第七章隨機(jī)變量及其分布7.1條件概率與全概率公式全概率公式學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率數(shù)學(xué)運(yùn)算2.了解貝葉斯公式(不作考試要求)數(shù)學(xué)抽象自學(xué)導(dǎo)引互斥全概率公式【答案】(1)√

(2)×貝葉斯公式*【預(yù)習(xí)自測(cè)】全概率公式與貝葉斯公式的聯(lián)系與區(qū)別是什么？提示：兩者的最大不同在處理的對(duì)象不同，其中全概率公式用來(lái)計(jì)算復(fù)雜事件的概率，而貝葉斯公式是用來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單條件下發(fā)生的復(fù)雜事件，也就是說(shuō)，全概率公式是計(jì)算普通概率的，貝葉斯公式是用來(lái)計(jì)算條件概率的．課堂互動(dòng)甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率．題型1全概率公式解：設(shè)B＝“飛機(jī)被擊落”，Ai＝“飛機(jī)被i人擊中”，i＝1，2，3.顯然A1，A2，A3為完備事件組，且P(A1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，P(A2)＝0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.3＝0.41，P(A3)＝0.4×0.5×0.7＋0.14.由題意，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，利用全概率公式，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.故飛機(jī)被擊落的概率為0.458.全概率公式求概率的關(guān)注點(diǎn)全概率公式的實(shí)質(zhì)是為了計(jì)算復(fù)雜事件的概率，把它分解成若干個(gè)互斥的簡(jiǎn)單事件之和，然后利用條件概率和乘法公式，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，最后利用概率可加性，得到最終結(jié)果．1．某電子設(shè)備制備廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有如下表所示的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家元件制造廠的元件在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志．在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率．解：設(shè)事件Bi表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家元件制造廠提供的”(i＝1，2，3)，事件A表示“取到的是一件次品”．其中B1，B2，B3兩兩互斥，A發(fā)生總是伴隨著B(niǎo)1，B2，B3之一發(fā)生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A兩兩互斥．運(yùn)用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03＝0.0125，所以在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，它是次品的概率為0.0125.設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車(chē)與客車(chē)的數(shù)量之比為2∶1，貨車(chē)中途停車(chē)修理的概率為0.02，客車(chē)為0.01，今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理，求該汽車(chē)是貨車(chē)的概率．題型2貝葉斯公式貝葉斯公式的應(yīng)用把事件B看作某一過(guò)程的結(jié)果，把Ai(i＝1，2，…，n)看作該過(guò)程的若干個(gè)原因，每一原因發(fā)生的概率P(Ai)已知，且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度P(B|Ai)已知，如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第i個(gè)原因引起的概率，則用貝葉斯公式，即求P(Ai|B).貝葉斯公式反映了事件Ai發(fā)生的可能性在各種原因中的比重．2．設(shè)患肺結(jié)核病的患者通過(guò)胸透被診斷出的概率為0.95，而未患肺結(jié)核病的人通過(guò)胸透誤診為有病的概率為0.002，已知某城市居民患肺結(jié)核概率為0.001.從這個(gè)城市的居民中隨機(jī)選出一人，通過(guò)胸透被診斷為肺結(jié)核，求這個(gè)人患有肺結(jié)核的概率．題型3全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用(1)求這位教授遲到的概率；(2)現(xiàn)在已經(jīng)知道他遲到了，求他乘坐的是動(dòng)車(chē)的概率．解：(1)設(shè)A＝“這位教授遲到”，B1＝“這位教授乘坐的是飛機(jī)”，B2＝“這位教授乘坐的是動(dòng)車(chē)”，B3＝“這位教授乘坐的是非機(jī)動(dòng)車(chē)”，P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)．當(dāng)有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì)．貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫(huà)了這種變化．3．同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng)．由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95，0.90，0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5，現(xiàn)將這些產(chǎn)品混合在一起．(1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問(wèn)由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性大？易錯(cuò)警示題意理解不清致誤易錯(cuò)防范：題意理解不清，因?yàn)橄葎賰杀P(pán)的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束，高三(1)班代表隊(duì)連勝兩盤(pán)是指：高三(1)班代表隊(duì)第一、第二盤(pán)勝和第一盤(pán)輸，第二、第三盤(pán)勝．素養(yǎng)達(dá)成1．全概率公式用來(lái)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率運(yùn)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題．2．概率論的一個(gè)重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算來(lái)推算較復(fù)雜事件的概率，全概率公式和貝葉斯公式正好起到了這樣的作用．1．(題型1)已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假設(shè)男人女人各占一半，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，則此人恰是色盲的概率為 (

)A．0.01245 B．0.05786C．0.02625 D．0.02865【答案】C【答案】C3．(題型2)李老師一家要外出游玩幾天，家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果這幾天內(nèi)鄰居記得澆水，那么花存活的概率為0.8，如果這幾天鄰居忘記澆水，那么花存活的概率為0.3.假設(shè)李老師對(duì)鄰居不了解，即可以認(rèn)為鄰居記得和忘記澆水的概率均為0.5，幾天后李老師回來(lái)發(fā)現(xiàn)花還活著，則鄰居記得澆水的概率為_(kāi)_______.4．(題型1)(2022年鄭州模擬)中國(guó)郵政發(fā)行了多款第24屆冬奧會(huì)紀(jì)念郵票，其圖案包括“冬夢(mèng)”“冰墩墩”和“雪容融”等．小王有3張“冬夢(mèng)”、2張“冰墩墩”和2張“雪容融”郵票；小張有“冬夢(mèng)”“冰墩墩”和“雪容融”郵票各1張．小王現(xiàn)隨機(jī)取出一張郵票送給小張，分別以事件A1，A2，A3表示小王取出的是“冬夢(mèng)”“冰墩墩”和“雪容融”；小張?jiān)匐S機(jī)取出一張郵票，以事件B表示他取出的郵票是“冰墩墩”，則P