線性方程組的進(jìn)一步求解研究目錄TOC\o"1-2"\h\u3153線性方程組的進(jìn)一步求解 12021引言 1169781.1研究背景 1121751.2主要內(nèi)容 2261862一些概念和結(jié)論 2191842.1三種形式 2138032.2線性方程組的解 3204492.3解集的構(gòu)成 316444定義3如果方程組的常數(shù)并不是都等于零，那么方程組 319623線性方程組的解法 4118593.1用克拉默法則法 4123323.2高斯消元法求解線性方程組 6171683.3行與列初等變換同時(shí)使用法解方程組 849353.4消去常數(shù)項(xiàng)法 9208403.5化非齊次為齊次 11282623.6平方根法求解線性方程組 129788例6解方程組 12213734結(jié)束語(yǔ) 13【摘要】：本文首先概述了線性方程組的三種形式，它們分別為一般形式、矩陣形式以及向量形式.然后介紹了幾種線性方程組的求解方法，主要包括克拉默法則，消元法，行變換與列變換同時(shí)使用法，常數(shù)項(xiàng)消除法，非齊次到齊次線性方程組法，平方根方法，并給出了使用這些方法的例子.最后總結(jié)了這些方法的適用性、區(qū)別及聯(lián)系.【關(guān)鍵詞】：線性方程組基礎(chǔ)解系一般解1引言1.1研究背景在我們讀高中的時(shí)候，我們就學(xué)習(xí)了方程組，也學(xué)習(xí)了解方程組，高中的方程組都是最基礎(chǔ)的，而在大學(xué)里，我們需要更深入的去學(xué)習(xí)解方程組，這也就是解線性方程組，對(duì)于線性方程組的求解,我國(guó)在這方面的研究有著悠長(zhǎng)的歷史,線性方程組的內(nèi)容被記錄在偉大的數(shù)學(xué)作品《九章算術(shù)》中，它歸納了關(guān)于方程組的一些背景知識(shí).在我們學(xué)習(xí)代數(shù)的時(shí)候，會(huì)求解方程組在數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的作用，它和我們所要學(xué)習(xí)的很多代數(shù)方面的數(shù)學(xué)知識(shí)都是緊密相關(guān)的.在我們學(xué)習(xí)的高等代數(shù)課本當(dāng)中，有一章的內(nèi)容主要就是在解說(shuō)線性方程組與上述概念之間的聯(lián)系，但高等代數(shù)課本一般只是介紹了克拉默法則和初等變換法，然而對(duì)于方程組的求解方法卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這兩種.1.2主要內(nèi)容本篇文章的大致內(nèi)容就是討論線性方程組的解法，首先概述了線性方程組的相關(guān)概念與一些特征和結(jié)論，之后還介紹了方程組的解的構(gòu)成，最后歸納了幾種比較經(jīng)典的解法.2一些概念和結(jié)論2.1三種形式2.1.1一般形式一般形式是我們經(jīng)常用到的，它的形式為：，2.1.2矩陣形式,A=，X=，b=，其中是等式中的系數(shù)，是等式中的未知量，是等式中的常數(shù),稱為方程組的。常記為.2.1.3向量形式線性方程組的向量形式為，其中=（i=1,2,...,n）,b=.2.2線性方程組的解定理1有方程組AX=b，我們用與表示與的秩，則R(Ab)=R(A)<n時(shí)，.R(Ab)=R(A)=n時(shí)，方程組有唯一解.R(Ab)=R(A)>n時(shí)，方程組沒(méi)有解.2.3解集的構(gòu)成2.3.1齊次線性方程組解集的構(gòu)成定義1若方程組的常數(shù)全部等于零，即形如.（1）定義2若將稱為齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么必須滿足下面的兩個(gè)條件：第一：可以表示出方程組（1）的全部解.第二：必須是線性不相關(guān).定理2齊次方程組具有一個(gè)基本解系統(tǒng)，并且其基本解系統(tǒng)中包含的解數(shù)為，其中n是未知數(shù).

定理3假設(shè)是的一組基本解系統(tǒng)，則的一般解為:X=其中可以取任何值（=1，2，...，n）.2.3.2非齊次線性方程組解集的構(gòu)成定義3如果方程組的常數(shù)并不是都等于零，那么方程組（2）稱之為為非齊次方程組.定理4假設(shè)為（2）所對(duì)應(yīng)的的，是線性方程組（2）的，則（2）的為：X=,其中可以取任（i=1,2,...,s）,3線性方程組的解法3.1用克拉默法則法定理5若方程組·由具有n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程式構(gòu)成， （3）A=如果行列式那么可以判斷出（3）是有唯一的解，所以解我們可以寫為：，（4）這里的（i=1，2，…，n）為=，j=1,2,...,n.該定理中包含三個(gè)結(jié)論：1、方程組有解.2、解是唯一的.3、解由公式（4）給出.一般來(lái)說(shuō)，如果我們想要使用克拉默法則，我們就必須要保證該方程組要滿足克拉默法則的兩個(gè)條件，這在上面我們已經(jīng)敘述過(guò)，這里就不在重復(fù)了，這樣，克拉默法則才有意義.例1：請(qǐng)使用克拉默法則求解下面的方程組解：上述方程組的系數(shù)行列式為D==27≠0，由于==87；==-108；==-27；==27,所以該方程組的解為克拉默法則具有以下特征:1)該法則我們只在系數(shù)行列式不等于零的時(shí)候可以選擇性的運(yùn)用.2)齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)?0,0,...,0)是解，它的解只有兩種情況:存在唯一的零解，或者有無(wú)窮多個(gè)非零解.因此，克萊默規(guī)則應(yīng)用于齊次線性方程組具有重要的理論價(jià)值，可以證明許多命題.3)非其次方程組的解我們可以把它分為三種情況:一個(gè)解也沒(méi)有、有一個(gè)解和有無(wú)數(shù)個(gè)解.但是該法則只適用于第一種的情況，所以它的計(jì)算量很大，所以改法則是有限的，不是普遍使用的，我們知道增廣矩陣可以轉(zhuǎn)化為階梯形的矩陣，從而確定原方程組是否有解。如果它是有解的，就很容易找到它的解了。所以，可以用基本變換來(lái)解任何線性方程組.該法則的意義是，它很顯然的讓我們知道了解和系數(shù)的關(guān)系，這在我們的知識(shí)中是很重要的.但是要用該法則進(jìn)行計(jì)算是不方便的，因此，該法則比較常用于求解低元的線性系統(tǒng)或進(jìn)行討論理論.當(dāng)有很多未知數(shù)的時(shí)候，一般用消元法來(lái)求解.3.2高斯消元法求解線性方程組A是F上m×n，X為n維，b為m維列向量，方程組AX=b解的情況：如果，那么可以判斷是沒(méi)有解的；如果，那么可以判斷是有唯一的解；如果，那么就可以判斷是有無(wú)數(shù)個(gè)解的.消元法其實(shí)就是使用的初等變換，代數(shù)中的初等變換在我們學(xué)習(xí)的很多方面都具有很大的作用，它主要是基于矩陣的基本變換，我們知道，如果我們對(duì)一個(gè)矩陣施行行變換的話=，它的秩是保持不變的，我們?cè)谑褂眯凶儞Q求解方程組時(shí)，首先我們是經(jīng)過(guò)變換將矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形的矩陣，然后我們還可以把簡(jiǎn)化的矩陣轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的階梯形矩陣，我們?cè)谇蠼饩唧w的方程組時(shí)，我們是將增廣矩陣施行變換，將它化為最簡(jiǎn)的階梯形矩陣，這樣，我們就能夠得到與原來(lái)方程組同解的簡(jiǎn)化的方程組了，進(jìn)而求得解了.具體做法是：第一步：我們可以把它的增廣矩陣化為最簡(jiǎn)梯形矩陣；第二步：我們求出最簡(jiǎn)的方程組的解，然后我們就得到了原來(lái)的方程組的解.例2解方程組.解：步驟1：首先我們把第一個(gè)方程式中的系數(shù)想辦法變?yōu)?，所以我們可以把第四個(gè)方程放到第一個(gè)的位置，把第一個(gè)方程放到第四個(gè)的位置，可以得到步驟2：我們把第一個(gè)方程乘以（-1）然后把它加到第二個(gè)方程上，把第一個(gè)方程乘以（-1）然后把它加到第三個(gè)方程上，把第一個(gè)方程乘以（-2）然后把它加到第四個(gè)方程上，可以得到 步驟3：把第三個(gè)方程乘以1然后把它加到第二個(gè)方程上，然后再將第二個(gè)方程乘以（-1），就可以得到步驟4：我們把第二個(gè)方程乘以4然后把它加到第三個(gè)方程上，然后再將第二個(gè)方程乘以（-3）然后把它加到第四個(gè)方程上，就可以得到

步驟5：我們將第三個(gè)方程式添加到第四個(gè)方程式中，得到

步驟6：在第五步之后獲得的方程式等于原來(lái)的方程式，我們可以得出，然后將它代入第二個(gè)等式方程得，最后我們將都代入到第一個(gè)等式中可以得到，所以解為=3.3行與列初等變換同時(shí)使用法解方程組我們?cè)O(shè)一個(gè)方程組為AX=B,A=()我們稱為它的系數(shù)矩陣，可以利用下面的方法來(lái)求解.首先我們可以這樣作分塊矩陣,E為n階單位矩陣；然后我們可以對(duì)（AB）施行行變換，對(duì)施行列變換，一直到將A化為停止，假設(shè)這里的.如果D≠0，那么可以判斷方程組（2）并沒(méi)有解解.如果D=0，那么可以判斷方程組（2）是有解的，且它的一般解為:X=Q=(QQ)=QC+QZ,Z=，z,z,...,z可取任意數(shù)，Q的后列（即Q的各列）為線性方程組（2）的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，可見(jiàn)，要求方程組（2）的解，只需求出Q、C即可.例3解方程組.解：我們按照上述方法進(jìn)行分塊，并且同時(shí)使用行和列初等變換，可得：→→→→→.故Q=，C=.所以，方程組的一般解為：X=Q=QC+QZ=+=+z+z，z，z可取，，為一.3.4消去常數(shù)項(xiàng)法假設(shè)有方程組AX=b，將第個(gè)方程式寫為，，X=，其中b,b,...,b不全為零，假設(shè)b是不為零的，將第個(gè)方程乘以-（i≠k,i=1,2,...,m），然后分別加到其對(duì)應(yīng)的第個(gè)方程式中，就能得到齊次方程組可以縮寫成，稱它是的衍生方程組，令衍生方程組的解為，代到AX=b的第k個(gè)方程aX=b(b≠0).若a=0,則AX=b無(wú)解.若a≠0:當(dāng)其中有一個(gè)自由的變量時(shí)，aX=b得c=,以使AX=b具有唯一的解.當(dāng)其中的自由的變量不止一個(gè)時(shí)，把代入到中，能夠?qū)⑵渲幸粋€(gè)變量由剩下的表出，這樣的話，的解就有n-r-1個(gè)自由的變量，方程組就有無(wú)數(shù)多個(gè)解了.例4解方程組解：我們可以把第二個(gè)方程乘以3然后再加到第一個(gè)方程中，把第二個(gè)方程乘以7然后再加到第三個(gè)方程中，把常數(shù)都消除掉，就可以得：我們就可以寫出它的解了：然后我們可以把上面的方程組代到原來(lái)的方程組中，我們就可以求出，即最后我們把再代入進(jìn)去，就得到：,也就是=c+c+.3.5化非齊次為齊次有方程組我們把它的常數(shù)放到另一邊，得到：,然后我們就可以用我們上面介紹的方法來(lái)求解了.例5解方程組解：我們首先可以把常數(shù)移到上述方程的另一邊，,得到x=1,然后我們就能夠利用消元法對(duì)上述方程求解了，=→得到這個(gè)方程組的解就是最開始的方程組的解了，所以，解為：，x和x稱為自由未知量，把它寫成向量的形式就為：X=k+k+,k,k取任意值.3.6平方根法求解線性方程組除了上面我們介紹的一些方法，還有一種方法，就是平方根法，這種方法我們一般很少見(jiàn)到，因?yàn)樗皇呛艹Ｓ茫俏艺J(rèn)為這種方法的計(jì)算也并不是很大，我們還是有必要來(lái)探討平方根法求方程組，對(duì)于這種方法。它的前提條件就是方程組的系數(shù)矩陣必須是對(duì)稱且正定的，接下來(lái)，我們用一個(gè)具體的例子來(lái)看看平方根法的具體做法.例6解方程組= 解：設(shè)=.右邊的兩個(gè)矩陣相乘，比較的兩頭，并由知1=,1=,2=,于是：=1，=1，比較第二列有2=，0=，可得：，，由第三列得11=，可得L=由Ly=b,解得由解得4結(jié)束語(yǔ)求解線性方程組的方法是比較多的，但是經(jīng)過(guò)比較與總解，很多方法它僅僅只能用于解決一些特殊的問(wèn)題，對(duì)讀者解決代數(shù)中的各種線性方程不是很有幫助，本文基于一般適用性，挑選更具有針對(duì)性的許多方法，最后列舉出這些比較經(jīng)典的求解方法，高斯消元法是課本上介紹的方法，是各種方法的基礎(chǔ)，從計(jì)算量上講，這幾種方法的差別并不是很大，所以在實(shí)際問(wèn)題中都比較適用.本篇文章主要探討了線性方程組的幾種求解方法，并且通過(guò)具體的例子來(lái)展示每一種方法的求解步驟.在代數(shù)學(xué)中，線性方程組是最重要的內(nèi)容之一，而它除了本文探討的幾種求解方法外，還有其他的求解方法以及更廣泛的應(yīng)用.[參考文獻(xiàn)][1]魯翠仙,李天榮.淺談解線性方程組的方法[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,22(S1):82-86.[2]孫長(zhǎng)軍.消去常數(shù)項(xiàng)法解非齊次線性方程組[J].河北理工學(xué)院學(xué)報(bào),2003(04):151-153.[3]石擎天,黃坤陽(yáng).線性方程組求解及應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇,2020(12):325-327.[4]吳元生,對(duì)增廣矩陣同時(shí)使用行、列初等變換解線性方程組［Ｊ］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1992，（10）：20