2023—2024學(xué)年度下學(xué)期2022級(jí)3月月考數(shù)學(xué)試卷命題人：葉世安審題人：冷勁松考試時(shí)間：2024年3月21日一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.“”是“為橢圓方程”是A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】依題意有,解得,故選.2.已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)即可得解.【詳解】依題意，設(shè)拋物線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)為，得，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.3.在等差數(shù)列中，，那么該數(shù)列的前14項(xiàng)和為（）A.20 B.21 C.42 D.84【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的過(guò)程為d，利用基本量代換，求出，代入前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的過(guò)程為d，因?yàn)?，所以，即，所以，所?故選：B4.設(shè)等比數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式求解即可．【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為，∵，∴，解得，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．5.已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，O是平面外任意一點(diǎn)，正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因?yàn)椋宜狞c(diǎn)共面，由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)可知，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.6.若函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到其最小值，令最小值小于等于零進(jìn)行求解即可.【詳解】已知函數(shù)，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，則，又，所以.故選：C.7.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若的零點(diǎn)為，極值點(diǎn)為，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】令可求得其零點(diǎn)，即的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得其極值點(diǎn)，即的值，從而可得答案．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立，的零點(diǎn)為．又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故在，上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，取到極小值，即的極值點(diǎn)，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出分析運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題．8.直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，結(jié)合點(diǎn)差法相關(guān)知識(shí)計(jì)算求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，則，因?yàn)橹本€，為線段中點(diǎn)，，所以，，代入上式得，則，所以橢圓的離心率.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.偶函數(shù)B.是周期函數(shù)C.在區(qū)間上，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)D.過(guò)作y=的切線，有無(wú)數(shù)條【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)的解析式，分別其對(duì)稱性，周期性，單調(diào)性以及切線方程作出分析.【詳解】顯然，A正確；顯然不是周期函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，令，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，又，故在上只有一個(gè)解，C正確;對(duì)于D，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，代入(0，0)，有，得t=0或，若，則切線方程為；若，則切線方程為，故有且僅有3條切線，D錯(cuò)誤；故選：AC.10.某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點(diǎn)為，若為其圖象上任意一點(diǎn)，則（）A.是它的一條對(duì)稱軸 B.它的離心率為C.點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn) D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意可知反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，進(jìn)一步分別計(jì)算出離心率以及即可逐一判斷求解.【詳解】反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為，容易知道是實(shí)軸，是虛軸，坐標(biāo)原點(diǎn)是對(duì)稱中心，聯(lián)立實(shí)軸方程與反比例函數(shù)表達(dá)式得實(shí)軸頂點(diǎn)，所以，其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為而不是，由雙曲線定義可知．故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.定義域是（0，+）B.x∈（0，1）時(shí)，圖象位于x軸下方C.存在單調(diào)遞增區(qū)間D.有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)可得定義域，即可判斷；通過(guò)當(dāng)時(shí)，可判斷；【詳解】由題意函數(shù)滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A不正確；由，當(dāng)時(shí)，，∴，所以在上圖象都在軸的下方，所以B正確；∵，設(shè)，所以，函數(shù)單調(diào)增，，，所以在定義域上有解，所以函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以C是正確的；則函數(shù)只有一個(gè)根，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個(gè)極小值，所以D不正確；故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考考查了求函數(shù)的定義域以及符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，建立與的方程，求出，利用極限的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，又，則，解得，由定義可知，.故答案為：13.已知直線與圓：交于，兩點(diǎn)，寫出滿足“是等邊三角形”的的一個(gè)值：______.【答案】（或，答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，設(shè)圓心到直線的距離為，則根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：，解得：.即，解得.故答案為：（或，答案不唯一）14.在正方體中，，點(diǎn)平面，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，若，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，_____________．【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，求得，進(jìn)而表示出的面積，結(jié)合面積有最小值即可求得，即可求得答案.【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?，故，即，由于平面，平面，故，所以的面積為，而，故，當(dāng)時(shí)，取最小值，即S最小，此時(shí)，則，故，即，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由于是在正方體中求解線段長(zhǎng)，因此可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合面積最小，求出參數(shù)，即E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題.四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對(duì)任意，成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，極小值，無(wú)極大值（2）4【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可求出極值；（2）對(duì)任意，成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，得，令，得；令，得，∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，故在處有極小值，無(wú)極大值；【小問(wèn)2詳解】由及，得恒成立，令，則，由，由，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，因此，所以m的最大值是4．16.在三棱臺(tái)中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且，D為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面.（2）平面與平面的夾角能否為？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）不能，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）說(shuō)明，再推出，即可證明平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，假設(shè)平面與平面的夾角能為，根據(jù)空間角的向量求法可得方程，根據(jù)該方程解的情況，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，D為的中點(diǎn)，故；又底面，底面，故，又平面，故平面，又平面，故平面平面；【小問(wèn)2詳解】由已知可知，，且D為的中點(diǎn)，則，即四邊形為平行四邊形，故，由底面，得底面，因?yàn)槠矫?，所以，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，結(jié)合（1）可知平面的法向量可取為；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，故，即，令，則，假設(shè)平面與平面的夾角能為，則，即，此方程無(wú)解，假設(shè)不成立，即平面與平面的夾角不能為.17.已知橢圓方程，左右焦點(diǎn)分別，.離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓方程.（2）若斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與以，為直徑的圓交于C，兩點(diǎn).若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，解可得、的值，計(jì)算可得的值，將其代入橢圓的方程即可得答案；（2）假設(shè)存在斜率為1的直線，設(shè)其方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析，用表示，計(jì)算可得的值，分析可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，解得，，則，故橢圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在斜率為的直線，那么可設(shè)為，則由（1）知，的坐標(biāo)分別為，，可得以線段為直徑的圓為，圓心到直線的距離，得，即，則，聯(lián)立得，設(shè)，，，，則，得，故，，，，由可得解得，得．即存在符合條件的直線．18.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)．它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)．（1）類比正、余弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，，，請(qǐng)寫出，具有的類似的性質(zhì)（不需要證明）；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求的最小值．【答案】18.,19.20.0【解析】【分析】（1）求導(dǎo)即可得結(jié)論;（2）構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),并結(jié)合分類討論確定函數(shù)的最小值即可求解;（3）多次求導(dǎo)最終判斷函數(shù)單調(diào)在內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)為偶函數(shù)從而確定最小值.【小問(wèn)1詳解】求導(dǎo)易知,.【小問(wèn)2詳解】構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，①當(dāng)時(shí)，由,可知，，故單調(diào)遞增，此時(shí)，故對(duì)任意，恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，，則，可知單調(diào)遞增，由與可知，存在唯一，使得，故當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，故對(duì)任意，，即，矛盾；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【小問(wèn)3詳解】，，令，則；令，則，當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，則，令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，因，即為偶函數(shù)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值0．19.定義：對(duì)于任意大于零的自然數(shù)n，滿足條件且（M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）的無(wú)窮數(shù)列稱為M數(shù)列．（1）若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，判斷數(shù)列是否是M數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，證明：數(shù)列是M數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的M數(shù)列，求證：．【答案】（1）不M數(shù)列，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）確定數(shù)列無(wú)上限即可得；（2）由等比數(shù)列的基本量法求出Sn，根據(jù)數(shù)列新定義證明即可；（3）用反證法，假設(shè)存在正整數(shù)k，使得，由數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)，得，即，然后