2023-2024學(xué)年河北省邯鄲市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和s,=一,則%=()

n

A.*B.C.—D.

3"126~2

【正確答案】C

\avn=\

【分析】件4=<〃￡比可得答案.

n>2

n=\〃WN+，則〃3=§3_52=：一l=_；.

【詳解】因4,=<

〔ST-,n>232o

故選：c

2.已知直線(xiàn)/的方向向量為m，平面a的法向量為“，則",”."=0”是“〃/a”的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，結(jié)合充分、必要條件的概念，即可得答案.

【詳解】若機(jī)〃=0,則〃/&或/ua,故充分性不成立，

若〃/a,則,必要性成立，

故"m-n=0”是“IHa”的必要不充分條件,

故選：C

3.雙曲線(xiàn)（7:1-1=1（“>（）乃>0）的離心率為逅，則C的一條漸近線(xiàn)方程為（）

ab-2

A.-Jlx-y=0B.x-42y-0

C.>/6x-y=0D.x->/3y=0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)離心率計(jì)算公式，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镃的離心率為e守所哈等,

所以漸近線(xiàn)方程為X土&y=0.

故選：B.

4.在正四面體A8CD中，尸是AC的中點(diǎn),E是。尸的中點(diǎn)，若￡>A=a,O8=〃,￡>C=c，則SE=

()

44224422

【正確答案】A

［分析】利用空間向量加減法的運(yùn)算法則即可得解.

【詳解】依題意，結(jié)合圖形可得，

BE=BD+DE=-DB+-DF=-DB+-x-（DA+DC）=-DA-DB+-DC=-a-b+-c.

2224444

故選：A.

5.己知等差數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足/+4+%+%=12,則2佝一%的值為（）

A.-3B.3C.-12D.12

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若〃任4則冊(cè)+““=%+%可得.

【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，。3+/+4+%=4%=12,解得％=3,

%+41=2%，2%—4|=%=3.

故選：B

6.已知橢圓（。>）若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為離心率為則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

C:7+記=16>0,8,

,>22222

Xvrv

AA.——4y--=1iB.—+^-=1C.1-----=1D.—+^-=1

644864161641612

【正確答案】D

【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)求出。，由離心率為:求出c,從而求出6,問(wèn)題得解.

2。

【詳解】因?yàn)闄E圓C:3+卓=1(。＞"0)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,所以2a=8,即〃=4,

又離心率為:，所以￡=:，解得：c=2,

2a2

則。2=a2-c2=12,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1.

1612

故選D

本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.在數(shù)列｛/｝中，己知對(duì)任意正整數(shù)”，有4+見(jiàn)++?！?2"-1,則才+而++片等于

()

A.(2"-ifB.(2n-l)2

C.4"-1D.1(4"-1)

【正確答案】D

【分析】利用作差法及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】當(dāng)”22時(shí)，由4+生++an=2"—1,得q+/++^?_1=2"'—I,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=2-1=1,也滿(mǎn)足合上式.

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=2”!

所以片=4"，

所以數(shù)列｛〃；｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4,

所以a：+G+=)=#'_)

故選：D.

8.在平行六面體ABC。-A'B'C'。'中，底面4BC力是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱A4'的長(zhǎng)為4

且ZAAB=ZA:AD=120°.則()

A.AC的長(zhǎng)為yjlcr-lab+tr

B.直線(xiàn)B'D與AC所成角的余弦值.她夕13?；

4a2+2/

c.BD的長(zhǎng)為J2a2+后

D.直線(xiàn)87)與8c所成角的余弦值:一5b

d2a2+b?

【正確答案】C

【分析】利用空間向量的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,A'C=A'A+A'B'+A'D'<

I(222->

\A'C\=(A'A+A'B'+A'D')2=A'A'+2A'A.A'B'+A'B''+2A'B'.A'D'+2A'A.A'D'+A'D''

=b2+2t//?cos60°+a2+2a2cos900+2ahcos60°+cr=2a1+h2+2ah,

所以4C=J2aZ+從+2ab，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由題意可知I：|AC卜B'D=B'C'+B'A'+B'B，

o222

M=(BrC+B'A!+B⑶2=B'C+IB'C.B'A!+廣+2B'A'.B'B+B'B+IB'B.B'C

=/+o+4+2abeos120°+b2+2abcos60°=2a2+b2

所以，。卜也片+方,

AC-B'D=(AB+AD).(B'C+B'A'+B'B)

=AB.B'C'+AB.B'A!+AB.B'B+AD.B'C'+AD-B'A'+AD.B'B

=0—a2+ab+a2+0+ab=2ab,

an…B'D-AC2ab血?"/+0

所以網(wǎng)間=拉》葭億=衍T予k'

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,BD'^BD+BA+BC，\=(BD+BA+BC)2,

=(BB，+8A+BC)2=+2BBIBA+2BA.BC+2BB，?BC+BA'+BC~

=b2+ab+0-ab+a2+a2=2a2+b2，

所以忸⑼=歷壽，故選項(xiàng)c正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)B的分析可知：|即=，2“2+k,由題意可知：wq=a,

B'D.BC=(8'4'+B'C+=B'A'.BC+B'C'.BC+B'B.BC

=0+a2+ab=a2+ab

B'D?BC〃+ab(0+加2晨+1^

所以cos<B'D,BC>=

|叫瘍仔2a2+b2

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

故選：C.

二、多選題

9.已知直線(xiàn)/：依-y+2k=0和圓。：x2+y2=9,則（）

A.直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)（2,0）B.存在出使得直線(xiàn)/與直線(xiàn)位x-2y+2=0垂

直

C.直線(xiàn)/與圓。相離D.若4=-1,直線(xiàn)/被圓0截得的弦長(zhǎng)為2療

【正確答案】BD

【分析】A選項(xiàng)，化為點(diǎn)斜式可以看出直線(xiàn)恒過(guò)的點(diǎn)，

B選項(xiàng)兩直線(xiàn)斜率存在且垂直，斜率乘積為-1,從而存在&=-2滿(mǎn)足題意，

C選項(xiàng)直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項(xiàng)：

當(dāng)A=T時(shí)，先求圓心到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長(zhǎng)

【詳解】直線(xiàn)/：h一丫+2&=0,即》=刈》+2）,則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（一2,0）,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)人=一2時(shí)，直線(xiàn)/:H-y+2A=0與直線(xiàn)/（>:x-2y+2=0垂直，故B正確；

?定點(diǎn)（-2,0）在圓。：/+）,2=9內(nèi)部，二直線(xiàn)/與圓。相交，故C不正確：

當(dāng)氏=一1時(shí)，直線(xiàn)/化為一x-〉一2=0,BPx+y+2=0,

圓心O到直線(xiàn)的距離"=*=應(yīng)，

直線(xiàn)/被圓。截得的弦長(zhǎng)為2>^二1=2小，故D正確，

故選：BD.

10.在棱長(zhǎng)為1的正方體A88-ABCA中，E為線(xiàn)段OR的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，

則（）

A.點(diǎn)A到直線(xiàn)8田的距離為:B.直線(xiàn)FG到直線(xiàn)AE的距離為我

35

C.點(diǎn)A到平面4qE的距離為也D.直線(xiàn)FG到平面AB|E的距離為:

33

【正確答案】BD

BE

【分析】建立坐標(biāo)系，求出向量A耳在單位向量"=%上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)A

到直線(xiàn)ME的距離，判斷A；先證明AE〃尸￡,再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到直線(xiàn)AE的距離求解，判斷B；

求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解，判斷C；把直線(xiàn)FG到平面的

距離轉(zhuǎn)化為G到平面A4E的距離，利用法向量進(jìn)行求解，判斷D.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,0,1),B,(1,1,1),￡(0,0,1),F(l,l,|),C,(0,1,1),A(l,0,0).

因?yàn)閝E=(-i,-i,-<),4=41^=(-AB=(o,i,o),

ZIBlE\J3J

2

所以A81.%=.

所以點(diǎn)A到直線(xiàn)4E的距離為“百-(4%"了==與，故A錯(cuò)誤;

因?yàn)锳E=(-l,0,》,尸C；=(-l,0,J,所以市〃戶(hù)C；,即AE〃尸C”

所以點(diǎn)尸到直線(xiàn)AE的距離即為直線(xiàn)FC,到直線(xiàn)AE的距離，

AE2石5/51

=(--—,0,—),AF=(0,1,-)=—,AF-=

而410，

所以直線(xiàn)FC,到直線(xiàn)AE的距離為故B正確;

設(shè)平面AB|E的一個(gè)法向量為力=(x,y,z),ABt=(0,1,1),AE=(-1,0,g),例=(0,0,1).

ri-AB=y+z=0,

由《]1令z=2,則y=-2,x=l,B|Jn=(l,-2,2).

n?AE=-x+—z=0,

.川

設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為d,則即點(diǎn)A到平面的距離為9,故C

H33

錯(cuò)誤;

因?yàn)锳E〃/G，F(xiàn)￡u平面ABE，A￡u平面AgE,所以Fg〃平面

所以直線(xiàn)FC、到平面ABE的距離等于G到平面的距離.G4=(1,0,0)，

由(3)得平面AB￡的一個(gè)法向量為〃=(1,-2,2),

所以C1到平面的距離為

所以直線(xiàn)FC,到平面AB.E的距離為g，故D正確.

故選：BD

II.已知等比數(shù)列｛%｝的公比為比其前〃項(xiàng)之積為T(mén)“，且滿(mǎn)足。<4<1,以22%。23T>0,

口:<0,貝I]()

“2023—1

A*q>'B."2021”2023—I<0

C.石必的值是1中最小的D.使《<1成立的最大正整數(shù)〃的值為4043

【正確答案】ABD

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得0<%。22<1<%。23,再對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，

Q—1

【詳解】由。<%<1,電022^023—1>0，-<0<7>0,且。<。2022<1<。2023，

〃2023-

對(duì)于A,4=—空>1,故A正確，

“2022

對(duì)于B,^2021^2023="2022<1，故B正確,

對(duì)于C,當(dāng)1。42022時(shí)，0<?！?lt;1,當(dāng)〃之2023時(shí)，/>1,

故心。22的值是7”中最小的，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,63=a就<1，044=4。22a2023產(chǎn)2>1,故使7；<1成立的最大正整數(shù)〃的值為4043,

故D正確，

故選：ABD

12.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在圓C：（x-2y+y2=4上，直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)Q（0,3）,則（）

A.當(dāng)直線(xiàn)/與圓C相切時(shí)，/的方程為5x+12y—36=0

B.當(dāng)直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)R（-LO）時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離的最大值為還+2

10

C.當(dāng)直線(xiàn)/的斜率為-1時(shí)，直線(xiàn)/被圓C所截得的弦長(zhǎng)為舊

D.若圓C上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為1,則直線(xiàn)斜率1e|一6-產(chǎn)，土產(chǎn)

\/

【正確答案】BCD

【分析】分當(dāng)直線(xiàn)/斜率不存在和存在時(shí)兩種情況討論判斷A；求得圓心到直線(xiàn)的距離，再

與半徑求和判斷B；根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng)判斷C；根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離d<l解不等式判斷

D.

【詳解】由題知，圓G（x-2『+y2=4的圓心為C（2,0）,半徑為r=2.

對(duì)于A,當(dāng)直線(xiàn)/斜率不存在時(shí);方程為x=0,此時(shí)圓心C（2,0）到x=0的距離為2,等于

半徑，故滿(mǎn)足；

當(dāng)直線(xiàn)/斜率存在時(shí)，設(shè)方程為、=依+3,則有里耳=2,解得左=-三，故方程為

川+公12

5x4-12^-36=0,

故當(dāng)直線(xiàn)/與圓。相切時(shí)，/的方程為5x+12y-36=0或工=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)R（-LO）時(shí)，其方程為=1即3x-y+3=0,

此時(shí)圓心到直線(xiàn)/的距離為年工=粵，

71+3110

故點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離的最大值為亞+2,故B正確；

10

對(duì)于C,當(dāng)直線(xiàn)/的斜率為T(mén)時(shí)，其方程為y-3=-x即x+y-3=0,

此時(shí)圓心到直線(xiàn)/的距離為〃=上心=亞，故直線(xiàn)/被圓C所截得的弦長(zhǎng)為

V1+12

2yjr2-d2=2xJ|=Vi4,故C正確；

對(duì)于D,若圓C上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為1,則圓心到直線(xiàn)的距離d<l,

設(shè)直線(xiàn)方程為丘-y+3=0,貝即弘2+12k+8<0,解得

J1+公

'-6-26-6+2疔

,故D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S“=〃2+〃+l,則｛為｝的通項(xiàng)公式4=.

f3,w=1

【正確答案】c、c

[2n,n>2

【分析】根據(jù)S“=/+〃+l求得％=3,當(dāng)〃22時(shí)，利用a.=S"-S“T求得凡的表達(dá)式,驗(yàn)

證首項(xiàng)是否適合，即可得答案.

【詳解】由題意數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和S“=〃2+〃+l,則4=￡=3,

22

當(dāng)〃22時(shí)，an=5?-=n+n+l-(H-l)-(n-l)-l=2n,

6=3不適合上式，

故｛叫的通項(xiàng)公式4=12〃〃N2'

3,n=1

2n,n>2

14.拋物線(xiàn)C:y2=-12x的焦點(diǎn)為f，P為拋物線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)4-5,2),則1PAi+幟川

的最小值為.

【正確答案】8

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，將1尸尸1轉(zhuǎn)化為尸到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，再結(jié)合圖形可求出結(jié)果.

【詳解】由丁=-12凡得F(-3,0),準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=3,

KlJ|ft4|+|PF|=|PA|+1PM|>|AM|=3-(-5)=8,

當(dāng)且僅當(dāng)ARM三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.

故8

15.己知正三棱柱ABC-A4G的所有棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)A4和

【正確答案】0

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出AA=(-73,1,1),

計(jì)算二者的數(shù)量積，即可得答案.

【詳解】設(shè)AC中點(diǎn)為。，AG中點(diǎn)為。一

由正三棱柱性質(zhì)知。。1，底面ABC,AC,OBu底面ABC,

則OO11AC,00,1OB,

又底面A8C是等邊三角形，。是AC中點(diǎn)，

則ACJ_O8.

以。為原點(diǎn)，OB,OC,00,所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正三棱柱ABC-A4G的棱長(zhǎng)都為2,

則A(0,-1,0),B,(73,0,2),8便,0,0),M(0,1,1),

二明=(⑸,2),8*卜瘋1,1),則做.8〃=-3+1+2=0

，AB11BM,

即異面直線(xiàn)AB,和BM成角的余弦值為0,

故0.

16.已知橢圓C:￡+g=l(“>6>0)的左，右頂點(diǎn)分別為A,B,且橢圓C的離心率為粵，

點(diǎn)尸是橢圓C上的一點(diǎn)，且tan/PA8=!，則tanNAP3=.

【正確答案】

【分析】由已知，根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，分別設(shè)出點(diǎn)尸、A,B坐標(biāo)，并表示出直線(xiàn)P4、直

線(xiàn)PB的斜率，根據(jù)己知的離心率得到4再根據(jù)%/期=-4?，結(jié)合已知tanNPAB=J

a6a4

2

得到tan/PB4=(,然后利用正切和差公式

tanZAPB=tan(n-/PAB-NPBA)=—tan(ZPAB+ZPBA)可直接求解.

22

【詳解】由己知，橢圓C:￡+g=l(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)分別為A,B,如圖所示,

Bx

橢圓C的離心率為寧，所以夕=1-/=1-1芥J

設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)A(-a,O),B(a,O),P(x,y),

,>22

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，+方=1=丁=1_，，

所以ZPAB為直線(xiàn)PA的傾斜角，NPBA為直線(xiàn)PB的傾斜角，

貝I*=—-—=tanNPAB=—,kPK=―--=tan(TT-NPBA)=-tanNPBA,

x+ax-ax~-a

所以tanNPBA=-*='

心3

所以tanZAPB=tan(兀一NPAB-NPBA)=-tan(ZPAB+NPBA)

J_2

tanNPAB+tanNPBA_4+3_11

—1-tanZPABtanZPBA-12一一6

1X——

故答案為.一記

四、解答題

17.在等差數(shù)列｛%｝中，%+q=TO,前12項(xiàng)的和幾=-96.

(1)求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列包+勿｝為以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列也｝前8項(xiàng)的和.

【正確答案】⑴%=—%3-=25;

4o

(2)3332.

【分析】(1)根據(jù)已知求出4=-231,4=-3=,即得解；

84

(2)求出"=3""+a'+言?s，再利用分組求和求解.

4o

【詳解】(1)解：設(shè)公差為d,因?yàn)槌?%=-1。，前12項(xiàng)的和配=-96,

所以24+3d=—10,12〃1+12x11.=-96,解得q=—彗/=~-,

284

325

所以4=4+(n-1)d=--n---.

4o

⑵解：由題意得%+々=3"'，所以2=3"-'+'+等，

4o

所以數(shù)列同前8項(xiàng)的和為(30+3+3?++3?)+11+2+3++8)+=x8

4o

S

1-338x925o

1-3428

18.如圖四邊形438是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面ABCQ,AF//DE,DE=3AF.

(1)求證：AC,平面BOE；

(2)若BE與平面A8CD所成角為60°,求二面角b-BE-D的正弦值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵嚕

【分析】(1)由已知可得。E工AC且AC1BO,由線(xiàn)面垂直的判定定理即可得到證明；

(2)以。為原點(diǎn),D4方向?yàn)閤軸,。C方向?yàn)閥軸,。E方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用

已知條件求出平面BDE的一個(gè)法向量和平面麻戶(hù)的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式計(jì)算

即可.

【詳解】(1)因?yàn)镈E_L平面ABC。，ACu平面48cD,所以O(shè)E1AC

因?yàn)樗倪呅蜛8C￡)是正方形，所以AC工83

又因?yàn)?)CDE=￡＞，8Du平面B/汨，DEu平面8OE,

所以ACJ_平面BDE

(2)DEL底面ABC。，0Aoeu平面ABC。，

.-.DEIDA,DEIDC,

四邊形ABC。是正方形，.〔DA，DC

故D4,DC,OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

因?yàn)锽E與平面ABC力所成角為60,DEJ■平面A8CQ,且垂足為

DFr-

故N￡)3E=60,所以二=6.

又AO=3,OE=3AF,所以30=30,DE=3瓜AF=瓜,

所以A(3,0,0),8(3,3,0),F(3,0,痢,E(0,0,3廂,C(0,3,0),

所以BF=(0,-3,76),EF=(3,0,-2^)

設(shè)平面8EF的一個(gè)法向量帆=(x,y,z),

in-BF=-3y+\/6z=0「―

則《一r-，令z=屈,則，“=(4,2,通)

m-EF=3x-2y/6z=0

因?yàn)锳C_L平面BDE,

所以。為平面BDE的一個(gè)法向量，C4=(3,-3,0).

m-CA3x4+(—3)x2+0xy/6-7^3

所以cos〈/",C4〉=

網(wǎng)"+2?+(可H+(-3)2+O?13，

2739

所以sin〈肛C4〉

13

所以二面角尸-3E-。的正弦值為嚕.

19.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為5”,S,=2,Sn+l=2Sn+2.

(1)求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式;

(2)若我=log,a?,數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為T(mén)..

【正確答案】(1)q=2"

2

(2)7“=號(hào)■

【分析】(1)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)可得+2=2⑸+2),可得設(shè),+2｝為首項(xiàng)是E+2=4,

公比為2的等比數(shù)列，所以5“=2向-2,再利用勺和S“之間的關(guān)系求巴即可；

n

(2)|ilZ；?=log2an=log22=/7,利用等差數(shù)列求和即可得解.

【詳解】⑴由S,”=2S,+2可得S,用+2=2⑸+2),而E+2=4XO,;.S“+2HO,

S+2

所以看h=2,所以｛S“+2｝為首項(xiàng)是4,公比為2的等比數(shù)列，

所以S“+2=42T=2"T,

所以5“=27-2,

n+1

當(dāng)〃22時(shí),an=Sn-Sn_t=2-2"=2",

當(dāng)〃=1時(shí)，4=S1=2也滿(mǎn)足上式，

所以為=2”；

(2)b?=log2an=log22"=n,

己知｛〃｝為首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，

所以(=宜產(chǎn)=嚶.

20.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,左右焦點(diǎn)分別為「，心，短軸長(zhǎng)為2,離心率e=變,

2

過(guò)右焦點(diǎn)尸2的直線(xiàn)/交橢圓于尸，。兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）當(dāng)直線(xiàn)/的傾斜角為】時(shí)，求的面積.

4

【正確答案】（1）工+±=1.

21

⑵；

【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于。,4。的式子，利用待定系數(shù)法求橢圓方程;

（2）直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示三角形的面積.

2b=2

c&解得：卜=1

【詳解】（1）e=—=——

a2

C=1

(2)傾斜角為?n%=l,6(1,0),

士』+1%I=I%-為I=J(%+yJ-4小為

y=x-1

X221，得3y2+2y-l=0,

——+V=1

2

A=4+4x3xi>o,yP+yQ=-->yp-yQ=~-

.o/4-4_4

.?3=4/—I———.

V933

2)>>,>

21.已知雙曲線(xiàn)C：￡-*l(a>02>0)與雙曲線(xiàn)看吟=1的漸近線(xiàn)相同,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（2,3）.

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程;

3

（2）已知雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)分別為"，F(xiàn),直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)F?,傾斜角為:兀，/與雙曲線(xiàn)C交

24

于A,3兩點(diǎn)，求《AB的面積.

【正確答案】=1

3

（2）672

【分析】（1）根據(jù)共漸近線(xiàn)設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解；

（2）根據(jù)題意求出直線(xiàn)A3的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程，消去〉后由韋達(dá)定理得

士+々小赴，從而由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|A8|，再求出6到直線(xiàn)AB距離后即可求得打AB的

面積.

【詳解】（1）依題意，設(shè)所求雙曲線(xiàn)C方程為亡-工=2,

62

02,21

代入點(diǎn)（2,3）得",即兀=_：,

622

所以雙曲線(xiàn)c方程為3-二=-4，即V一X=i.

6223

（2）由（1）得,2=1+3=4,貝h=2,6（一2,0）,5（2,0）,

331r

又直線(xiàn)/傾斜角為j兀，Kn=tan^=-1＞故直線(xiàn)A8的方程為y=-（x-2）,

設(shè)8（&,必），

y=-(x-2)

聯(lián)立《,y2，消去V,得2Y+4X-7=0,

爐-2_=]

3