米)。

所以全長為3+12+(3+

2

為識(shí)掠接

1.在一個(gè)停車場上，現(xiàn)有24輛車。其中汽車有4個(gè)輪子，摩托車有3個(gè)輪子。這

些車共有86個(gè)輪子。那么，三輪摩托車有多少輛？（10）

2.有一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分母加上6,分子不變，約分后.；如果分子加上4,原分母

6

不變，約分后為L原分?jǐn)?shù)是多少？（巳）

460

3.實(shí)驗(yàn)小學(xué)共有教師132人,如果男教師增加12人,女教師減少40%,那么男、女

教師人數(shù)相等。實(shí)驗(yàn)小學(xué)原有男、女教師各多少人？（男42女90）

11

4.現(xiàn)在弟弟的年齡恰好是哥哥年齡的，而9年前弟弟的年齡只是哥哥年齡的▼哥

25

哥現(xiàn)在多少歲？（24）

能力提升

小木、小林、小森三人去看電影。小木帶的錢買三張電影票，還差55元；小林帶

的錢買三張電影票，還差69元；三個(gè)人帶去的錢買三張電影票還多了30元。已知小森

帶了37元，那么買一張電影票要多少錢？（39）

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

第十講時(shí)鐘問題

梟識(shí)續(xù)提

尸---------------------------------------------------------------------------、

/時(shí)鐘上的時(shí)針和分針的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，時(shí)鐘問題一般都是圍繞時(shí)針、分針\

5或秒針的重合、垂直、成直線或夾角的度數(shù)等問題來進(jìn)行研究的。

鐘面上一圈分為60小格，分針每小時(shí)走60小格，時(shí)針每小時(shí)走5小格，時(shí)j

針的速度是分針的匕分針每小時(shí)比時(shí)針多走1-=/小格；還可以把鐘面按i

121212!

“度”來分，分針1小時(shí)走一圈是360°,每分鐘走360°+60=6°,時(shí)針60分鐘；

走30°,所以時(shí)針每分鐘走30°+60=0.5°,分針每分鐘比時(shí)針多走6°-!

；0.5°=5.5°o解時(shí)鐘問題時(shí)，可以把它轉(zhuǎn)化為行程問題中的“追及問題”來解|

\答，基本的關(guān)系式是路程差一速度差=追及時(shí)間。J

名師助學(xué)

例題1：從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多長時(shí)間，時(shí)針正好與分針重合?

【思路點(diǎn)撥】先將本題轉(zhuǎn)化為追及問題,4點(diǎn)時(shí)時(shí)針指向“4”，分針指向“12”，時(shí)

針與分針榔巨20小格，本題就轉(zhuǎn)化為：時(shí)針與分針相距20小格，時(shí)針在前分針在后，

1打針每小時(shí)比時(shí)針多流—小格，時(shí)針與分針同時(shí)出發(fā)，分針要用多少分鐘可以追上時(shí)針？

12

11

路程差是20小格，速度差是一】、格，根據(jù)“路程差+速度差=追及時(shí)間”求出追及時(shí)間。

12

例題2：7點(diǎn)多少分的時(shí)候，分針落后于時(shí)針100°?

【思路點(diǎn)撥】本題就轉(zhuǎn)化為：分針每分鐘走6°,時(shí)針每分鐘走0.5°,7點(diǎn)多少分

的時(shí)候，分針落后于時(shí)針100°?7點(diǎn)整，分針落后于時(shí)針210°,題目要求“分針落

后于時(shí)針100°”，也就是說分針要追上時(shí)針210°-100°=110°,路程差是110°,速

度差是6°—0.5°=5.5°,110°+5.5=20（分）。

例題3：五點(diǎn)過多少分時(shí)，時(shí)針與分針離“5”的距離相等，并且在“5”的兩邊?

【思路點(diǎn)撥】這道題可以換一個(gè)角度進(jìn)行思考，用轉(zhuǎn)化

的思想，把追及問題變?yōu)橄嘤鰡栴}。假設(shè)五點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針向

相反的方向行走，時(shí)針走到分針的到位時(shí)的時(shí)間，與分針從

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

“12”開始，走到分針到位時(shí)的時(shí)間相同，此題就變成了：分針與時(shí)針?biāo)械穆烦毯褪?/p>

25小格，分針每分走1小格，時(shí)針每分走工小格，求相遇時(shí)是什么時(shí)間？

1、中午12時(shí)以后，時(shí)針與分針第一次重合，表示的時(shí)間是幾時(shí)幾分？

5\

（1時(shí)5-分）

11

2,8點(diǎn)以后，什么時(shí)候分針與時(shí)針之間第一次形成120°夾角？

（8點(diǎn)21%）

11

3、鐘面上4點(diǎn)過幾分時(shí)，時(shí)針和分針與“3”的距離相等，并且在“3”的兩邊？

（4勵(lì)9%）

13

4、陳軍3點(diǎn)多鐘開始看書，時(shí)針和分針正好重合在一起，5點(diǎn)多鐘看完書時(shí)，時(shí)針與

分針正好又重合在一起，陳軍看了多長時(shí)間書？

（2小時(shí)10-^）

小紅家有兩個(gè)舊掛鐘，一個(gè)每天快20分鐘，另一個(gè)每天慢30分鐘，晚上7點(diǎn)時(shí)將

兩個(gè)舊掛鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，問它們何時(shí)再同時(shí)顯示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間？

(72)

同步數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

第十一講推理問題

梟識(shí)接

T號(hào)

f邏輯推理問題是一種由眾多條件組成的判斷性問題。它主要不是靠計(jì)算、作1

S圖等專門的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是要求從一定的前提出發(fā)，通過一系列的推理來獲取某!

'種結(jié)論。討論這種問題時(shí)，必須有條理清晰的思維和嚴(yán)謹(jǐn)有序的推理。要注意理j

清各部分之間的關(guān)系，然后進(jìn)行分析推理，排除一些不可能的情況，逐步歸納，

對(duì)歸納做出正確的判斷。

5解決這類問題常用的方法有：假設(shè)法、排除法、列圖表法等。）

田

田

例題1：有一座四層樓（如右圖），每層樓有3個(gè)窗戶，每個(gè)窗戶田

田

田

有4塊玻璃，分別是白色和茶色。如果每個(gè)窗戶表示一個(gè)數(shù)字，每田

田

田

層樓的三個(gè)窗戶從左到右表示一個(gè)三位數(shù)，四個(gè)樓層表示的三位數(shù)分田

田

別是612,275,791,362。那么，第三層樓表示的三位數(shù)是多少？田

【思路點(diǎn)撥】觀察四個(gè)三位數(shù)：612,275,791,362,其中“2”出ffi

現(xiàn)了3次，兩次在個(gè)位，一次在百位，很容易看出「表示2,則第四層表示275,即

|表示7；第二層表示791,即，表示1,則第三層應(yīng)表示612。

例題2：小趙、小錢和小孫一位是工人，一位是醫(yī)生，一位是教師?，F(xiàn)在只知道：

（1）小孫比教師年齡大；（2）小趙和醫(yī)生不同歲；